Pourquoi faire des fractales en classe ?

lundi 20 mai 2019
par  Nathalie CARRIÉ

L’étude des fractales permet d’allier des domaines des mathématiques très variés tels que - pour une liste non exhaustive - géométrie (constructions, orientation dans le plan), algorithmique, programmation, algèbre, calculs et étude des suites numériques. Elle sera l’occasion de proposer aux élèves de dessiner de magnifiques motifs sur papier blanc, à la règle et au compas.
J’ai donc choisi ces dernières années d’étudier une fractale, dès les premiers mois de l’année de première S, puis de l’utiliser comme base d’exercices sur différents thèmes, tout au long de l’année.

L’étude des fractales permet de développer la pensée algorithmique ou Computational thinking en classe [1].
Étant décrites par des algorithmes récursifs, les fractales permettent d’initier les élèves à la pensée récursive et ainsi de développer leur pensée algorithmique.

Étudier des fractales en classe m’a permis de réinvestir des méthodes de construction simples vues au collège et en primaire, de travailler sur des algorithmes autres que numériques, et d’aborder simplement des notions délicates telles que le concept d’infini et la récursivité.

Cette année, j’ai donné un projet évalué sur la fractale de Von Koch, projet comportant tous les thèmes cités précédemment. Deux années scolaires plus tôt, nous avions travaillé sur le triangle de Sierpinski.
Je vais détailler le contenu de ces deux projets et les différentes parties abordées.

 [2]

L’apport des fractales au cours de Mathématiques

Voici une carte mentale qui présente ce que l’étude des fractales apporte au cours de Mathématiques.

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Comme on le voit sur cette carte mentale, les domaines touchés par l’étude des fractales en classe sont nombreux.

Géométrie Algorithmes Suites
Dessin à la main
Construction Règle et Compas
sur feuille blanche A3, A4
Utilisation de crayon bien taillé
Autosimilarité des figures
Théorème de Thales
Orientation du plan
Algorithmique - Programmation
Initiation à la pensée récursive
Algorithmes en géométrie
Algorithmes numériques
Développer la pensée algorithmique
Introduction, découverte
Expression récurrente - expression explicite
Démonstration d’une propriété par récurrence
Dénombrement
Calculs : périmètre, aire, théorème de Pythagore
Dimension émotionnelle Dimension philosophique
Beauté des fractales [3]
Envie de faire des Mathématiques
Magie des Mathématiques
Philosophie de l’infini
Approche de la notion de limite
Limites de suites
Figures finies au périmètre infini

 
 
 

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Le flocon de Von Koch, étape 4
Réalisé avec Snap!

Déplier tous les blocs
Replier tous les blocs

Devoir sur le flocon de neige

Le sujet détaillé

 

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Ce devoir a été donné aux élèves au mois d’octobre de cette année scolaire. Nous y sommes revenus plusieurs fois au cours de l’année. Il nous reste la partie calculs pour le flocon à corriger.
 

                                Fractale de Von Koch
                                ********************
                Projet à rendre pour le 30 octobre 2018

Données :
Un segment [AB] de longueur a, n le numéro d'étape.
Le segment [AB] seul représente l'étape 0.

Initialisation :
Construire A1 et A3 qui partagent le segment [AB] en 3 parties égales (dans l'ordre A, A1, A3, B). Construire alors A2 tel que A2 soit sommet d'un triangle équilatéral A1A2A3.
Tracer alors les segments [AA1], [A1A2], [A2A3], [A3B].
Gommer le segment central [A1A3].
Reproduire le processus sur chacun des 4 segments [AA1], [A1A2], [A2A3], [A3B] jusqu'à l'étape n.

PARTIE DESSIN PAPIER (2 feuilles A4 blanches format paysage):
A l'aide d'un compas à la mine bien taillée, construire les étapes 1, 2, 3, et 4.
Choisir a de manière judicieuse...
Pour l'étape 2, faire un schéma détaillé qui indique les angles orientés de la figure.
L'objet que vous venez de construire s'appelle une fractale.

PREMIERS CALCULS :
A chaque étape, donner
- le nombre de segments S_n
- la longueur de chaque segment a_n
- la longueur totale de la figure obtenue T_n.
En déduire une expression de S_n, a_n et T_n de la figure obtenue à l'étape n en fonction de n.

PARTIE ALGORITHMIQUE :
Écrire l'algorithme qui permet de construire à l'écran l'étape 1 à partir des points A et B, en utilisant les instructions av (avance), td (tourne à droite) et tg (tourne à gauche), pendown et penup pour activer/désactiver un tracé éventuel. On suppose que la souris est au départ au point A et dirigée vers le point B.
        ...

On transforme cette série d'instructions en une fonction qui s'appelle graine(a).
On a donc :
        graine(a)
            ...

Écrire maintenant l'algorithme qui permet de construire l'étape 2 en utilisant les instructions de base déjà fournies, et la fonction graine(a).
        graine(...)
        tg 60
        ...
        ...
       
On transforme cette série d'instructions en une fonction qui s'appelle VonKoch(a, etape), avec etape = 2 et où VonKoch(a,1) contient rigoureusement les instructions de la graine.
On a donc :
        VonKoch(a, etape)                        (etape = 2)
            graine(...)
            tg 60
            ...
            ...            
ou encore :
        VonKoch(a, etape)                        (etape = 2)
            VonKoch(..., etape-1)
            tg 60
            ...
            ...    
Écrire alors une fonction qui permet de tracer l'étape n.
        VonKoch(a, etape)                        (etape = n, n>=1)
            Si etape == 1
                graine(...)
            Sinon               
                VonKoch(..., etape-1)
                tg 60
                ...
                ...
            FinSi
               
PROGRAMMATION :
- Programmer avec Snap! l'algorithme précédent.
- Programmer avec Snap! la fractale de Von Koch (flocon de neige) en appliquant 3 fois l'algorithme précédent aux 3 côtés d'un triangle équilatéral.
Enregistrer les images de la scène pour obtenir de jolis flocons de Von Koch.

RETOUR SUR LA PARTIE CALCULS :
On s'intéresse au flocon de Von Koch.
A chaque étape, donner
- la longueur totale de la figure obtenue U_n
- l'aire du flocon f_n obtenu à l'étape n : commencer par calculer f_1, f_2, f_3 puis en déduire f_n. Expliquer votre raisonnement.

J’utilise Snap! en classe pour écrire un algorithme mais aussi pour le programmer et le tester. L’idée est d’ouvrir l’esprit des élèves à une pensée algorithmique indépendante d’un langage précis de programmation.

Le sujet annoté par une élève [4]
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Géométrie : constructions Règle et Compas

 
Dans tous les dessins, j’ai demandé aux élèves de laisser les traits de construction apparents.

Diviser un segment en 3 parties égales

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Nous avons revu grâce au théorème de Thalès comment diviser un segment en 3 parties égales.
Le segment central est ensuite effacé pour laisser place à la construction d’un triangle équilatéral (dessins de Leslie).

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Étape 1

Pour arriver finalement à l’étape 1 (dessin d’Aliyah).

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Étape 2

Dessin de Désia
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Étape 3

Demi étape 3 dessinée par Aliyah
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Dessin de Désia [5]
 
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Joli dessin de l’étape 3 réalisé par Séverine. [6]
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Dessin exceptionnel de précision de l’étape 3 réalisé par Shakira. [7]
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N’hésitez pas à cliquer, et à zoomer sur l’image, c’est un véritable plaisir des yeux.

Étape 4

Peu d’élèves ont rendu l’étape 4, trop longue et trop délicate à réaliser. Le barême du devoir en a tenu compte ! [8]

Magnifique étape 4...
... dessinée par Marine


 
 
 
 
 
 
 

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... dessinée par Nell


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Les calculs...

 

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... sont nombreux dans le devoir.

Et conduisent parfois à des erreurs, comme dans cette excellente chronique de Rose Polymath, bande dessinée sur les fractales [9], où j’ai dû retoucher l’image pour afficher un calcul juste.
 
 
 
On trouvera tous les calculs nécessaires au calcul final de l’aire du flocon de neige sur ce site.
Le calcul de l’aire du flocon est intéressant car il fait intervenir une somme de suite géométrique de raison 4/9 et de premier terme 1/9.

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Partie algorithmique du devoir

 
Le sujet annoté était une aide pour la partie algorithmique, aide donnée en séance d’Accompagnement Personnalisé (A.P.).

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 [10]
 

J’essaie toujours d’amener les élèves à avoir une pensée algorithmique en classe, de les amener à penser fonctions en permanence.
Lorsque j’ai demandé aux élèves, lors de cette activité sur les fractales, quel était l’objet renvoyé par l’algorithme qui dessine le flocon de Von Koch, Aliyah m’a répondu comme une évidence « Et bien, le dessin Madame ! ».
On en a déduit ensemble que cet algorithme était bien une fonction : il en a tous les ingrédients : des entrées traitées dans une boîte, et le dessin qui en résulte.

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La partie algorithmique de ce devoir est sensée amener l’élève à écrire une fonction récursive.

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Voici l’algorithme Snap! pour une étape quelconque.
Et le rendu Snap! de l’étape 5.

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Dessins d’élèves du flocon de neige à l’étape 3

 
Angélique apporte toujours autant de soin et de précision à ses tracés.
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N’hésitez pas à cliquer sur l’image...

 
 
 
 
Les tracés de Nell sont aussi très précis.
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Éléments de barême

Les quatre parties

  • Partie dessin papier
  • Partie calculs
  • Partie algorithmique
  • Partie programmation
    étaient notées sur 10 points. Les dessins des étapes 1, 2, 3, et 4 pour la partie dessin papier étaient respectivement notés 1, 2, 3 et 4 points en fonction de leur difficulté.

La partie finale concernant les calculs autour du flocon de neige n’était pas évaluée car facultative.


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Le triangle de Sierpinski, étape 4
Réalisé avec Snap!

Étude du triangle de Sierpinski

Le sujet

 

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Ce devoir donné aux élèves lors de l’année scolaire 2016-2017 ne comportait pas de partie programmation. Ce projet couvrait seulement la partie géométrie et la partie calculs.

        FRACTALE DE SIERPINSKI
        **********************
       
        Données :        Triangle ABC, n le n°d'étape
                        (le triangle ABC seul représente l'étape 0)

        Initialisations :
                Triangle ABC               
                A* milieu de [BC]
                B* milieu de [CA]
                C* milieu de [AB]

                Remplir les triangles BA*C*, A*CB*, C*B*A
                Laisser vide le triangle A*B*C*

                Recommencer le processus précédent sur chacun des 3 triangles BA*C*, A*CB*, C*B*A jusqu'à l'étape n.
       

        Construire les étapes 1, 2, 3, 4 et 5.

        A chaque étape : donner :
                - le nombre de triangles colorés T_n
                - leur côté c_n
                - leur aire individuelle a_n
                - leur périmètre individuel p_n
                - l'aire totale du domaine couvert A_n
                - le périmètre total des triangles P_n

Travaux d’élèves , étapes 0 à 5

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dessinées par Marie
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dessinées par Étienne
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dessinées par Julie

Un algorithme récursif pour Sierpinski

 

def Sierpinski(A,B,C,etape):
        A*=Milieu(B,C)
        B*=Milieu(C,A)
        C*=Milieu(A,B)
        Si etape < 1:
                Triangle(A*,C,B*)
        Sinon:
                Sierpinski(A*,C,B*,etape-1)
                Sierpinski(B*,A,C*,etape-1)
                Sierpinski(C*,B,A*,etape-1)
        FinSi
       
L’algorithme version Snap!
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Images du triangle de Sierpinski réalisées avec Snap!

 

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étape 1
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étape 2
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étape 3
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étape 4
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étape 5
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étape 6

Calculs sur les suites

 
Le triangle de Sierpinski, tout comme la fractale de Von Koch, sont d’excellentes illustrations de progressions géométriques en classe de première S. Cette étude s’est faite en classe de manière spiralée.

 

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Voici les calculs rendus par Marie :

Et le fichier de synthèse que Marie a réalisé sous Libre Office

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Comportement à l’infini des suites mises en jeu

 
Le comportement à l’infini des suites mises en jeu peut déjà se deviner à l’aide de ces calculs faits sur tableur.

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Pour aller plus loin

Générer du hasard

Benoît Mandelbrot [11] utilise le hasard pour améliorer le modèle de côte constitué par la courbe de Von Koch. Générer du hasard dans les générateurs de fractales permet d’affiner la modélisation du monde réel à l’aide de fractales.
Pour en avoir une petite idée [12], on pourra introduire une orientation aléatoire du générateur [13] et même une probabilité pour le choix de cette orientation.

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Imagination will take you everywhere.

 [14]

On peut imaginer de changer l’un des angles du motif de la graine pour la courbe de Von Koch afin d’augmenter l’effet de brisure, et afin d’apporter au modèle un peu d’asymétrie.

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En remplaçant le motif de la graine pour la fractale de Von Koch, on obtient par exemple :
Mais aussi,

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Florence Messineo [15] imagine par exemple de remplacer dans le générateur de la fractale de Von Koch un segment par un arc de cercle... J’adore cette idée ! Cela permet de dessiner de jolies fleurs fractales.

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Autres pistes...

Les exemples simples de fractales à étudier en classe sont encore nombreux.
Un élève nous a montré une image très convaincante pour utiliser des fractales à des fins d’exploration de suites par exemple, lors d’un exposé sur Cantor.

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Bibliographie en images

Fractals for the classroom

Pour aller plus loin en classe avec les fractales, c’est ma bible en la matière. [16]

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Des activités prêtes à l’emploi à faire en classe, écrite par une équipe qui a largement réfléchi à comment aborder les fractales en classe.

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Une nouvelle manière de voir le monde

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Dans la collection Le monde est mathématique, ce livre explique quelle révolution la géométrie fractale apporte à la géométrie. Il est agréable à lire, et simple dans ses explications.

Benoît Mandelbrot et Adrien Douady

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L’incontournable Les objets fractals de Mandelbrot. [17]

Les objets fractals étant des objets mathématiques introduits très récemment [18], on pourra évoquer rapidement aux élèves les noms des mathématiciens Benoît Mandelbrot et Adrien Douady.
Car il est impossible de parler des fractales sans citer Benoît Mandelbrot à l’origine de la dénomination fractal et Adrien Douady, le premier à avoir médiatisé les fractales en France.


Enfin un auteur français pour la classe

Florence Messineo a le don pour trouver des activités ludiques sur les fractales.
Le monde fascinant des objets fractals est très complet, simple et agréable à lire. Si vous ne deviez avoir qu’un livre sur les objets fractals, c’est celui-ci qu’il vous faut. Le second est un cahier de dessin proposé sur les fractales, mais aussi un cahier de calculs.

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Une bande dessinée sur les fractales

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Les chroniques de Rose Polymath de Ian Stewart.

Et bien sûr, le Hors-série Tangente n°18 Les fractales

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Les fractales - Art, nature et modélisation.
Magnifique hors série dans lequel vous pourrez puiser votre source d’inspiration pour aborder de jolies fractales avec vos élèves.


Quelques liens pour soi

Deux (deux ?) minutes pour Mandelbrot de El Jj

 
 
La dynamique du lapin, Adrien Douady

 
 
Et de nombreuses images sur Wikimedia commons, sous license libre, et même passées dans le domaine public.

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[1La pensée algorithmique ou Computational thinking en anglais : notion que j’ai développée dans cet article Tout est algorithme, tout est fonction.

[2Cet article, les documents, les images et tous les contenus nathalierun.net et Snap! vers lesquels il mène sont sous license CC BY-NC-SA 3.0 FR.

[3Dimension affective et émotionnelle de l’apprentissage des Mathématiques.
Michèle Artigue (Université du Tampon, le 10 avril 2019)

[4J’aime cette façon structurée d’analyser et de découper le sujet. Il s’agit évidemment du sujet d’une bonne élève.

[5On remarquera que les angles indiqués sont orientés. Mais les flèches incurvées marquant les angles ne sont pas complètes.

[6Les angles indiqués sont géométriques.

[7Certains angles marqués 60° sont évidemment de 120°.

[8Les élèves ayant eu le courage de dessiner l’étape 4 ont eu un bonus de 3 points sur 30, donc 1 point sur 20.

[9BD de Yann Stewart, éditée chez Belin en 1982

[10On pourra consulter le détail des corrections apportée en classe à l’aide de ces liens :
https://nathalierun.net/lycee/piwig...
https://nathalierun.net/lycee/piwig...

[11Les objets fractals, Flammarion, 1995.

[12mais c’est bien plus compliqué que cela

[13que j’appelle graine dans cet article

[14Citation d’Albert Einstein, la phrase originale étant : Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere.

[15Le monde fascinant des objets fractals, référence bibliographique citée dans la partie Bibliographie

[16en anglais

[17Première parution en 1975 ; en français chez Flammarion en 1995

[18années 70 du siècle dernier


Documents joints

Pourquoi faire des fractales en classe (...)
Pourquoi faire des fractales en classe (...)
Présentation IREM du 10 avril 2019, université du Tampon.
Devoir sur la fractale de Von Koch
Devoir sur la fractale de Von Koch
Devoir sur la fractale de Von Koch annoté
Devoir sur la fractale de Von Koch annoté
Calculs pour le triangle de Sierpinski
Calculs pour le triangle de Sierpinski
Travail de Marie Grondin sur le triangle de Sierpinski. 1eS2. Année scolaire (...)

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Assemblée générale de l’APMEP-Réunion

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- Mercredi 11 septembre 2019, 14h-18h, salle S23.6, PTU, Saint-Denis.

Séminaire de l’IREM

- Mercredi 9 octobre 2019, 14h-18h : campus du Tampon.
- Mercredi 6 novembre 2019, 14h-18h : salle S23.6, PTU, Saint-Denis.
- Mercredi 27 novembre 2019, 14h-18h : campus du Tampon.
- Mercredi 5 février 2020, 14h-18h : salle S23.6, PTU, Saint-Denis.
- Mercredi 4 mars 2020, 14h-18h : campus du Tampon.
- Mercredi 8 avril 2020, 14h-18h : salle S23.6, PTU, Saint-Denis.


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Python au bac 2019

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La question 4b de l’exercice 3 du bac S Amérique du Nord ne pouvait être résolue sans utiliser Python.

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À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

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mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

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