Le théorème des cercles inscrits égaux par la trigonométrie hyperbolique

dimanche 16 août 2009
par  Géry HUVENT

En écho à l’article d’Yves Martin et Dominique Tournès, qui développe deux preuves élémentaires du théorème des cercles inscrits égaux, Géry Huvent donne ici une troisième démonstration de ce résultat à l’aide des fonctions hyperboliques.

L’auteur : Géry Huvent est professeur en classes préparatoires PCSI au lycée Faidherbe de Lille.
Son site personnel, Epsilon Maths, est très riche : outre les documents de travail destinés à sa classe, on y trouvera des pages sur le nombre Pi et le nombre Zêta(5), divers articles de mathématiques et quelques sangaku remarquables.

Géry Huvent est, en effet, un passionné de sangaku. On lira avec délectation son ouvrage : Sangaku. Le mystère des énigmes géométriques japonaises, Dunod, 2008. Voici comment l’ouvrage est présenté par l’éditeur :

« Au Japon, les sanctuaires shinto et les temples bouddhistes peuvent renfermer de véritables trésors mathématiques : sur des tablettes de bois accrochées aux auvents, sont peintes des énigmes géométriques colorées, les sangaku. Les sangaku ont vu le jour au cours de la période Edo (1600-1868) quand le Japon avait coupé presque tout contact avec le monde extérieur. Composées de figures simples (cercles, triangles, carrés...) et témoignant du sens de l’esthétisme japonais, ces énigmes présentent une très grande originalité. À travers une sélection des plus beaux et plus intéressants sangaku, classés par difficulté et présentés avec leur solution complète, cet ouvrage vous fera découvrir ce joyau encore mal connu des mathématiques japonaises. »

Géry Huvent ne pouvait rester indifférent au sangaku des cercles inscrits égaux proposé par le hors-série de la revue Tangente sur le cercle. Après avoir pris connaissance des preuves élémentaires publiées dans l’article d’Yves Martin et Dominique Tournès, il a cherché et rédigé la solution par la trigonométrie hyperbolique qui était évoquée par les rédacteurs de Tangente. Nous le remercions chaleureusement pour avoir accepté de publier cette solution en avant-première sur le site de notre IREM. Une version améliorée et enrichie de compléments sera publiée ultérieurement sur son site personnel.

Solution de Géry Huvent

On considère un triangle ABC que l’on partage en n triangles
AM_{k-1}M_{k}, 1\leq k\leq n, de telle façon que les cercles inscrits
à ces n triangles aient tous même rayon. Alors les cercles inscrits
dans les triangles construits par regroupement de deux triangles
consécutifs ont également même rayon.

Pour démontrer ce résultat, on se place dans le repère indiqué
par la figure suivante. L’axe des ordonnées est la droite (BC), l’origine le projeté orthogonal de A sur cette droite. Le point A ayant pour coordonnées (0, h), où h>0.

Soit x_{k} l’abscisse du point M_{k}, on pose x_{k}=h\,\text{sh}
(t_{k})  (ou t_{k}=\arg\text{sh}(x_{k}/h) pour être précis). On note

  • l_{k}  =AM_{k} ; a_{k}=M_{k-1}M_{k} et a=M_{0}M_{n} ;
  • p_{k}  =\dfrac{1}{2} ( l_{k-1}+l_{k}+a_{k}) est le demi-périmètre de AM_{k-1}M_{k}, k variant de 1 à n ;
  • \sigma_{k}  =\dfrac{1}{2}ha_{k} est l’aire de AM_{k-1}M_{k}, k variant de 1 à n ;
  • p  =\dfrac{1}{2} (  l_{0}+l_{n}+a) est le demi-périmètre de ABC ;
  • \mathcal{A}  =\dfrac{1}{2}ha est l’aire de ABC ;
  • r est le rayon commun des cercles inscrit aux triangles AM_{k-1}M_{k} pour k variant de 1 à n.

Alors

l_{k}  =\sqrt{h^{2}+h^{2}\,\text{sh}^{2}\left(  t_{k}\right)
}=h\,\text{ch}\left(  t_{k}\right)  \text{ pour }0\leq k\leq n\ ;

l_{k-1}+l_{k}  =h\left(  \text{ch}\left(  t_{k-1}\right)
+\text{ch}\left(  t_{k}\right)  \right)  =2h\,\text{ch}\left(
\dfrac{t_{k}-t_{k-1}}{2}\right)  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{k}
+t_{k-1}}{2}\right)\ ;

a_{k}  =h\left(  \text{sh}\left(  t_{k}\right)  -\text{sh}
\left(  t_{k-1}\right)  \right)  =2h\,\text{sh}\left(  \dfrac
{t_{k}-t_{k-1}}{2}\right)  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{k}+t_{k-1}}
{2}\right)\ ;

p_{k} =h\left[  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{k}-t_{k-1}}{2}\right)
+\text{sh}\left(  \dfrac{t_{k}-t_{k-1}}{2}\right)  \right]
\text{ch}\left(  \dfrac{t_{k}+t_{k-1}}{2}\right)  =h\,\text{ch}
\left(  \dfrac{t_{k}+t_{k-1}}{2}\right)  \exp\left(  \dfrac{t_{k}-t_{k-1}}
{2}\right).

On en déduit que

r =\dfrac{\sigma_{k}}{p_{k}}=\dfrac{1}{2}\,h\dfrac{a_{k}}{p_{k}
}=h\,\text{sh}\left(  \dfrac{t_{k}-t_{k-1}}{2}\right)  \exp\left(
-\dfrac{t_{k}-t_{k-1}}{2}\right)

\quad \quad =\dfrac{h}{2}\times\left(  1-\exp\left(  t_{k-1}-t_{k}\right)  \right).

Cette égalité prouve que la suite \left(  t_{k}\right)  _{0\leq k\leq
n} est arithmétique de raison \rho=-\ln\left(  1-\dfrac{2r}{h}\right). En particulier, on a t_{k}=t_{0}+k\rho.

On calcule ensuite le rayon du cercle inscrit au triangle AM_{k}M_{k+2}, pour 0\leq k\leq n-2. On a

M_{k}M_{k+2}=h\left(  \text{sh}\left(  t_{k+2}\right)
-\text{sh}\left(  t_{k}\right)  \right)  =2h\,\text{sh}\left(
\dfrac{t_{k+2}-t_{k}}{2}\right)  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{k+2}
+t_{k}}{2}\right)  =2h\,\text{sh}\left(  \rho\right)  \text{ch}
\left(  \dfrac{t_{k+2}+t_{k}}{2}\right).

Le demi-périmètre de AM_{k}M_{k+2} est donc

h\,\text{sh}\left(  \rho\right)  \text{ch}\left(  \dfrac
{t_{k+2}+t_{k}}{2}\right)  +\dfrac{l_{k+2}+l_{k}}{2}=h\exp\left(  \rho\right)
\text{ch}\left(  \dfrac{t_{k+2}+t_{k}}{2}\right).

et son aire vaut \dfrac{1}{2}\,hM_{k}M_{k+2}.

Le rayon du cercle inscrit à AM_{k}M_{k+2} est bien constant et vaut

h\,\text{sh} ( \rho)  \exp ( -\rho)  =\dfrac{h}{2}\, ( 1-\exp (-2\rho) )  =2\,\dfrac{r (h-r)}{h}.

On peut également exprimer le rayon r en fonction de a, \mathcal{A}
et p. Puisque t_{n}=t_{0}+n\rho, on a

a  =2h\,\text{sh}\left(  \dfrac{t_{n}-t_{0}}{2}\right)
\text{ch}\left(  \dfrac{t_{n}+t_{0}}{2}\right)  =2h\,\text{sh}
\left(  \dfrac{n\rho}{2}\right)  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{n}+t_{0}
}{2}\right)

p  =h\left[  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{n}-t_{0}}{2}\right)
+\text{sh}\left(  \dfrac{t_{0}-t_{n}}{2}\right)  \right]
\text{ch}\left(  \dfrac{t_{n}+t_{0}}{2}\right)  =h\,\text{ch}
\left(  \dfrac{t_{n}+t_{0}}{2}\right)  \exp\left(  \dfrac{t_{n}-t_{0}}
{2}\right)  =h\,\text{ch}\left(  \dfrac{t_{n}+t_{0}}{2}\right)
\exp\left(  \dfrac{n\rho}{2}\right)

\mathcal{A}  \mathcal{=}\dfrac{1}{2}\,ha=h^{2}\,\text{sh}\left(
\dfrac{n\rho}{2}\right)  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{n}+t_{0}}
{2}\right),

d’où

\dfrac{\mathcal{A}}{p}  =h\,\text{sh}\left(  \dfrac{n\rho}{2}\right)
\exp\left(  -\dfrac{n\rho}{2}\right)  =\dfrac{h}{2}\left(  1-\exp\left(
-n\rho\right)  \right)

\quad \quad =\dfrac{h}{2}\left(  1-\left(  1-\dfrac{2r}{h}\right)  ^{n}\right).

Avec \mathcal{A=}\dfrac{1}{2}\,ah, on déduit

\dfrac{2\mathcal{A}}{hp}  =\dfrac{a}{p}=\left(  1-\left(  1-\dfrac{2r}
{h}\right)  ^{n}\right)  \Longrightarrow \boxed{\left(  1-\dfrac{a}{p}\right)
^{1/n}=1-\dfrac{2r}{h}}

d’où r  =\dfrac{h}{2}\left(  1-\left(  1-\dfrac{a}{p}\right)
^{1/n}\right)

ce qui s’écrit \boxed{r=\dfrac{\mathcal{A}}{a}\left(  1-\left(
1-\dfrac{a}{p}\right)  ^{1/n}\right)}\,.

On peut généraliser facilement et calculer le rayon du cercle inscrit
au triangle AM_{i}M_{i+k}, pour constater qu’il est constant. Soit r_{i}
ce rayon, on calcule donc

M_{i}M_{i+k}  =h\left(  \text{sh}\left(  t_{i+k}\right)
-\text{sh}\left(  t_{i}\right)  \right)  =2h\,\text{sh}\left(
\dfrac{t_{i+k}-t_{i}}{2}\right)  \text{ch}\left(  \dfrac{t_{i+k}
+t_{i}}{2}\right)  =2h\,\text{sh}\left(  \dfrac{k\rho}{2}\right)
\text{ch}\left(  \dfrac{t_{i+k}+t_{i}}{2}\right)

l_{i}+l_{i+k}  =2h\,\text{ch}\left(  \dfrac{k\rho}{2}\right)
\text{ch}\left(  \dfrac{t_{i+k}+t_{i}}{2}\right).

Le demi-périmètre du triangle AM_{i}M_{i+k} vaut ainsi

\dfrac{1}{2}\left(  M_{i}M_{i+k}+l_{i}+l_{i+k}\right)  =h\,\text{ch}
\left(  \dfrac{t_{i+k}+t_{i}}{2}\right)  \exp\left(  \dfrac{k\rho}{2}\right)

et son aire est \dfrac{1}{2}\,h\,M_{i}M_{i+k}. Le rayon r_{i} a donc pour valeur

r_{i}=h\,\text{sh}\left(  \dfrac{k\rho}{2}\right)  \exp\left(
-\dfrac{k\rho}{2}\right)  =\dfrac{h}{2}\left(  1-\exp\left(  -k\rho\right)
\right)  =\dfrac{h}{2}\left(  1-\left(  1-\dfrac{2r}{h}\right)  ^{k}\right).

Puisque 1-\dfrac{2r}{h}=\left(  1-\dfrac{a}{p}\right)  ^{1/n}, on en déduit que

r_{i}=\dfrac{h}{2}\left(  1-\left(  1-\dfrac{a}{p}\right)  ^{k/n
}\right)  =\dfrac{\mathcal{A}}{a}\left(  1-\left(  1-\dfrac{a}{p}\right)
^{k/n}\right).


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 février 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 B
- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

Statistiques

Dernière mise à jour

jeudi 23 février 2017

Publication

732 Articles
Aucun album photo
125 Brèves
11 Sites Web
126 Auteurs

Visites

573 aujourd'hui
1112 hier
1932450 depuis le début
41 visiteurs actuellement connectés