Arithmétique en Terminale S

Enseignement de spécialité
samedi 19 novembre 2005
par  Dominique TOURNÈS

Cet article rassemble divers documents utiles pour l’enseignement de l’arithmétique en Terminale S : cours, activités, problèmes, ouvertures historiques et culturelles.

Cours d’arithmétique

Jean-Claude Lise (février 2004)

Un cours complet d’arithmétique pour la Terminale S (enseignement de spécialité).

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Cours d’arithmétique

Cinq problèmes d’arithmétique

Françoise et Étienne Trabbia (septembre 2000)

Ces problèmes reprennent quelques sujets classiques de l’enseignement supérieur adaptés à la classe de Terminale. Ils permettent une ouverture vers l’arithmétique des polynômes et les équations algébriques.

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Équation du troisième degré à coefficients réels
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Racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers
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Méthode de Ferrari pour une équation de degré 4
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Entiers de Gauss
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Polynômes cyclotomiques

Crible d’Ératosthène

Michel Gontier (juillet 2001)

Le crible d’Ératosthène permet de trouver les nombres premiers inférieurs à un nombre donné par élimination des multiples successifs. L’utilisation du tableur permet d’évaluer les performances de la méthode pour des nombres de tailles raisonnables.

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Crible d’Ératosthène

Clés de contrôle

Michel Gontier (septembre 2003)

Toute fiche d’un fichier informatique a un identifiant unique qui est un numéro afin d’éviter les redondances comme les homonymes. Pour de très gros fichiers, ce numéro est souvent un très long nombre qui peut générer des erreurs lors de sa saisie informatique. Il faut donc vérifier que le numéro saisi correspond bien à la personne ou à l’objet concerné ; pour cela on emploie une clé de contrôle. La clé saisie est comparée par l’ordinateur avec la clé calculée grâce à un algorithme. Si les deux clés sont égales, la saisie de l’identifiant est considérée comme bonne et le traitement peut continuer.

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Clés de contrôle

L’infinité des nombres premiers

Denis Daumas (novembre 2005)

Dans ce texte, on compare la démonstration d’Euclide de l’infinitude des nombres premiers avec celles que l’on trouve dans les manuels actuels de Terminale.

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L’infinité des nombres premiers

La première apparition d’une racine carrée d’une quantité négative

Denis Daumas (novembre 2005)

On analyse ici la première apparition de la racine carrée d’une quantité moindre que zéro chez Jérôme Cardan, dans l’Ars Magna (Nüremberg, 1545).

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La première apparition d’une racine carrée d’une quantité négative

Commentaires

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mardi 16 novembre 2010 à 21h04 - par  Marc JAMBON

Calcul sur Mathematica du PGCD de a et b entiers naturels et d’un couple de
 coefficients entiers relatifs (u , v) tels que d = au +bv.

On utilise les seules opérations supposée connues : +, –, Max, Min, multiplication traduite par un espace blanc,
Quotient et Mod respectivement quotient et reste de la division euclidienne.
If est l’instruction conditionnelle, elle s’effectue exclusivement pour r >
 0, sinon, il ne se passe rien. Do répète k fois le programme situé à gauche
de la virgule dans son crochet. Le PGCD est à la fin dans d.

On pourra comparer avec le commentaire du 15 novembre 2010 de l’article : Quel
langage de progammation pour l’algorithmique en classe de seconde
.

n m’excusant de ne pouvoir transmettre le document mathematica original

d=Max[a,b] ; r=Min[a,b] ; k=r ; u=1 ; v=0 ; w=0 ; t=1 ;
Do[If[r>0,(x=u ; u=w ; w=x–w Quotient[d,r] ; y=v ; v=t ; t=y–t Quotient[d,r] ; z=d ; d=r ; r=Mod[z,r])],k] ;

If[bp>

Exemple 1

a=1 ; b=8 ;
d = 1 = 1 a + (0)b

Exemple 2

a=8 ; b=1 ;
d = 1 = 0 a + (1) b

Exemple 3

a=0 ; b=0 ;
d = 0 = 0 a + (1) b

Exemple 4

a=5 ; b=0 ;
 d = 5 = 1 a + (0) b

Exemple 5

a=9 ; b=6 ;
d = 3 = 1 a + ( –1) b 

Exemple 6

a=345 ; b=960 ;
d = 15 = –25 a + (9) b

Exemple 7

a=6321 ; b=4256 ;
d = 7 = –169 a + (251) b

Exemple 8

a=5437 ; b=8531 ;
d = 1 = 2749 a + (–1752) b

Exemple 9. Entrée d’un nombre strictement négatif

a=–3 ; b=5 ;
d = 5 = 0 a + (1) b

Noter que la boucle Do tourne 0 fois pour k < 0, le programme s’arrête, même s’il ne donne pas le PGCD

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dimanche 31 octobre 2010 à 18h18 - par  Marc Jambon

Ce commentaire concerne le cours d’arithmétique Terminale S de Jean Claude Lise, plus précisément les axiomes dits fondamentaux.

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.

A noter au passage que le deuxième énoncé est une conséquence facile du premier.

Ces axiomes sont utilisés à trois reprises dans le dit cours :
premier axiome en vue du théorème de la division euclidienne (p.2) ; deuxième axiome dans la définition (qui est en fait un théorème et définition) du PGCD (p.6). Dans ces deux cas, l’appartenance à la partie de N dont il est question est testable, c’est ainsi qu’elle conduit à un algorithme : algorithme de la division euclidienne, algorithme de recherche du PGCD conforme à la définition de plus grand commun diviseur à ne pas confondre avec l’algorithme d’Euclide qui fournit une autre méthode.

On rencontre la troisième utilisation dans le Théorème précédent le Théorème de Bézout (p.7). La partie E dont il est queston est définie comme le sous-ensemble des éléments y de N*pour lesquels il existe u et v éléments de Z tels que a u + b v = y.
Le « Il existe » dans Z ensemble de cardinal infini a pour effet de ne pas permettre de tester l’appartenance à ce sous-ensemble. Le résultat obtenu à ce stade de l’exposé est purement théorique, il permet toutefois de démontrer le théorème de Gauss dont la principale application est l’unicité dans la décomposition en produit de facteurs premiers, (on se demande pourquoi s’être donné tant de mal pour en admettre l’unicité conformément aux instructions du programme !). Ce même résultat ne permet pas de résoudre les équations diophantiennes (p.9), la deuxième méthode remontant l’algorithme d’Euclide (p.7) présentée sous forme d’exemple immédiatement avant l’identité de Bézout est indépendante de la démonstration précédente, elle pourrait être traitée dans le cas général, elle conduit à un algorithme facile à traiter sur un exemple mais moins évident à programmer.

En conclusion, les axiomes dits fondamentaux ne sont nullement évidents, leur démonstration à partir des axiomes de Péano s’appuierait sur le tiers-exclu. Il sont algorithmiquement acceptables lorsque le « non-vide » est démontré directement (aucun problème ici) et l’appartenance à la partie de N est testable.

jeudi 28 octobre 2010 à 08h06

Ce commentaire concerne la division euclidienne dans le cours de JC Lise.

Il y a une légère faute dans la démonstration de Conséquence de la propriété d’Archimède. Quand on a trouvé le plus petit entier p dans N tel que a < bp il n’est pas certain que q défini par q = p – 1 soit dans N. Il est facile d’y rémédier en recherchant directement le plus petit entier q dans N tel que a < b(q + 1) ...

Il y a aussi quelques fautes de frappe.

Dans la démonstration du Théorème de la division euclidienne dans N.
Démonstration de existence, fin de la première ligne :

qb ≤ a < q (b + 1) au lieu de qb C a ...

Dans la Division euclidienne dans Z, on lit Théorème puis
Définition : ... a ∈ Z et non Î, de même b ∈ Z \ ... et non Î \ ....

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mardi 26 octobre 2010 à 15h40 - par  Marc Jambon

Il est d’usage dans les cours d’arithmétique, y compris dans celui de Jean Claude Lise présenté ici, de parler de division euclidienne (p. 3) et d’algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD (p. 6).

En fouillant dans les Eléments d’Euclide, livres VII à IX consacrés à l’Arithmétique, je trouve bien les nombres premiers entre eux, la notion de PGCD mais aucune trace de division euclidienne au sens moderne du terme, celle-ci est remplacée par des soustractions successives, ce qui permet d’atteindre le reste mais non le quotient. En particulier, la recherche du PGCD de deux nombres entiers naturels se fait par soustractions successives le plus petit du plus grand.

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Le logicien Raymon Smullyan est décédé en février 2017, à l’âge respectable de 97 ans : Il avait eu Alonzo Church comme professeur ! Pour en savoir plus, voir cet article

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Les enseignements d’exploration au lycée imposent aux enseignants de travailler ensemble. Chantal Tuffery-Rochdi a analysé dans sa thèse les pratiques des enseignants de MPS (méthodes et pratiques scientifiques). Elle répond aux questions des Cahiers pédagogiques.

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Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

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Sur ce site (en anglais) dédié à la comptabilité, on trouve des informations intéressantes sur l’histoire et les pratiques de ce domaine, qui peuvent être utiles aux professeurs enseignant des mathématiques financières (et aussi aux autres...).

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Un livre (à télécharger) de Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière qui présente le calcul intégral et la dérivation en s’appuyant sur la question de Kakeya. Pour les lycéens, les étudiants et tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Sur le Web : Livre à télécharger

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