Multiplicateur de Möbius

lundi 28 septembre 2009
par  Alain BUSSER

Pour construire graphiquement le produit de deux nombres positifs (ici ce sont des entiers) a et b, on peut s’aider de la parabole d’équation y=(a+b)x-x^2 qui coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses 0 et a+b, et passe par les points de coordonnées (1;a+b-1) et (a+b-1,a+b-1) (ce dernier point peut se construire comme intersection de la parabole et de la bissectrice y=x) et dont le sommet a pour coordonnées \left(\frac{a+b}{2};\frac{(a+b)^2}{4} \right). L’équation de la parabole permet de montrer que celle-ci passe aussi par les points de coordonnées (a;ab) et (b;ab) (facile en mettant x en facteur) : Il suffit alors de lire l’ordonnée commune des deux points d’abscisses respectives a et b sur la parabole [1] :

CarMetal - 4 ko
construction graphique avec paraboles

N’ayant pas eu la chance de disposer de CaRMetal en 1841, August Ferdinand Möbius a dessiné un faisceau de paraboles dans son article, lisible (pour ceux qui comprennent l’allemand) sur Gallica, et dont la figure 1 est reproduite ici :

Ce qu’on voit sur la figure de Möbius, et pas sur le fichier CaRMetal ci-dessus, c’est l’idée selon laquelle pour Möbius, une parabole est une droite projective, donc munie de graduations, idée qui est à la base du nomogramme suivant :

CarMetal - 181.9 ko
le nomogramme pour la multiplication

Il se trouve que la parabole y=x^2 est au programme de Seconde, ainsi que ses intersections avec des droites, ça tombe bien...

La seule difficulté en Asymptote est le calcul de vecteurs normaux

pour représenter les graduations.

Le programme ci-dessous donne le fichier pdf téléchargeable en bas de l’article :

Si le texte et les graduations sont si minuscules, c’est pour agrandir en A3 (après avoir imprimé le pdf téléchargeable ci-dessous).

On peut multiplier deux nombres inférieurs à 10 en tendant un fil sur une parabole !


Applications

Si, au lieu de mettre des graduations dont les abscisses sont régulières, on met sur la même parabole, des graduations dont les ordonnées sont régulières, on obtient un nomogramme qui calcule la moyenne géométrique de deux nombres positifs :

CarMetal - 183 ko
nomogramme pour la moyenne géométrique

Une autre application du multiplicateur de Möbius est visible dans l’article sur l’IMC.


[1à condition de disposer d’un traceur de parabole, Möbius ne dit pas où il a eu le sien...


Documents joints

fichier pdf à agrandir après impression
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CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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