Droite des douze points

Détermination géométrique du centre du cercle d’Euler
mardi 16 juin 2009
par  Michel SAAD

Au cours de ses années d’enseignement en mathématiques et en sciences physiques au lycée Lislet-Geoffroy, Michel Saad, actuellement retraité, a mis en évidence des propriétés annexes faisant suite à la droite et au cercle d’Euler. Il les soumet ici à la curiosité des géomètres.

Les figures dynamiques et les démonstrations peuvent être consultées dans le numéro 16 de MathemaTICE (septembre 2009).

Données

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle C de centre O. On désigne par :

- H son orthocentre ;
- Ω, milieu de [OH], le centre du cercle d’Euler C’ du triangle ;
- AA1, BB1, CC1 : les trois hauteurs ;
- A’’, B’’, C’’ : les milieux des segments [AH], [BH], [CH] ;
- A2, B2, C2 : les intersections des trois hauteurs avec le cercle C ;
- P, Q, R : les intersections des droites (BC, B1C1), (CA, C1A1), (AB, A1B1) ;
- Pʹ, Qʹ, Rʹ : les intersections de (B’’C’’, B1C1), (C’’A’’, C1A1), (A’’B’’, A1B1) ;
- P1, Q1, R1 : les intersections de (B’’C1, C’’B1), (A’’C1, C’’A1), (B’’A1, A’’B1) ;
- P2, Q2, R2 : les intersections de (BC2, CB2), (CA2, AC2), (AB2, BA2) ;
- Pʹ2, Qʹ2, Rʹ2 : les intersections de (BC, B2C2), (CA, C2A2), (AB, A2B2) ;
- D, E, F : les intersections de (B’’C’’, B2C2), (C’’A’’, C2A2), (A’’B’’, A2B2) ;
- I, J, K : les intersections de (B1C’’, BC2), (C1A’’, CA2), (A1B’’, AB2) ;
- Iʹ, Jʹ, Kʹ : les intersections de (C1B’’, CB2), (A1C’’, AC2), (B1A’’, BA2).

1. Droite des douze points

a. Les points P, Q, R appartiennent à une droite Δ, axe radical de deux cercles C et C’.

b. Les 12 points : D, E, F, I, J, K, Iʹ, Jʹ, Kʹ, P, Q, R appartiennent à la même droite Δ appelée « Droite des douze points ».

c. Les points : Pʹ, Qʹ, Rʹ, P1, Q1, R1 appartiennent à une droite D1.

d. Les points P2, Q2, R2, Pʹ2, Qʹ2, Rʹ2 appartiennent à une droite D2.

e. Les droites D1, D2 et Δ sont parallèles, perpendiculaires à la droite d’Euler.

f. La droite Δ est équidistante de D1 et de D2.

g. D2 est l’image de D1 dans l’homothétie de centre H, de rapport 2.

2. Détermination géométrique du centre du cercle d’Euler

h. Les droites (AP1), (BQ1), (CR1) sont concourantes en Ω, centre du cercle d’Euler C’ du triangle ABC.

Démonstration

J’ai fait la démonstration par une méthode analytique basée sur les équations des cercles et des droites. Il est possible d’en trouver une autre moins lourde utilisant les nombres complexes, le barycentre ou même une transformation dans le plan comme l’inversion.

Figures

En 1990, date de mes trouvailles, j’avais tracé les figures à la main. Actuellement, avec le logiciel GeoGebra, il est possible de vérifier ces propriétés en quelques minutes.

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Commentaires

Logo de Jean-Claude Gontard
mardi 16 juin 2009 à 18h36 - par  Jean-Claude Gontard

Jean-Claude Gontard, Marseille
jc.gontard@wanadoo.fr
Pourriez vous me laisser votre adresse Internet.Je vous répondrai par message et pièce-jointe.
Je viens tout juste de lire votre article « droite des 12 points », et n’ai pâs eu le temps d’analyse complète.Mais il m’intéresse beaucoup.
A+

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Le livre promenades d’Étienne Ghys est disponible au téléchargement sur le site de l’ENS de Lyon. Largement illustré, ce livre consacré à un problème de Maxime Kontsevitch dont l’énoncé est plutôt élémentaire, est une promenade dans toutes les mathématiques, informatique comprise, et pourrait bien réconcilier informaticiens et mathématiciens !

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lundi 13 août

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CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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