Un exemple de fonction définie par une boucle

dimanche 14 juin 2009
par  Alain BUSSER

Un exemple de fonction venu du monde impitoyable de la finance, présente la particularité de se calculer par une boucle sans condition d’arrêt.

D’où l’intérêt que cette fonction peut présenter en Seconde, en algorithmie. Cependant, comme beaucoup d’exemples intéressants dans ce domaine, celui-ci fait appel à la notion de suites géométriques, et anticipe donc quelque peu sur la classe de Première.

Monsieur Fortuné place x € à la Caisse du Tangue [1] à un taux de 2,5%, pendant 20 ans. Ceci signifie que chaque année, la Caisse

  • ajoute à son capital de l’année précédente, 2,5% de celui-ci ;
  • arrondit le résultat au centime d’euro près.

Monsieur Richard, ayant placé x € au Crédit de la Fourmi [2] pendant 20 ans, bénéficie d’un calcul de son intérêt légèrement différent :

  • le Crédit multiplie 20 fois son capital initial par 1,025
  • puis arrondit au centime près, seulement à la fin.

On se demande lequel des deux procédés de calcul est le plus avantageux (arrondir chaque année, ou seulement à la fin). Pour cela on définit une fonction d’« erreur » qui, à chaque capital initial x, associe la différence entre les deux capitaux finaux de Messieurs Fortuné et Richard. Cette fonction a plusieurs particularités :

  1. Elle est discrète, puisque en tant que différence entre deux fonctions à valeurs décimales avec deux chiffres après la virgule, elle est de la même catégorie : Seulement deux décimales.
  2. Elle ne peut pas être calculée plus simplement qu’en itérant 20 fois la combinaison des deux opérations « multiplier par 1,025 » et « arrondir à deux décimales ».
  3. Elle est complexe, la valeur obtenue dépendant grandement de x, avec une allure chaotique.

Voici à quoi ressemble la représentation graphique de cette fameuse fonction, avec un côté dynamique, le taux d’intérêt, en pourcent, étant manipulé par un curseur :

On voit que parfois Monsieur Richard y gagne, et parfois c’est Monsieur Fortuné : Cela dépend non seulement du capital mais aussi du taux d’intérêt, et pour des taux d’intérêts grands, donc peu réalistes, la différence peut atteindre des dizaines d’euros !


Un très bon outil pour étudier cette fonction est Euler Math Toolbox : On définit une fonction f(r,x) dépendant de la raison r (considérée ici comme un paramètre) et du capital x, par le code suivant :

>function f(x,r)
  $s=x;
  $for n=1 to 20
  $s=round(r*s,2);
  $end
  $return s-round(x*r^20,2);
  $endfunction

Après ça, il suffit d’entrer le tout petit bout de code que voici

plot2d("f(x,1.025)",xmin=0,xmax=100);

pour avoir la représentation graphique de la fonction f(1,025 ;x) sur l’intervalle [0 ;100] :

On peut aller plus loin : En considérant non plus r comme un paramètre mais comme une variable, on peut représenter graphiquement la fonction de deux variables comme une surface :

On voit que l’écart entre les capitaux de Messieurs Fortuné et Richard va de -2400 € à 3800 €, mais ces valeurs ne sont atteintes que pour des taux d’intérêts voisins de 100%, ce qui est franchement irréaliste dans les banques (il faudrait chercher du côté de la Cosa Nostra ; mais dans ce cas ce ne sont plus des taux d’intérêt mais des taux d’usure).

On peut également inverser les rôles de r et x, et retrouver une fonction à une variable : erreur fonction du taux pour un capital donné.


Pour aller plus loin

Pour avoir des fonctions plus régulières, on peut chercher le minimum, le maximum, l’intégrale ou la valeur moyenne de f(r,x) sur des intervalles de la forme [x-h ;x+h].

En particulier l’intégrale de la fonction sur [0 ;10000] a un signe déterminant lorsqu’il s’agit de voir si, en moyenne, c’est Monsieur Richard ou Monsieur Fortuné qui y gagne le plus...

Le même phénomène a des conséquences dans le traitement numérique des signaux, où, en audio il engendre un bruit de fond et en traitement d’images, des « marches d’escalier » disgrâcieuses.

Le source de la figure DGPad

// Coordinates System :
SetCoords(64,198,40);
// Geometry :
P1=Point("P1",-1.6,-3.25);
E1=Expression("E1","int\u00e9r\u00eat (pourcents) : ","0","5","2.5","1.9","2.95");
E2=Expression("E2","","","","round(x*(100+E1))/100","22.65","-0.55");
E3=Expression("E3","","","","E2(E2(E2(E2(E2(x)))))","22.15","-1.55");
E4=Expression("E4","","","","E3(E3(E3(E3(x))))","22.15","-2.55");
E5=Expression("E5","","","","E4(x)-round(100*x*(1+E1/100)^20)/100","21.9","-3.3");
E6=Expression("E6","","","","E5(x)*10","-1.35","1.95");
f1=Curvus("f1","","","E6(x)");
// Styles :
STL(P1,"c:#0000b2;s:6;f:30");
STL(E1,"c:#0f453e;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO3M6MTA7ZjozMA==");
STL(E2,"c:#0a1b37;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E3,"c:#3b244d;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E4,"c:#7c253a;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E5,"c:#737e6c;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E6,"c:#2b4307;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(f1,"c:#760012;s:1;f:30;p:0");
SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
SetGeneralStyle("background-color:#FAFAFA");

[1ce mammifère ayant la particularité d’hiberner, est donc une sorte d’épargnant...

[2elle aussi emmagasine, voir La Fontaine


Documents joints

la représentation graphique
la représentation graphique
la représentation graphique
la représentation graphique

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On sait bien que Nicolas Bourbaki n’était pas le nom d’une personne mais le pseudonyme d’un groupe. L’équivalent en informatique théorique est Claude Livercy, auteur de la théorie des programmes. Roger Mohr était un des membres de Claude Livercy.

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

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Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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