Sections planes de surfaces

Terminale S (enseignement de spécialité)
mardi 17 février 2004
par  Jean-Claude LISE

L’activité illustre le passage de l’analytique au géométrique et vise à renforcer la perception d’une figure de l’espace donnée par une équation cartésienne. Elle se déroule dans une salle informatique et exploite les logiciels GéospacW, Excel, DERIVE et Dpgraph.

Documents à télécharger

- Documents Word : fiche guide et déroulement
- Fichier Excel : explorations
- Fichiers GéospacW : xOy.g3w , yOz.g3w , xOz.g3w et chgtrep.g3w (copier le texte de la figure dans Editer >> texte de la figure puis Executer)
- Fichier DERIVE : paraboloide
- Fichiers Dpgraph : figure 1 et figure 2 (vous devez avoir préalablement téléchargé le logiciel gratuit DpgraphViewer)

Word - 27 ko
Fiche guide
Word - 41 ko
Déroulement
Excel - 21.5 ko
Explorations
Zip - 3.9 ko
Fichiers GéospacW
Zip - 12.5 ko
Fichier DERIVE
Zip - 1.4 ko
Fichiers Dpgraph

Étude de la figure S d’équation z^2=x^2+y^2

Lors de la séance précédente, les élèves ont établi l’équation cartésienne d’un cylindre illimité d’axe (Oz) à partir de considérations géométriques. Nous avons ainsi illustré le passage du géométrique à l’analytique.

Dans cette séance, il s’agit du passage inverse. La figure S est donnée par une équation cartésienne qui n’est pas connue des élèves. Nous allons montrer que l’étude des sections de S par des plans parallèles aux plans de coordonnées permet de mieux appréhender la figure dans l’espace.

Le tableau à compléter (fichier Excel) est une sorte d’entrée en matière, une exploration naïve de la situation ; l’élève se construit ses premières représentations.

On s’intéresse ensuite à la nature des sections de S par des plans parallèles aux plans de coordonnées. On commence naturellement par les plans parallèles à (xOy). On met facilement en évidence (fichier chgtrep.g3w) que M a pour coordonnées (xya) dans (O, ijk) si et seulement si M a pour coordonnées (xy) dans (A, ij) où A(0, 0, a).

Très rapidement, les élèves obtiennent une équation de la section de S par le plan P_{a} d’équation z = a dans le repère (A, ij) : z^2=x^2+y^2. S’ensuit une discussion suivant les valeurs de a.

Le logiciel GéospacW permet de représenter la courbe d’équation x^2+y^2=a dans le plan variable P_{a}. Les flèches du clavier combinées aux commandes « sélection >> trace » permettent de faire varier a et de visualiser la figure S comme une surface engendrée par les sections (fichier xOy.g3w).

On pratique de manière analogue pour découvrir les sections de S par des plans parallèles à (xOz).

Aux noms des variables près, les élèves devraient reconnaître l’équation caractérisant la section de S par le plan Q_{b} d’équation y = b : z=x^2+b^2 dans le repère (B, ik) où B(0, b, 0) dans (O, ijk).

Le logiciel DERIVE permet de tracer quelques-unes de ces courbes dans un même plan par une simple formule :

VECTOR(x^2+b^2b, 0, 3, 0.1)

Le logiciel GéospacW permet de dessiner [1] la courbe d’équation z=x^2+b^2 dans le plan variable Q_{b}. Les flèches du clavier combinées aux commandes « sélection >> trace » permettent de faire varier b et de visualiser la figure S comme une surface engendrée par les sections (paraboles) (fichier xOz.g3w).

On procède de même pour les sections de S par des plans parallèles à (yOz) (fichier yOz.g3w).

Enfin, les logiciels DERIVE et Dpgraph permettent de visualiser directement la figure en 3D à partir d’une équation

DERIVE

Dpgraph (figure 1)


DPGRAPH présente l’avantage de gérer les équations implicites du type f(xyz) = 0. Les figures sont d’une qualité exceptionnelle et les sections par des plans d’équations z = k sont représentées.


[1Méthode simplifiée :
- Dans les fichier xoz.g3w et yoz.g3w, modifier la fonction f. Entrer x^2+a^2 à la place de 0, valider et faire varier a avec les flèches.
- Dans le fichier xoy.g3w modifier le rayon du cercle C : entrer racine(a) à la place de 0.


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120C
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6


Brèves

Décès de Raymond Smullyan

mercredi 15 mars

Le logicien Raymon Smullyan est décédé en février 2017, à l’âge respectable de 97 ans : Il avait eu Alonzo Church comme professeur ! Pour en savoir plus, voir cet article

Travailler à plusieurs

lundi 19 décembre 2016

Les enseignements d’exploration au lycée imposent aux enseignants de travailler ensemble. Chantal Tuffery-Rochdi a analysé dans sa thèse les pratiques des enseignants de MPS (méthodes et pratiques scientifiques). Elle répond aux questions des Cahiers pédagogiques.

Un document sur Eduscol

mardi 19 mai 2015

Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

Histoire de la comptabilité

vendredi 28 décembre 2012

Sur ce site (en anglais) dédié à la comptabilité, on trouve des informations intéressantes sur l’histoire et les pratiques de ce domaine, qui peuvent être utiles aux professeurs enseignant des mathématiques financières (et aussi aux autres...).

La CGE et la réforme des lycées

lundi 16 janvier 2012

La Conférence des Grandes Écoles publie 19 préconisations pour la réforme du lycée.

Sur le Web : Les 19 préconisations

Pratique des mathématiques en série STD2A

lundi 16 janvier 2012

Le site de l’IGEN offre des recommandations et des ressources pour enseigner les mathématiques en série STD2A. Les thèmes abordés (couleurs et nuances de gris, arcs et architecture, jeux vidéos, photo et tableur, perspectives parallèles...) sont de nature à donner aussi des idées d’activités aux enseignants des autres séries !

En cheminant avec Kakeya

lundi 16 janvier 2012

Un livre (à télécharger) de Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière qui présente le calcul intégral et la dérivation en s’appuyant sur la question de Kakeya. Pour les lycéens, les étudiants et tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Sur le Web : Livre à télécharger

Bicentenaire Galois

lundi 12 septembre 2011

À l’occasion du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois (1811-2011), l’Institut Henri Poincaré et la Société mathématique de France organisent un ensemble de manifestations et proposent un site contenant diverses ressources documentaires susceptibles d’intéresser les enseignants.

Statistiques

Dernière mise à jour

jeudi 20 avril 2017

Publication

737 Articles
Aucun album photo
130 Brèves
11 Sites Web
126 Auteurs

Visites

66 aujourd'hui
1120 hier
1991384 depuis le début
8 visiteurs actuellement connectés