Introduction aux fractions par les bandes de ERMEL (CM1)

mercredi 18 janvier 2006
par  Didier BERNOT , Yves MARTIN

Nous vous proposons ici des commentaires pédagogiques ou didactiques autour de l’organisation de l’introduction des fractions en CM1, sur la base de l’activité de référence de fractionnement de l’unité avec des bandes (ERMEL - CM1).


L’introduction des fractions, dans la démarche d’ERMEL, est l’une des rares situations problèmes (au sens fort des anciens programmes de 1995, et ses démarches socio-constructivistes) qui soit implicitement restée dans les programmes pour le cycle 3. C’est la mise en place de cette démarche que nous proposons d’illustrer dans une classe tout à fait ordinaire, largement hétérogène.

Dans le cadre du premier projet de « banque vidéo » de l’IREM de La Réunion (2005), nous avons pu filmer 6 séances sur l’introduction aux fractions dont nous avons retenu 28 extraits vidéos commentés dans les onglets ci-dessous.

Cette mise en ligne est organisée pour satisfaire deux types d’utilisation :
- par des enseignants (stagiaires ou non) qui souhaitent mettre en place ce type d’approche ;
- par des formateurs qui peuvent désirer utiliser des extraits de ces séances pour des illustrations éventuellement de pratique pédagogique générale, sans que le thème des fractions soit significatif pour leur propos : ils utilisent alors un corpus mis à leur disposition pour illustrer leurs propres séances.

Voici les thèmes des séances. En cliquant sur une séance, un bloc s’ouvre, détaillant une présentation rapide des onglets correspondants.

S1 - Nécessité des nouveaux nombres



Le choix initial est simple : il s’agit d’introduire les fractions sur la base d’un questionnement de mesure par la manipulation de bandes (Séance 1) et d’institutionnaliser leur écriture (Séance 2) à partir des expressions des élèves.

Bien entendu un vécu social et des pratiques scolaires antérieures (l’oralisation de fraction d’heure par exemple) peuvent interférer avec cette introduction, et on verra justement, dans les analyses, comment on utilise implicitement cette interférence.

Une des raisons qui a motivé cette mise en ligne est le fait que la démarche socio-constructiviste préconisée a particulièrement bien fonctionné, dans des conditions assez optimales comme on le verra dans le descriptif détaillé de cette séquence. C’est aussi la raison pour laquelle nous avons eu envie de proposer ces supports vidéo à d’autres formateurs pour illustrer — au moins en formation initiale — le fonctionnement d’une telle démarche, et de nombreux autres points que nous développons dans les onglets suivants.


Les onglets associés à S1
S1a : Exemple de formation entre pairs (3 min 28 s)
S1b : Exemple d’installation d’approche socio-constructiviste à propos des fractions (7 min)

S2 - Institutionnalisation de l’écriture



Devant la diversité des écritures proposées pour exprimer le mesurage de longueurs, l’enseignant, au cours de cette séance, va institutionnaliser l’écriture fractionnaire. Il répond ainsi à une problématique toute simple : « on a tous voulu dire la même chose... il faut maintenant s’entendre sur une formulation commune ».

Les bandes utilisées étant plus grandes que l’unité, l’écriture est spontanément sous forme d’entier et de partie fractionnaire.

Cette écriture étant installée (demi, quart, huitième), les élèves établissent rapidement des correspondances, en particulier sous forme de décomposition additive.

Cette étape permet d’envisager différentes écritures d’une même mesure, et donc installe une pratique de calcul sur les bandes.


Les onglets associés à S2
S2a : Montage sur la première activité de la séance 2 (3 min)
S2b : Fin de la première activité - Interrogation sur le vocabulaire (40 s)
S2c : Première formulation autour de la bande D (2 min)
S2d : Nouvelle formulation autour de la bande D (2 min 30 s)
S2e : Formulation par les élèves de correspondances entre écritures fractionnaires (4 min 13 s)
S2f : Expressions de correspondances entre écritures fractionnaires sur les « huitièmes » (3 min 38 s)

S3 - Les fractions pour exprimer la mesure des segments



Après une séance de correction de mesure de bandes, où l’on insiste sur les différentes écritures de décompositions additives, on propose aux élèves de mesurer des segments.

Lors de la correction, on affine l’institutionnalisation.


Les onglets associés à S3
S3a : Illustration de la logique du contrat didactique (2 min 36 s)
S3b : Différentes décompositions additives d’une écriture fractionnaire (3 min 09 s)
S3c : Montage sur les activités de recherche (3 min 28 s)
S3d : Premières anticipations de calcul (1 min 37 s)
S3e : Exemples de décompositions additives de mesures inférieures à 1 (3 min 19 s)

S4 - Les fractions pour construire des segments



Dans cette séance les élèves vont devoir construire des segments dont la mesure est donnée avec une écriture fractionnaire, toujours avec les bandes. C’est l’occasion de mettre en œuvre leur pratique du fractionnement, et d’installer d’autres équivalences d’écriture lors de la mise en commun.

D’une manière générale, les élèves commencent à être à l’aise sur ce type d’activité. Dans leurs propositions d’écritures équivalentes, on voit chez certains un besoin de référence — même simplement visuelle — à la bande unité comme support de « conversion » alors que chez d’autres élèves, un début d’abstraction calculatoire commence à émerger.

Les interventions des élèves sont souvent riches, On se reportera aux DVD (disponibles localement à l’IREM) pour voir l’inventivité des élèves quand les mécanismes de calculs commencent à être acquis (11 min d’extraits vidéo en ligne seulement).


Les onglets associés à S4
S4a : Exemple de problème entre pliage et fractionnement (2 min)
S4b : Précision des manipulations et procédures employées (59 s)
S4c : Correction pour le point A - Autres écritures (2 min 51 s)
S4d : Correction pour le point B - Autres écritures (1 min 58 s)
S4e : Correction pour le point C - Autres écritures (2 min 47 s)

S5 - Nouvelles écritures



Cette séance est l’occasion de travailler sur les fractions sans disposer des bandes unités. Les élèves vont devoir transférer les gestes de manipulation vers une démarche qui engage nécessairement plus vers le concept de nombres.

Jusqu’ici, même si l’on était dans un contexte de mesure de longueur, les fractions pouvaient être seulement un vocabulaire de communication autour des manipulations des bandes unités, et les équivalences d’écritures, des transcriptions d’équivalences de manipulations avec les bandes.

Désormais, le contexte fractionnaire va devoir être plus arithmétisé, et même si les fractions ne restent, pour certains élèves, qu’un vocabulaire, il s’agit d’un vocabulaire qui s’exprime dans un contexte arithmétique.


Les onglets associés à S5
S5a : Montage autour de la première activité de la séance (2 min 14 s)
S5b : Mise en commun autour de stratégies sur la reconnaissance du fractionnement (6 min)
S5c : « Donc c’est pas ça l’unité » (2 min 06 s)
S5d : Dernières écritures sur les tiers - Correction (3 min 13 s)
S5e : Bilan de la séance (2 min 03 s)

S6 - Report d’écritures fractionnaires sur une demi-droite graduée



Dans cette séance, les élèves vont travailler sur des unités partagées en sept parties égales, puis cinq, et enfin dix parties égales, avec deux types d’activités : le report d’écritures fractionnaires, et la recherche de la mesure de longueur de segments, dans les deux cas sur la demi-droite graduée, sans utilisation de bandes.


Les onglets associés à S6
S6a : Travail sur les septièmes - Difficultés techniques ou conceptuelles (5 min 30 s)
S6b : Correction de l’activité précédente (2 min 30 s)
S6c : Mesures de segments sur la demi-droite graduée - Corrections (4 min 05 s)
S6d : Placer des fractions sur la demi-droite graduée - Corrections (3 min 38 s)
S6e : Placer des fractions sur une nouvelle graduation (5 min 45 s)


S1a

S1a - Exemple de formation entre pairs


Dans cet extrait, la voisine d’une élève interrogée par l’enseignant présente sa procédure personnelle pour mesurer une longueur.
Le maître approuve et confirme la démarche qui, de personnelle, devient institutionnalisée pour cette élève.
Elle explique alors à sa voisine « ce qu’il faut faire » et lui apprend à reproduire dans le détail sa propre procédure personnelle.

On notera au passage l’attitude métacognitive, sur la fin de l’extrait, qui consiste à valider les gestes produits alors même qu’on prend conscience d’une certaine imprécision.

Apprentissage entre pairs - 3 min 28 s


En formation, cette séquence peut montrer la richesse de l’interaction entre pairs. On peut l’utiliser aussi pour aborder la subtilité de la validation du résultat d’une procédure personnelle (ici d’une manipulation). On voit sur cet extrait que du côté de l’élève, elle devient une institutionnalisation de sa propre pratique avec comme conséquence, l’apprentissage des cheminements personnels à autrui.

À propos des fractions, on peut remarquer la démarche que le quart est ici la moitié d’une moitié... Cela peut signifier bien entendu plusieurs choses et en particulier, on peut s’interroger (ici mais aussi dans d’autres extraits sur la manipulation des bandes) sur cette affirmation d’autres auteurs qui disent — peut-être un peu vite — que, pour les fractions plus petites que l’unité il y a implicitement équivalence pour les enfants entre le fractionnement de l’unité — ce que l’on fait ici — et le partage de la multiplicité (la division associée). L’équivalence n’est peut-être pas aussi évidente que cela quand les schèmes se construisent ainsi dans la manipulation d’objets.

S1b

S1b - Exemple d’installation d’approche socio-constructiviste à propos des fractions


Dans cet extrait, l’enseignant demande à une élève de lire le message qu’elle a reçu. Le message est ambigu, mais l’élève le trouve correct, et elle a trouvé la bande car, va-t-elle expliquer, elle-même a émis un message identique.

Devant sa pratique de pliage loin de ce qui est attendu — mais qu’elle considère validée par son expérience — l’enseignant modifie sa stratégie et passe à une bande plus simple. Alors que l’élève au tableau montre la solution, un autre élève, Neels, commence à comprendre pourquoi l’enseignant a changé de stratégie, pourquoi le message précédent était « incomplet ».

Exemple de démarche socio-constructivitste - 7 min


C’est le début d’un échange qui permet à chacun de commencer à s’approprier la problématique du fractionnement de l’unité avec le vocabulaire de la classe.

Cette situation est intéressante en formation pour illustrer la démarche socio-constructiviste préconisée par ERMEL (et ici son efficacité). Disparue — en tant que démarche de référence — des programmes dès 2002 suite aux abus (en particulier de certains éditeurs pour lesquels à peu près tout était « une situation problème »), la démarche est actuellement à réserver à des situations significatives comme dans cette approche des nouveaux nombres.

S2a

S2a - Montage sur la première activité de la séance 2


Ce montage est un résumé des recherche des élèves sur la première activité de la séance. Il est centré sur la difficulté à quitter les unités de mesure usuelles pour rentrer dans la problématique du fractionnement.

On notera l’appropriation par les élèves du souci répété de l’enseignant d’être « extrêmement précis ». On peut observer également les vitesses d’exécution kinesthésiques différentes (manipulation, écriture), les hésitations des uns et des autres...

Montage S2a - 3 min



S2b

S2b - Fin de la première activité - Interrogation sur le vocabulaire


La meilleure élève de la classe ayant pris de l’avance ne sait pas dire, c’est-à-dire écrire ici, le fractionnement en huit parties égales.
Son voisin fait une tentative d’oralisation du seul terme connu sur les fractions non encore utilisé « le tiers ».
L’élève répond aussitôt que ce n’est pas possible car c’est « trop grand ».
On remarquera l’étonnement de sa voisine en entendant la façon dont on oralise le fractionnement de l’unité en huit.

La question du « huitième » - 40 s


Ce micro-extrait illustre simplement que, parfois, les pratiques sociales sur un vocabulaire mathématique, surtout dans un contexte comme celui-ci d’irrégularité de l’oralisation, n’engagent pas du tout l’extension des connaissances personnelles dans l’environnement scolaire, même si ce dernier sait les utiliser.

S2c

S2c - Première formulation autour de la bande D


Il s’agit d’exprimer la mesure d’une bande pour laquelle on va devoir utiliser le quart. C’est sur cette activité que l’enseignant a décidé d’institutionnaliser l’écriture des fractions.

Une première élève donne son expression et montre sa manipulation.
On remarquera que plier deux fois (« je replie le un demi » de cet extrait), est un autre geste mental que celui qui a consisté (dans S1b) à plier une moitié en deux... puisqu’ici il est accompagné d’un « donc ça fait quatre morceaux »...

« Et ça fait quatre morceaux » - 2 min


Ces différentes expressions — ici et la vidéo suivante — permettent de réfléchir sur cette identité plus ou moins supposée (par exemple chez Brissiaud), et éventuellement la relativiser, des gestes mentaux de fractionnement de l’unité et du « partage de la multiplicité » quand on travaille sur l’unité elle-même : on voit ici (S1b, S2b, S2c) que des gestes différents induisent des paroles différentes et des représentations différentes.

Assurément la mise en commun (comme en S2d) permet les passerelles et probablement de faire des identifications pour beaucoup d’élèves, mais pas pour tous comme on le voit si on visionne la séance complète.

S2d

S2d - Nouvelle formulation autour de la bande D


La manipulation élève va être la même, mais dans le vocabulaire, on insiste bien plus sur le pliage, et ce lien (à construire) entre le nombre de pliages de l’unité et le fractionnement.

On notera la démarche de l’enseignant qui consiste à écrire les différentes formulation des élèves (*). Cela permet ensuite de faire remarquer que toutes ces variantes individuelles d’expression veulent dire la même chose, et que l’on décide d’écrire cela d’une certaine façon : on fait la démarche collective du chemin vers la dépersonnalisation des connaissances individuelles pour reconnaître et dire un savoir commun.

Pour quelques élèves, conscients des enjeux d’apprentissage, le temps pris à cette attitude installe une démarche métacognitive.

Suite de la bande D - 2 min 30 s


C’est l’occasion d’écrire pour la première fois, institutionnellement, l’expression mathématique du quart.

Dans le cadre d’une formation, on peut critiquer éventuellement ici — ou un peu plus loin — le fait de ne pas avoir parlé de l’oralisation des fractions : à cause de connaissances sociales sur le temps en particulier, les expression « quart » et « tiers » sont connues. Mais ce ne sont que des cas particuliers, ce qui va poser problème ensuite aux élèves.

(*) L’essentiel de la mise en commun de la première activité, non reproduite dans cette mise en ligne.

S2e

S2e - Formulation par les élèves de correspondances entre écritures fractionnaires


Diverses prises de parole des élèves sur les correspondances d’écritures. Premières équivalences de gestes mentaux (et de manipulations) autour des relations multiplicatives — « deux quarts c’est (*) un demi » — et additives.

Puis, dans un contexte de simple anticipation, retour sur l’ambiguïté entre nombre de pliages (et pas de plis) et nombre de parts (fractionnement) : table de multiplication ? Autre chose ? Une élève propose une réponse.

Cette séquence peut être utilisée pour montrer combien les représentations s’installent ou au contraire évoluent par la prise de parole, et la confrontation des « expériences » de pensée de chacun : par exemple à 2 min 33 s remarquer la réaction de l’élève qui est derrière celui qui s’exprime.

Correspondances entre écritures fractionnaires - 4 min 13 s


On notera aussi la verbalisation correcte, de manière numérique, d’un processus — les puissances — qui ne sera institutionnalisé que trois ou quatre années plus tard.

(*) On peut voir dans cette phrase un exemple au cycle 3 de ce que Rémi Brissiaud appelle le second niveau d’arithmétisation : les quarts et les demis utilisés ne sont pas encore des objets arithmétiques à part entière, ils sont physiques, on les voit sur les bandes, et pourtant ils ont déjà pris une autonomie mathématique par rapport à la manipulation, au moins dans le discours de chez certains élèves.

S2f

S2f - Expressions de correspondances entre écritures fractionnaires sur les « huitièmes »


En fin de séance, on aborde les huitièmes. Alors qu’à l’extrait précédent, on constatait l’ambiguïté orale entre les plis effectués et le fractionnement, on voit ici que cette ambiguïté persiste à l’écrit.

D’où la recherche d’expressions orales collectives pour bousculer cette première représentation des huitièmes.

Les élèves qui écrivent 1/3 pour trois plis, cherchent à traduire, sous forme fractionnaire, les trois pliages successifs : confusion entre la traduction du pliage et du fractionnement obtenu.

On remarque un glissement de vocabulaire chez les élèves de « partager » vers « diviser ». Il n’en faudrait pas beaucoup plus pour que les fractions soient aussi une division... C’est alors la démarche de Rémi Brissiaud. C’est aussi un glissement implicite des nouveaux programmes de 2008 même si, l’équivalence entre fractionnement et division n’est officiellement qu’au programme de collège.

Oralisation des correspondances sur les « huitièmes » - 3 min 38 s


On peut envisager que le manque d’un moment d’institutionnalisation sur l’oralisation de l’écriture (« le dire c’est difficile ») participe de ces difficultés.

Là encore la parole des élèves est riche de règles implicites, en acte, qui s’installent naturellement à travers la communication : c’est plusieurs fois le cas dans le domaine multiplicatif du fractionnement. On peut voir aussi une utilisation relativement algébrique de l’égalité dans la transitivité de Neels « 4/8 = 2/4, comme 2/4 = 1/2 alors 4/8 = 1/2 ».

S3a

S3a - Illustration de la logique du contrat didactique


La mesure de la bande est 3, c’est la seconde bande de la séance, la précédente mesurait 1 + 1/4. L’élève, imprégné d’écriture fractionnaire croit qu’il doit écrire une fraction coûte que coûte.

On verra le même élève, à la fin de cette séance, écrire sans difficulté une décomposition additive (voir S3e).

Fraction et contrat didactique - 2 min 36 s


Cette séquence a été retenue pour illustrer, éventuellement en formation initiale (en PE1, type M1), la force du contrat didactique tel qu’il peut être présent chez les élèves.

En formation continue on peut faire remarquer — et analyser — cette même force chez nous-mêmes, les enseignants, ou les formateurs : quels contrats, quels scénarios individuels véhiculons-nous ?

S3b

S3b - Différentes décompositions additives d’une écriture fractionnaire


Un premier élève écrit la mesure de la bande par transposition arithmétique de ses manipulations. Il trouve 2 + 1/2 + 1/4.

Le maître demande une autre écriture (la séquence est coupée sur le temps de recherche individuelle) puis un élève montre son écriture avec une justification très personnelle, clairement fragile, même si la vidéo laisse à penser que l’élève « voit » les deux quarts du un demi quand il montre la bande.

Sur un plan mathématique, on notera aussi que la partie fractionnaire est comme celle de la partie décimale, mais en base 2 (1/2 et 1/4 correspondent à 1/10 et 1/100). On parle d’écriture dyadique.

Décompositions additives différentes - 3 min 09 s


Cet extrait illustre une certaine véracité de cet adage qui voudrait que « ce qui se conçoit bien s’exprimer clairement » : l’ambiguïté présentée ici révèle une connaissance — voire une ébauche de savoir faire — en construction, qui cherche dans l’interaction son propre échafaudage : le langage participe à tous les niveaux de la construction des savoirs.

S3c

S3c - Montage sur les activités de recherche


On travaille sur la mesure des segments, et les écritures différentes de cette mesure.

Dans ce montage, on voit les élèves dans une activité qui donne du sens à ces nouveaux nombres en construction.

On voit aussi leur engagement dans le travail et le plaisir qu’ils ont à chercher et à élaborer leurs solutions.

Montage sur S3c - 3 min 28 s



S3d

S3d - Premières anticipations de calcul


Cet extrait illustre les prises de décision spontanées du maître quand il ressent la capacité chez un élève de s’affranchir du confort de la manipulation des objets pour basculer dans l’abstraction du calcul et du pouvoir d’anticipation qu’il a avec ces nouveaux nombres.

Ce saut est provoqué par le maître quand l’élève se situe dans la zone proximale de développement.

La fin de l’extrait est une autre belle leçon de l’implicite du contrat didactique.

ZPD et anticipation de calcul - 1 min 37 s


L’anticipation par le calcul avant la manipulation est une illustration du document d’application des programmes qui fait du calcul « un pouvoir d’anticipation » sur le réel. Les mathématiques sont une recherche constante de modélisation du monde. Par ses concepts, elle propose des anticipations sur le réel.

L’enseignant a un rôle fondamental pour faire vivre cette dimension des mathématiques dans le quotidien de sa classe.

Son expertise est auto-validée quand ses choix de ces moments d’enseignement se révèlent pertinents.

S3e

S3e - Exemple de décompositions additives de mesures inférieures à 1


Fin de la séance, correction des deux derniers segments à mesurer qui sont plus petits que le segment unité.

Intervention de deux élèves dont on voit la capacité d’expression et la précision du vocabulaire.

Décompositions additives plus petites que 1 - 3 min 19 s



S4a

S4a - Exemple de problème entre pliage et fractionnement


Dans un premier temps cet extrait montre des pliages corrects de la bande unité pour représenter les fractionnements engagés dans la mesure, puis l’exemple (à 36 s) d’une élève pour qui le bord du dessin de la demi-droite modifie sa procédure pour engager le pliage de la bande unité (déjà vu dans l’extrait S1b).

Après de nombreuses manipulations, on arrive, en dépliant la bande à retrouver... le point initial de pliage.

Pliage et fractionnement - 2 min


Cet exemple a été mis en ligne pour illustrer que l’activité de manipulation peut déboucher facilement elle aussi sur des erreurs non encore effectuées quand les procédures sont confrontées à un nouveau milieu (ici le « bord du segment » qui représente la demi-droite). Comme dans les démarches cognitives, il y a alors rapidement perte de sens des gestes de manipulation ! Il en est de même au collège où la relation de Chasles peut faire tourner longtemps en rond pour arriver à la conclusion \vec{0} = \vec{0}.

S4b

S4b - Précision des manipulations et procédures employées

Le gabarit permet de comparer rapidement l’efficacité des procédures : ici une élève a reporté 5 fois un quart de bande unité, ce qui apporte naturellement des imprécisions.

Fort de cet exemple, on peut argumenter de l’intérêt de réécrire mentalement (à terme) les écritures fractionnaires quand il y a manipulation (physique puis mentale) sur les bandes pour minimiser les erreurs.

Précision et utilisation du gabarit - 52 s


L’argumentaire, développé ici sur la manipulation, peut être peu à peu transposé dans le champ du calcul quand l’expertise ne fera plus appel au support des bandes.

S4c

S4c - Correction pour le point A - Autres écritures


On appréciera la précision du vocabulaire associé à la manipulation effectuée.

L’enseignant utilise alors l’opportunité de la seconde marque à « une unité et quatre quarts » pour faire apparaître les 2 unités.

Contrairement à ce que l’on pourrait penser avec ce résumé, le passage à 2 unités n’est pas si facile : avant l’élève qui le trouve en passant par les huitième, une autre élève avait trouvé la décomposition en 1 + 8/8 + 2/8.

Correction du point A - 2 min 51 s


Cet extrait illustre, certes le début d’une aisance dans la manipulation des écriture fractionnaires, mais aussi la difficulté, pour beaucoup d’élèves, de s’affranchir du fractionnement pour retrouver l’unité : l’élève qui trouve 2 unités a dû fractionner « un peu plus », comme s’il fallait trouver un fractionnement plus petit, commun, à 1 et 1/4, comme si la première bande unité devait elle aussi être fractionnée pour pouvoir être insérée dans un calcul.

La manipulation sur les bandes fractionnées, associée à la décomposition additive de l’écriture de la mesure, installe une représentation mentale des fractions qui n’inclut pas naturellement les entiers. D’où l’effort en ce sens effectué à ce moment de la séance.

S4d

S4d - Correction pour le point B - Autres écritures


« Est-ce que l’on a besoin de plier maintenant pour dire que une unité c’est deux demis ? » : après avoir passé beaucoup de temps sur les écritures de la première mesure, le maître installe les élèves dans leur expertise de l’expérience de pensée (l’élève n’a plus envie de plier la bande).

Le maître poursuit sur cette lancée, les élèves additionnent les demis et le maître peut conclure par un « vous voyez on commence à plus avoir besoin des bandes » qui sera repris en conclusion de la séance.

Il ne faut pas non plus oublier que tous les élèves ne sont pas encore installés dans cette expertise-là.

Correction du point B - 1 min 58 s


On retiendra en formation (éventuellement en visualisant cette partie dans son entier) que dans une même séance on peut prendre du temps pour installer une expertise et faire ensuite émerger celle-ci, consciemment et rapidement, quand on remarque qu’elle est effective chez certains élèves : on n’est pas du tout ici dans du béhaviorisme, mais bien dans du socio-constructivisme — option « BRUNER » de par la latitude d’intervention du maître.

S4e

S4e - Correction pour le point C - Autres écritures


« Tout de suite on voit apparaître une autre écriture », et cette autre écriture est effectivement vue « tout de suite », ce qui n’était pas le cas lors de la correction pour le point A, loin de là : l’enseignant, par cette remarque, permet une cristallisation cognitive sur les démarches de calcul.

D’autres décompositions — dont une soustractive — sont proposées par les élèves en fin de séance avant une conclusion où l’enseignant parvient à faire expliciter par les élèves eux-mêmes qu’ils ont moins besoin des bandes pour trouver d’autres écritures équivalentes des mesures (voir le DVD à la médiathèque)

Correction du point C - 2 min 47 s


La difficulté, pourtant réelle, soulevée en S4c commence à s’estomper par la pratique d’un certain « calcul réfléchi » sur les bandes. On retrouve ainsi, avec une situation « prototypique » de ERMEL, mise en pratique par un enseignant sensibilisé au rôle qu’il joue dans la mise en œuvre de cette situation, une illustration des conclusions cognitivistes de BRISSIAUD qui fait remarquer (manuel du maître de CE2) que l’appropriation du sens est « une alchimie entre la pratique du calcul réfléchi et la schématisation ».

S5a

S5a - Montage autour de la première activité de la séance


Première activité sans l’usage des bandes unités et donc sans les procédures de validation personnelle par fractionnement de l’unité. Il s’agit de provoquer un transfert des procédures de manipulation vers des démarches plus cognitives.

Cette séquence est l’occasion de voir que le transfert s’opère plutôt bien, mais avec quelques interrogations.

La mise en commun va être l’occasion — à nouveau par la verbalisation — de fixer davantage, en les conscientisant, les procédures de « transferts en actes » que l’on peut observer chez certains élèves.


Dans cette séquence il s’agit d’illustrer la difficulté de décontextualisation du pliage : le fractionnement de l’unité devient d’une autre nature. On notera par exemple le vocabulaire de l’élève qui, devant la feuille, reprend le même discours que lors de S1a quand elle aidait sa voisine. Cet extrait, replacé dans le contexte des autres extraits vidéo, montre aussi le cheminement vécu par les élèves : une expertise sur les bandes, un questionnement sur cette nouvelle situation avant de retrouver rapidement une expertise (pour certains) dans la visualisation du fractionnement, même s’il ne correspond plus à des pliages.

S5b

S5b - Mise en commun autour de stratégies sur la reconnaissance du fractionnement


Il s’agit d’installer chez les élèves — par explicitation des procédures — le cheminement intellectuel qui aboutit au repérage du fractionnement de l’unité sans utilisation de la bande qui a servi dans les séances précédentes :
- repérage de l’unité par de nouveaux indices ;
- de son fractionnement ;
- dénombrement des « cases », « morceaux d’unité » en remplacement des pliages de la bande unité.

L’enseignant revient très rapidement sur les différentes écritures, ce qui permet aux élèves, en adaptant leurs procédures, de vérifier qu’ils retrouvent, dans ce nouveau contexte, très rapidement leurs expertises numériques individuelles acquises lors des séances précédentes.

Stratégie de reconnaissance du fractionnement - 6 min


Bien entendu tout ceci a été fait sur un fractionnement de l’unité maintenant bien connu des élèves. C’est seulement une fois ce mécanisme de transfert acquis que l’enseignant va proposer de nouveaux fractionnements, qu’on ne réaliserait pas aussi simplement par pliage... on s’achemine ainsi peu à peu vers le fractionnement de l’unité en 10 parts égales.

S5c

S5c - « Donc c’est pas ça l’unité »


Première activité sur un autre fractionnement de l’unité que par des puissances de 2. Le titre de cet extrait est celui d’une représentation erronée très passagère chez un bon élève.

Neels a toujours compris, et souvent anticipé sur les activités vues jusque-là : ces représentations sont solides et assurées de par ses réussites antérieures.

Devant cette nouvelle activité, sur cette base-là, il n’a pas de doute, « donc c’est pas ça l’unité ».

Première activité sur les tiers - 2 min 06 s


Peut-être plus que d’autres, cet extrait vidéo est précieux en formation, en particulier en PE1 à propos de la force de nos représentations : les enseignants en poste ont tous rencontré des représentations erronées furtives de bons élèves — ce qui souvent renvoie à des questionnements sur nos propres fonctionnements. Mais ces représentations sont si furtives qu’il est rare qu’une caméra soit là, justement à ce moment.

Voir aussi le commentaire du prochain extrait pour un autre regard...

En tout cas, merci à Neels pour cette phrase d’anthologie... pour la formation.

S5d

S5d - Dernières écritures sur les tiers - Correction


Devant les difficultés sur cette activité avec un fractionnement en tiers, l’enseignant fait un bilan du travail en cours afin d’institutionnaliser à nouveau la démarche à suivre.

Les propos des élèves sur le fractionnement utilisé montrent bien la difficulté de se séparer des quarts.

La séquence vidéo se poursuit par des extraits du travail individuel des élèves, (certains passent à la demi-droite graduée en cinquièmes).

Puis la séquence se termine par des extraits de la correction, faite par le maître probablement à cause du temps passé (en temps réel) sur cette activité.

Suite sur les tiers - 2 min 06 s


Comme on l’a dit lors d’un autre extrait, une critique à formuler à propos de cette séquence de formation est la question de l’oralisation de l’écriture des fractions : probablement ce point, dans l’institutionnalisation des nouveaux nombres aux séances 2 et 3 n’a-t-il pas été suffisamment abordé, et l’oralisation du fractionnement en trois pose certainement un problème : si personne ne dit « un troisième » (et, justement, pourquoi ?), le « tiers », déjà connu par ailleurs, peut avoir des représentations éloignées de notre contexte de fractionnement, qui s’affranchit tout juste du pliage à cette séance.

S5e

S5e - Bilan de la séance


Toutes les séances se terminent par un bilan de ce qui a été appris. Ce bilan est fait par les élèves. Pour en montrer un, nous avons choisi celui-ci, assez court.

En DVD, voir en particulier celui de la séance 1, qui, du côté des élèves, est véritablement un acte de métacognition, peut-être parce que c’était leur première expérience de pliages en arithmétique...

Bilan de S5 par les élèves - 2 min 06 s



S6a

S6a - Travail sur les septièmes - Difficultés techniques ou conceptuelles


Dans une première partie (1 min) on voit différentes productions d’élèves, dont quelques difficultés d’écriture des septièmes (comme 7/16 et 7/19) ou de reconnaissance du fractionnement.

Dans une seconde partie (1 min), l’enseignant revient sur la feuille comportant les écritures précédentes 7/16 et 7/19.

Dans la troisième partie, il propose à une élève une remédiation en dessinant la bande unité : on voit alors émerger les représentations du fractionnement véhiculées par les séances précédentes avec le pliage des bandes et le marquage des plis : jusqu’ici les quarts ou les huitièmes ont représenté des longueurs, donc des intervalles. Il y a un glissement délicat du contrat didactique dans le processus d’arithmétisation, puisqu’on ne s’intéresse plus aux plis mais aux graduations.

Difficultés sur les septièmes - 5 min 30 s


En formation initiale, il est intéressant de prendre conscience que toute approche, toute pratique enseignante s’accompagne de représentations spécifiques : c’est de la responsabilité du maître de les repérer pour proposer des activités correctives. Sur les représentation en jeu ici, on peut signaler qu’elles sont plus ontologiques : la question de l’intervalle (le pli) et de ses frontières (la graduation) est une problématique générale partout présente : même dans l’enseignement supérieur, ces questions du global (sur un intervalle) ou du local (en un point, en particulier aux bornes de l’intervalle) sont sources d’erreurs rédhibitoires qui font le succès universitaire des ouvrages de contre-exemples...

S6b

S6b - Correction de l’activité précédente


Si on a mis l’accent dans l’extrait précédent sur les difficultés rencontrées par les élèves et les remédiations proposées, on voit ici, au contraire, une certaine aisance dans la manipulation des fractions et dans l’expression de la démarche effectuée.

À partir de 52 s, l’extrait propose différentes « autres écritures fractionnaires » pour les graduations proposées.

A partir de 1 min 30 s, une élève propose une écriture soustractive, une autre élève vient l’expliquer.

Correction - Écriture soustractive - 2 min 30 s



S6c

S6a - Travail sur les septièmes - Difficultés techniques ou conceptuelles


On aborde désormais, sur la demi droite graduée en septième, la mesure de segments. L’extrait vidéo est structuré ainsi :
- 1 min de travaux des élèves ;
- 1 min 15 s pour la correction des deux longueurs AB et CD qu’on pourrait qualifier de démarche par dénombrement (on compte les septièmes comme des « plis arithmétisés ») ;
- le reste de l’extrait est sur le passage à une démarche de calcul sur les fractions par retrait (proposée par une élève) ou par complément (privilégiée par le maître).

Mesure sur la droite graduée - 4 min 05 s


Cet extrait montre une démarche élève de type « arithmétisation de schématisation » (la manipulation est transférée du domaine sensible à une première abstraction) reprise par le maître pour aller vers un niveau d’organisation plus conceptuel. Ce genre d’extrait pourrait être utilisé en formation — certes des PE1 et PE2 mais ici plus particulièrement — des PLC2 maths dans le cadre d’une sensibilisation au travail mathématique fait à l’école primaire (et trop régulièrement nié). On peut commenter, à l’appui de cet extrait, toute l’ambiguïté (et donc la finesse) de l’enseignement dans ces classes qui doit faire émerger les concepts à partir des représentations des élèves que l’enseignement a lui-même provoqué dans les premiers apprentissages.

S6d

S6d - Placer des fractions sur la demi-droite graduée - Corrections


Avec cette activité, on revient à l’écriture de fraction (sous forme de décomposition additive) associée à une graduation.

Dans l’extrait on voit surtout les élèves travailler (avec le maître parfois), la dernière minute étant consacrée à la correction.

On notera que le retour à ce type d’activité sur la même droite graduée ne semble pas poser trop de problème, même après la recherche de longueur de segment, ce qui ne va pas être le cas dans le prochain extrait.

Placement de fractions sur la droite graduée - 3 min 38 s



S6e

S6e - Placer des fractions sur une nouvelle graduation


Dernière activité de la séance, on continue l’activité consistant à placer des fractions sur une nouvelle graduation, en cinquièmes.

L’extrait commence par la confusion entre la graduation (depuis l’origine) et la mesure de longueur de segment (depuis la dernière fraction écrite). On notera aussi la prégnance de cette erreur que nous avions étiquetée de prémisse à la confusion entre global et local (à 35 s).

À 1 min 45 s, il y a correction de cette activité. À 2 min 45, les élèves commencent à proposer d’autres écritures, avec retour à des fractionnements en demis et huitièmes sur les entiers, et à 4 min, une élève présente une écriture soustractive.

Fractions à placer sur une nouvelle graduation - 5 min 45 s


Enfin une erreur à 4 min 25 s motive le maître à demander de placer la moitié sur cette droite graduée en cinquièmes, ce qu’une élève fait sans difficulté.

On notera l’oralisation « deux demis plus deux demis ça fait quatre demis » (à 3 min) : l’élève additionne oralement les demis dont on peut penser qu’ils sont déjà largement arithmétisés. On sait que le passage à l’écriture n’est pas aussi simple pour tout le monde.


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Nouveaux programmes pour la maternelle

mercredi 3 juin 2015

Les lecteurs attentifs des futurs programmes de la maternelle, qui rentreront en vigueur à la rentrée 2015, ont pu remarquer qu’ils reprennent les positions défendues par Rémi Brissiaud depuis des années sur la construction du nombre. Le site de la CFEM (Commission française pour l’enseignement des mathématiques) propose une page résumant le débat sur ce thème, avec deux contributions de ce chercheur.

thaMographe

mardi 30 décembre 2014

Le thaMographe, médaille d’or au Concours Lépine européen 2013, est un instrument pratique, peu cher, performant, qui remplace à lui seul les quatre outils usuels de géométrie (compas, règle graduée, équerre, rapporteur). De nombreuses écoles l’on mis sur leur liste de fournitures scolaires. Le site d’accompagnement contient des tutoriels pour une utilisation du primaire au post-bac.

Sur le Web : thaM thaM

Cellule de Géométrie

mardi 9 avril 2013

La Cellule de Géométrie (Haute École en Hainaut, Belgique) met à la disposition des professeurs des documents concernant l’enseignement de la géométrie de 5 à 18 ans. L’objectif est de permettre aux élèves de s’approprier progressivement et naturellement la démarche scientifique.

Sur le Web : Cellule de Géométrie

Artluxultra

samedi 20 octobre 2012

Artluxultra est un site d’art mathématique qui présente, sous un angle figuratif, les relations entre la géométrie, l’algèbre et la topologie.

Sur le Web : Artluxultra

Enigmath 2011

samedi 12 novembre 2011

Un Quizz de Mathématiques GRATUIT ne nécessitant que des connaissances élémentaires.

Les objectifs principaux sont de mettre en valeur auprès du grand public la place occupée par les mathématiques dans notre vie de tous les jours, et d’aborder des aspects de la recherche en mathématiques ou liés aux mathématiques, tout en permettant aux participants de s’évaluer sur des questions de mathématiques simples.

Sur le Web : Enigmath 2011

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