Le théorème de Pythagore

Activités pour le collège
lundi 31 août 2009
par  Claire FRANCESCONI

Cette activité est destinée aux enseignants de collège en mathématiques. Elle est composée de plusieurs modules.

  1. ACTIVITÉ DE DÉCOUVERTE permet aux élèves de découvrir le théorème de Pythagore.
  2. VISUALISATION EN GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE est composée de trois activités développées à l’aide de logiciels de géométrie dynamique.
  3. UN PEU D’HISTOIRE relate la vie de Pythagore.
  4. APPLICATIONS AUTOUR DES TRIANGLES RECTANGLES montre une application du théorème de Pythagore utilisée en menuiserie, ainsi que le jeu du tangram.
  5. COURS SUR LE THÉORÈME DE PYTHAGORE visualise le cours sur le théorème de Pythagore.
  6. EXERCICES AUTOUR DU THÉORÈME DE PYTHAGORE reprend les exercices des cahiers Mathenpoche (développés par l’association Sésamath).

REMERCIEMENTS :

UN GRAND REMERCIEMENT AUX WEBMASTERS DES SITES SUIVANTS POUR LEURS INFORMATIONS ET LEURS IMAGES « LIBRES » sans brevet :

- Merci au webmaster de math93.com pour son site si complet.
- Merci aux enseignants qui ont créé le logiciel de géométrie dynamique CaRMetal et qui ont mis à disposition de nombreuses activités.
- Merci à l’équipe de Tracenpoche pour son activité de visualisation par les aires.
- Un grand merci à Wikimedia Commons pour toutes ces images libres qui m’ont permis de réaliser le diaporama sur l’histoire de Pythagore.
- Merci à Wikipédia pour l’extrait sur le jeu du tangram.
- Merci au webmaster de Chronomath pour son excellent site.
- Merci aux enseignants qui ont mis sur YouTube une vidéo sur la démonstration du théorème de Pythagore par basculement d’aires.


Flash ou Javascript ne sont pas activés. Activez-les et relancez la page !

1. Activité de découverte

Télécharger la fiche élève :

OpenDocument Text - 17.3 ko
Fiche élève

2. Visualisation en géométrie dynamique

PREMIÈRE ACTIVITÉ : visualisation du théorème de Pythagore par puzzle, activité développée par René Grothmann avec le logiciel CaRMetal.

Montrons que :
AC^{2} = AB^{2} +BC^{2}

Dans un premier temps, on peut modifier le triangle ABC, puis il faudra déverrouiller le puzzle avant de commencer l’activité.


DEUXIÈME ACTIVITÉ  : visualisation du théorème de Pythagore par glissement de triangles, activité démonstration.zir développée avec le logiciel CaRMetal.

Commencer par déverrouiller l’activité (faire glisser le point rouge en haut à droite de la figure) puis suivre les instructions afin de démontrer que a^{2} = b^{2} +c^{2}.


TROISIÈME ACTIVITÉ : visualisation du théorème de Pythagore par “basculement d’aires”.

Démonstration du théorème de Pythagore

3. Un peu d’histoire

Pythagore de Samos


Pythagore de Samos

Pythagore naît à Samos, en Asie Mineure, et meurt à Métaponte, en Italie.
On dit que son père, ciseleur de bague de son métier, interrogea la pythie de Delphes au cours d’un voyage. Elle lui prédit qu’il aurait un fils plein de beauté et de sagesse. Son père appella cet enfant Pythagore, ce qui signifie « prédit par la pythie ». À 17 ans, il remporte toutes les compétitions de pugilat (boxe antique) aux jeux olympiques.

Il voyagea longtemps, en Syrie, en Crète, et en Égypte, étudia la géométrie, l’astronomie des Égyptiens. Il revint à Samos pour y enseigner, s’installa finalement à Crotone, en Italie, et fonda une école proche d’une secte. Il mourut assassiné.

Pythagore fut l’un des premiers à affirmer que la Terre est sphérique et qu’elle gravite avec d’autres planètes autour d’un feu central. Il appella le ciel « cosmos », ce qui signifie l’ordre. Il pensait que les nombres régissaient l’harmonie du monde. Il fut d’ailleurs très affecté d’avoir découvert \sqrt{2} car il ne connaissait pas ces nombres irrationnels.







On attribue à Pythagore le mot « mathématiques », qui signifie « celui qui veut apprendre les sciences ».

Pythagore a découvert les lois de l’harmonie en musique.. Il établit ainsi la gamme musicale qui repose principalement sur les quatre intervalles consonants (unisson, octave, quinte, quarte).

On doit aux Pythagoriciens d’importants résultats d’arithmétique comme :

- la table de multiplication (adoptant ainsi le système décimal) ;
- les nombres premiers (n’ayant pas de diviseurs autres que 1 et eux-mêmes) ;
- les critères de divisibilité ;
- une claire distinction entre les nombres pairs (2n) et impairs (2n + 1) ;
- le fameux théorème de Pythagore.

Les Égyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds régulièrement répartis qui, une fois tendue, formait le triangle rectangle (3, 4, 5) et permettait d’obtenir un angle droit entre deux « longueurs ». Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs.


4. Applications autour des triangles rectangles

1) Bricolage (extrait du manuel Sésamath 4e)


Pour vérifier s’il a bien posé une étagère de 20 cm de profondeur sur un mur parfaitement vertical, M. Brico a pris les mesures marquées sur le schéma.

Son étagère est elle parfaitement horizontale ?

29^{2} = 841 et   20^{2} + 21^{2} = 400 + 441 = 841
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ci-dessus est bien un triangle rectangle.

On peut donc conclure que son étagère est parfaitement horizontale.

2) Le tangram : un jeu avec des triangles rectangles, un carré et un parrallélogramme (extrait de Wikipédia et images de Wikimedia Commons)




Le tangram est un jeu chinois très ancien, que l’on peut traduire en français comme le jeu de « La plaquette aux sept astuces ».

Une légende dit qu’il y a 1000 ans en Chine, un homme du nom de « Tan » fit tomber un carreau qui se brisa en 7 morceaux. En essayant de rassembler les morceaux pour reconstituer le carreau, l’homme s’aperçut qu’avec les 7 pièces il était possible de créer de formes multiples, d’où l’origine du jeu de tangram.


5. Cours sur le théorème de Pythagore

Télécharger le cours :

OpenDocument Text - 56.6 ko
Cours sur le théorème de Pythagore

6. Exercices autour du théorème de Pythagore

Télécharger les fiches d’exercices des cahiers Mathenpoche :

OpenDocument Text - 172.1 ko
Exercices sur le théorème de Pythagore
OpenDocument Text - 110.2 ko
Exercices sur la réciproque du théorème de Pythagore

Documents joints

Démonstration par puzzle
Démonstration par puzzle
Démonstration par glissement de triangles
Démonstration par glissement de triangles
Carte mentale de la séquence
Carte mentale de la séquence

Commentaires

Logo de Fab
samedi 5 septembre 2009 à 09h07 - par  Fab

Les animations sont jolies et c’est une synthèse rapide.
Ca devrait plaire aux élèves.

Merci Claire.

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6


Brèves

Éducation à l’espace (au collège)

mardi 21 avril 2015

L’ouvrage Éducation à l’espace, publié en mars 2014 par l’IREM de Paris, est issu de la réflexion du groupe MAG (Mathématiques, Arts plastiques et Géographie). Il se partage en trois parties disciplinaires approximativement équivalentes. La partie « Géométrie » est associée à un site où les professeurs de collège trouveront de multiples ressources.

maths974.fr

dimanche 8 juin 2014

Pascal Dorr, professeur au collège de Terre-Sainte (Saint-Pierre, Réunion) publie un site mathématique consacré aux niveaux 4e, 3e et 3e Pro. On y trouve de nombreuses ressources pour s’entraîner et réviser (fiches de cours, animations, exercices en ligne, vidéos, etc.).

Sur le Web : maths974.fr

... Donc, d’après...

dimanche 6 octobre 2013

Dans ce livre, Philippe Colliard propose « une construction axiomatique de la géométrie au collège, à l’usage des élèves (et de leurs parents), des professeurs et des autres personnes que cela pourrait intéresser ».

Sur le Web : Mathémagique

Ressources pédagogiques de l’Académie des sciences

lundi 8 juillet 2013

Sur le site de l’Académie des sciences a été créée une rubrique Ressources pédagogiques rassemblant des articles courts, écrits par ou à l’initiative de membres de l’académie, et exploitables dans l’enseignement secondaire.

Elle est organisée en trois sous-rubriques :
- Histoire des sciences.
- Méthode scientifique.
- Fiches thématiques sur l’environnement.

Nouveau site de la CFEM

samedi 29 juin 2013

La CFEM (Commission Française pour l’Enseignement des Mathématiques) est la commission française de l’ICMI (International Commission on Mathematical Instruction). Son site est dédié à l’enseignement des mathématiques et aux conditions de son développement.

Sur le Web : CFEM

Nath & mathiques

mercredi 8 août 2012

Nathalie Daval est actuellement professeur au collège ECLAIR des Deux-Canons (Saint-Denis de la Réunion). Sur un site bien structuré, elle met à la disposition des enseignants les documents pédagogiques qu’elle a élaborés au fil de ses expériences d’enseignement, de la 6e au BTS.

Sur le Web : Site de Nathalie Daval

Concours Bulles^2

dimanche 25 septembre 2011

Les revues Images des mathématiques et Tangente ont lancé un concours de bandes dessinées humoristiques sur les mathématiques et les mathématiciens. Plus de 40 dessinateurs ont envoyé leurs œuvres, qui ont été examinées par un jury de professionnels et par les internautes. Consultez les résultats sur le site Images des mathématiques et dans le numéro de septembre de Tangente.

Statistiques

Dernière mise à jour

samedi 27 mai 2017

Publication

745 Articles
Aucun album photo
131 Brèves
11 Sites Web
127 Auteurs

Visites

515 aujourd'hui
593 hier
2025225 depuis le début
35 visiteurs actuellement connectés