Une étude de cas : l’indice de masse corporelle

vendredi 18 septembre 2009
par  Alain BUSSER

Dans cet article, on va montrer diverses méthodes graphiques pour calculer un IMC.

L’indice de masse corporelle, ou IMC, d’une personne adulte, est défini comme le quotient de sa masse, en kilogrammes, par le carré de sa taille, en mètres. Il s’agit d’une notion statistique inventée par Adolphe Quételet au 19e siècle.

Dans tout cet article, on considèrera le cas de Monsieur B. H. O., ancien basketteur, qui mesure un bon mètre 86 pour 72 kilos, ce qui lui confère un IMC de \frac{72}{1,86^2}\simeq 21 : Bonne nouvelle pour lui, Monsieur B. H. O. est en bonne santé avec un IMC normal.


Abaques

Pour calculer graphiquement l’image d’un nombre par une fonction, on repère l’antécédent sur l’axe des abscisses grâce à des graduations portées sur celui-ci, puis on utilise la représentation graphique de la fonction pour repérer f(x) sur les graduations de l’axe des ordonnées. Cette activité est une part importante du programme de maths au lycée, comme en témoigne le nombre de sujets — par exemple du bac STG — portant sur la question.

Le même procédé permettrait de calculer graphiquement f(x,y) en repérant x et y sur deux axes puis en utilisant la représentation graphique de f(x,y) pour situer le nombre cherché sur un troisième axe gradué, avec cette différence importante que la représentation graphique est une surface, ce qui rend l’exercice un peu plus difficile, et se fait maintenant dans l’espace tridimensionnel.

Dans le cas présent, la fonction donnant l’IMC est f(x,y)=\frac{x}{y^2} dont la représentation est une surface cubique (par produit en croix on a zy^2=x) dont l’outil Polyray de WIMS donne la représentation suivante :

Pour utiliser cette surface, on mène le point de l’axe des abscisses jusqu’à la graduation 1,86 (graduation non représentée ci-dessous) et le point sur l’axe des ordonnées sur la graduation 72, puis on regarde le point de la surface à la verticale du point de coordonnées (1,86 ; 72 ; 0). Par définition, sa cote (ou hauteur) est l’IMC de Monsieur B. H. O. qui se lit alors sur l’axe des cotes (graduations non représentées ci-dessous non plus, pour ne pas trop surcharger la figure). On peut regarder la scène sous plusieurs angles en utilisant le cliquer-droit-glisser de la souris :

CarMetal - 240.9 ko
l’abaque dans l’espace

Finalement l’angle le plus pratique pour regarder cette scène, c’est d’au-dessus, car dans ce cas on a un dessin plan, mais pour lire la hauteur du point d’abscisse 1,86 et d’ordonnée 72, on ne peut plus utiliser les graduations de l’axe des z puisqu’on ne voit plus celui-ci, mais les lignes de niveau de la surface précédente. Alors on repère 1,86 sur l’axe des abscisses et 72 sur l’axe des ordonnées [1], puis on regarde la courbe (ce sont des paraboles) la plus proche du point obtenu, et on y lit l’IMC de Monsieur B. H. O. qui est toujours 21 :

CarMetal - 177.7 ko
l’abaque dans le plan

La ressemblance avec ce tableau explique l’étymologie du mot abaque. Le fait que chaque zone de catégories d’IMC (normal, trop petit, trop gros) peut être coloriée dans une couleur différente et la rapidité de la construction graphique favorisent ce type de représentation car plus parlante, comparée par exemple à ce beau programme en JavaScript.

Si maintenant on gradue les axes de coordonnées en graduations logarithmiques, la définition de l’IMC devient z=x-2y qui représente un faisceau de droites, plus faciles à construire et moins tassées que les paraboles précédentes. On a alors l’abaque suivant, qui s’utilise de la même manière que le précédent :

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abaque logarithmique

Cependant l’abondance de courbes, ou de droites, rend difficile la lecture de ce genre d’abaques. En utilisant la notion de dualité en géométrie projective, Maurice d’Ocagne a transformé ces abaques en ce qu’il a baptisé nomogrammes avec son système de coordonnées parallèles et dont on ne montre que deux exemples ci-dessous :


Nomogrammes

La duale de la figure précédente est formée de trois droites parallèles :

CarMetal - 87.2 ko
nomogramme à droites parallèles

On repère les 1,86 mètres et 72 kilos sur les deux premières droites, et on mène par ces graduations une droite [2], qui coupe la troisième droite parallèle en un point correspondant à la graduation 21 : L’IMC de Monsieur B. H. O. est donc de 21.

Dans le cas des nomogrammes, les zones correspondant aux différentes catégories d’IMC sont des segments, non coloriés ci-dessous. Le coloriage a été fait sur le nomogramme ci-dessous basé sur deux arcs de paraboles gradués, l’un par la taille, l’autre par l’IMC, et une droite graduée par la masse :

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nomogramme à parabole

En déplaçant le point bleu sur la graduation 1,86 et le point cyan sur la graduation 72, la droite formée par ces deux points coupe l’arc de parabole des IMC sur la graduation 21, ce qui confirme que l’IMC de Monsieur B. H. O. est bien 21.


[1Sur une version papier cela revient à placer deux équerres sur ces points.

[2Avec la version papier on place une règle sur le graphique.


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Semaine des mathématiques

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Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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