Deux introductions du produit scalaire en Première S

jeudi 11 mars 2004
par  Jean-Claude LISE , Nordine Bernard TOUMACHE

Introduction du produit scalaire à partir du travail d’une force

Jean-Claude Lise

Parmi les nombreuses approches permettant d’introduire le produit scalaire, celles prenant appui sur la notion intuitive de travail d’une force en physique offrent un cadre concret aux élèves. D’autre part, il est avantageux de choisir une définition naturellement intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs pour éviter dès le départ des surcharges inutiles. L’activité propose d’allier ces deux choix didactiques par le biais d’un logiciel de construction tel que Cabri Géomètre ou GéoplanW.

Après avoir évoqué les notions de travail moteur, résistant ou nul, il s’agit de faire des conjectures sur le comportement du nombre AB^2 + AC^2 - BC^2 à l’aide d’un logiciel de géométrie et de conclure à une certaine concomitance.

Le point de départ est la situation où la contribution de la force \overrightarrow{AC} au déplacement de A vers B est nul ; on a alors immédiatement AB^2 + AC^2 - BC^2 = 0. Il devient alors naturel d’observer le comportement de AB^2 + AC^2 - BC^2 dans d’autres situations. Avec les logiciels, on s’aperçoit rapidement que AB^2 + AC^2 - BC^2 est un bon candidat pour exprimer le travail d’une force par un calcul. On établit ainsi une conjecture entre travail — moteur ou résistant — et signe de AB^2 + AC^2 - BC^2. Le facteur 2 qui apparaît dans l’activité peut justifier la division par 2 ! La suite du cours est classique et bien balisée.

Documents à télécharger : feuille d’activité (en formats doc et pdf) et fichiers de géométrie dynamique zippés (Cabri Géomètre et GéoplanW) pour aider à la conjecture.

Word - 42 ko
Feuille d’activité
(format doc)
PDF - 14.2 ko
Feuille d’activité
(format pdf)
Zip - 1.8 ko
Figures dynamiques
(Cabri Géomètre et GéoplanW)

Introduction du produit scalaire par une propriété fondamentale d’invariance

Nordine Bernard Toumache

Je voudrais présenter ici ma façon d’aborder le chapitre « produit scalaire dans le plan » du programme de première S. Mon souci est d’essayer de ne rien admettre sans soulever de difficulté. Je crois que, quand on en a les moyens, on doit procéder ainsi. On est assisté par le logiciel de géométrie Cabri Géomètre chargé de mettre en évidence la propriété autour de laquelle s’articule ce cours, celle qu’on a appelé plus loin « propriété fondamentale ».

Ce qui suit s’inscrit dans la progression du programme de première S et s’adresse à un enseignant de cette classe qui devrait pouvoir le présenter en deux heures : les élèves ont vu la définition d’un angle orienté, celles des sinus et cosinus et des coordonnées polaires et leur lien avec les coordonnées cartésiennes, ils connaissent aussi les relations du type : \cos (\theta+\pi/2)=-\sin \theta, etc.

L’animation Cabri décrite dans le document à télécharger, faite en six figures, est en fait une seule et même figure qu’on a manipulé de plusieurs façons : celles où le repère reste orthonormal et où on constate alors la validité de la propriété qui nous intéresse, et celles où le repère ne reste pas orthonormal et où on constate la non validité de ladite propriété.

À signaler que nombreux sont ceux qui voient dans le repère de la figure 5 un repère orthonormal : il est orthonormal par rapport à l’unité qui le définit, mais pas par rapport à la précédente ; c’est-à-dire que si le repère précédent est considéré orthonormal, celui-ci ne l’est pas.

Word - 336.5 ko
Introduction du produit scalaire

Commentaires

Logo de Marc Jambon
jeudi 21 octobre 2010 à 07h00 - par  Marc Jambon

Concernant la première introduction par le travail d’une force.

Je ne vois pas du tout comment le travail d’une force suggère une telle formule, on aurait aussi bien pu parachuter la formule comme définition, c’était pareil !

Ceci dit, l’idée du travail d’une force est intéressante, elle devrait suggérer une formule linéaire (additivement et multiplicativement) par rapport à chacun des vecteurs et nulle dans le cas de vecteurs orthogonaux, ce qui devrait conduire, à un facteur près, à la formule usuelle à l’aide de coordonnées dans un repère orthonormal, le théorème de Pythagore est sûrement utile. La formule proposée plus haut, qu’on obtient facilement dès qu’on connait la bilinéarité, peut être une façon de montrer l’indépendance du repère orthonormal.

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Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

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