Les diagrammes d’Euler-Venn

Dessiner de la logique
mardi 20 octobre 2009
par  Alain BUSSER

La grande idée de John Venn c’était de représenter des syllogismes par des diagrammes dont le dessin est d’ailleurs un art difficile. On va voir comment ces diagrammes, d’ailleurs utilisés par Euler plus de 100 ans avant Venn, permettent de montrer les opérations de George Boole dans un contexte de

  • logique
  • probabilités
  • géométrie, y compris dans l’espace.

Dans le célèbre syllogisme « Socrate est un homme », la seconde proposition « Tout homme est mortel » est

  • une implication (x est un homme \Rightarrow x est mortel)
  • mais aussi une inclusion (de l’ensemble des hommes dans l’ensemble des êtres mortels).

Cette double interprétation était utilisée par Leonhard Euler dans « Lettres à une princesse Allemande » par le diagramme suivant :

Des cercles ! Justement, en géométrie, on étudie des cercles : Peuvent-ils servir à illustrer les opérations booléennes de conjonction, disjonction, avec un outil de géométrie ?

Plan

Intersection et réunion avec CaRMetal

Le lien entre « et » et \cap n’est pas seulement important en probabilités mais aussi en logique. Pour ne pas parler de \forall et consorts, il suffit de bouger un point M et de regarder ce qui se passe s’il est à l’intérieur d’un cercle ou d’un autre (ou des deux) :

CarMetal - 2 ko
intersection et réunion

Comment ça marche ? Le texte « M \in A » devient invisible lorsque M est à l’extérieur de A (qui est un cercle) ce qui s’obtient en mettant dans l’onglet « conditionnel » du texte, à la propriété « invisible »,

!inside(M;A)

Le point d’exclamation code une négation, sous CaRMetal comme dans JavaScript (entre beaucoup d’autres). On peut lire ceci par « le texte est invisible sauf si M est à l’intérieur de A ». Pour le texte concernant B c’est le même principe. Mais pour l’intersection ? Et bien pour que M soit dans A \cap B il faut et il suffit que M soit à la fois dans A et dans B, ce qui se code

!(inside(M;A)&&inside(M;B))

Après la négation, on trouve la conjonction, codée par « && » : M doit être à la fois dans A et dans B pour être dans leur intersection. Et pour la réunion, il suffit de remplacer « et » par « ou » (un trait vertical dédoublé) dans une formule analogue. Il est vivement conseillé de télécharger la figure en cliquant-droit sur le lien au bas de cet article, et de l’ouvrir avec CaRMetal pour « voir comment c’est fait ».

On peut illustrer ce premier diagramme de Venn par une situation probabiliste : On tire une carte d’un jeu de 32 ; quelle est la probabilité qu’elle soit un trèfle ou une figure ?" Ici les trèfles peuvent être représentés par A (8 cartes) et les figures par B (12 cartes). La question revient à compter les cartes qui sont bleues (les trèfles) ou rouges (les figures). Il est plus simple de compter celles qui sont les deux à la fois (elles apparaissent en mauve à cause de la composition des couleurs) : On en trouve 3, à savoir A \cap B=\left\{Valet\clubsuit;Dame\clubsuit;Roi\clubsuit\right\}


Récapitulation pour ce premier onglet

Qu’avons-nous établi avec ce diagramme de Venn ?

  1. On a montré que \cap veut dire « et » et que \cup veut dire « ou ».
  2. On a montré qu’en JavaScript, mais aussi dans CaRMetal, « et » se note « && » et « ou » se note « || »
  3. On a révisé les aires de disques (pas inutile en Seconde)
  4. On voit que si A \cap B=\emptyset, P(A\cup B)=P(A)+P(B) (l’aire totale est la somme des aires). Ce qui amène rapidement à la définition des probabilités telle qu’elle figure dans le programme de Seconde.
  5. bien que ce ne soit pas au programme, on peut assez facilement montrer les lois de DeMorgan (par exemple \overline{A \cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} : le contraire de « fromage ou dessert » c’est « ni l’un ni l’autre »). Et on les illustre avec les tests sous CaRMetal !
  6. En vue de la fin du chapitre sur les probabilités, la vision du diagramme de Venn lorsque A \cap B \neq \emptyset montre immédiatement par addition des aires que P(A \cup B)=P(A)+P(A \cap B)+P(B).

Espace

Intersection et réunion avec PovRay

Les intersections et réunions de disques, c’est bien beau, mais les intersections et réunions de boules, c’est encore mieux (Venn dans l’espace). Le logiciel k3dsurf permet de créer des intersections, sans posséder d’opérations booléennes. Voir avec ce logiciel comment ils font. Le procédé est également détaillé dans l’aide du logiciel PovRay. Or ce logiciel est muni d’un langage de script qui permet assez facilement de dessiner dans l’espace, notamment des sphères. Et il possède des opératons booléennes, écrites presque comme en Français : « intersection » et « union ».

Pour commencer, voici un code écrit en cliquant dans les menus (choix de gabarits, puis adaptation au code présent).

Ce code crée deux sphères, l’une bleue, l’autre rouge.

#version 3.6;
#include "colors.inc"
camera {
 location  <0.0, 0.0, -4.0>
 direction 1.5*z
 right     x*image_width/image_height
 look_at   <0.0, 0.0,  0.0>
}
light_source {
 <0, 0, 0>
 color rgb <1, 1, 1>
 translate <-30, 30, -30>
}
sky_sphere {
 pigment {
 color <1,1,1>  }
}

sphere {
 -0.5*x, 1
 texture {
   pigment{
     color blue 1  filter 0.3
   }
  finish{
     specular 0.6
   }
 }
}

sphere {
 0.5*x, 1
 texture {
   pigment{
     color red 1   filter 0.3
   }
  finish{
     specular 0.6
   }
 }
}

Les deux premiers objets créés (appareil photo et source de lumère) sont indispensables pour que l’image créée par PovRay ne soit pas toute noire. La « sky-sphere » blanche est une sphère de rayon infini, qui donne le fond blanc de l’image. Les deux objets sont donc les sphères décrites à la fin du script, comme en témoignent les noms de leurs couleurs.

Le rendu en 320*240 pixels donne ceci (en quelques secondes) :

(note : En modifiant les coordonnées des centres des sphères, on aborde discrètement les notions de coordonnées dans l’espace, de translations dans l’espace. Et en modifiant les rayons des sphères, on révise la définition d’une sphère. Les objets « plan », « cylindre », « cube » et « cone » sont faciles à créer et manipuler sous PovRay).

Dans un second temps, on englobe les deux sphères avec des accolades, précédées de « union » pour avoir la réunion des deux sphères.

Le nouveau code est plus court.

En effet la déclaration de texture (couleur, transparence et reflets) est faite une seule fois pour la réunion). Voici le nouveau code :

Le rendu fait penser à une molécule diatomique :

Enfin il suffit de remplacer « union » par intersection

(et changer la couleur) :

On quitte le domaine de la chimie pour l’optique (ou la botanique) :

L’intersection de deux boules est une lentille !

Cette activité a été menée en Seconde il y a quelques années et dure environ une demi-heure (le reste de l’heure ayant été consacré à des représentations de droites non coplanaires sous la forme de cylindres très fins).

Inclusion

Inclusion avec CaRMetal

Revenons maintenant au diagramme d’Euler-Venn à deux cercles, dans le cas où le cercle rouge B est entièrement à l’intérieur du cercle bleu A (télécharger la figure en suivant le lien au bas de la page, et l’ouvrir avec CaRMetal pour voir comment on a réussi ce miracle : Il y a des cercles invisibles qui limitent le mouvement des points bleus juste assez pour empêcher que le cercle rouge puisse sortir) :

CarMetal - 3.1 ko
inclusion

La question est « où doit-on mettre M pour avoir M \in B sans avoir M \in A ? »

Ce qui mène à une définition de l’inclusion, pouvant être utile en géométrie dans l’espace (si tous les points d’une droite sont dans un plan, on dit que la droite est incluse dans le plan).

On voit beaucoup de propriétés de l’inclusion avec ce diagramme.

  • On voit aussi sur la figure (hors programme) l’équivalence entre B \subset A et A \cap B=B.
  • On peut maintenant retourner au premier onglet et y voir que A \cap B \subset A et que A \cap B \subset B (également hors programme).
  • On voit aussi que
Si B \subset A, alors P(B) \leqslant P(A)

(comparaison d’aires).

  • On définit aussi géométriquement la notion de compémentaire de B dans A (les points bleus sans être rouges) donc, en probabilité, de contraire, et en logique, de négation. On voit que P(\bar{B})=1-P(B).

En probabilités, l’implication est représentée par l’inclusion : On dit que l’évènement b implique l’évènement a si B \subset A (A et B étant les diagrammes d’Euler-Venn représentant les évènements a et b).

Cliquer ici pour un exemple.

Si on lance un dé, l’évènement « le résultat est 6 » implique l’évènement "le résultat est pair. L’inclusion considérée est \left\{6 \right\}\subset\left\{2;4;6\right\}. Et l’implication peut s’écrire

(x=6) \Rightarrow (x \mbox{ est pair})

La croissance de l’inclusion est effectivement à la base du fonctionnement du modus ponens : p \rightarrow q signifiant que q est au moins aussi vrai que p donc, dès lors que p est vrai, q l’est aussi (dans le cas présent il faudrait remplacer « vrai » par « probable »).

Le paradoxe de l’implication formelle s’illustre bien avec cette interprétation probabiliste du raisonnement : Comme \emptyset \subset \Omega, on a bien « le faux implique le vrai »...

Par contre on voit que l’utilisation de l’implication en probabilités va du particulier au général « Si x=6 alors x est pair » et non comme en géométrie, du général au particulier « Si un carré est positif alors le carré de 2 est positif ».

Le cours de Seconde basé sur les diagrammes d’Euler-Venn peut être fait dès le début de l’année scolaire.

Implication

Les sens du mot « implication »

Voilà la différence entre les diagrammes d’Euler-Venn et la logique : Alors que les opérations de conjonction et disjonction ont les mêmes propriétés que leurs pendants probabilistes (intersection et réunion), l’implication ne marche pas de la même manière dans les deux cas :

  • L’implication probabiliste est une relation entre ensembles (l’inclusion) ; elle n’est donc pas de la même nature que les objets sur lesquels elle porte.
  • L’implication booléenne par contre est une loi de composition entre propositions ; c’est donc une proposition, qui peut très bien ne pas être vraie.

L’implication entre b et a est définie comme la proposition \neg b \vee a. Sa représentation par diagramme d’Euler-Venn est donc plus facile à faire comme le complémentaire de b \wedge \neg a, ce qui sur le diagramme du premier onglet, revient à dire que « b implique a » est représenté par toute la figure sauf le croissant qui est rouge sans être bleu. Quel est alors le lien avec l’inclusion ?

Dire que B \subset A, c’est dire que le diagramme d’Euler-Venn de l’implication (\bar{B}\cup A) contient toute la figure : \bar{B}\cup A=\Omega. Autrement dit, b implique probabilistiquement a lorsque la proposition b \Rightarrow a a pour probabilité 1.

Il y a donc bien un lien entre les deux définitions de l’implication.

Par contre, en algorithmique c’est différent.

Le mot anglais « if » pour l’implication est omniprésent dans les langages de programmation. Mais il n’a pas du tout la même signification parce que si ce qui est dans la prémisse est bien une variable booléenne (donc une proposition), ce qui est dans la conclusion n’affirme pas de vérité mais énonce une suite d’actions à mener conditionnellement (si ce qui est avant est vrai). Dans l’exemple du premier onglet (pour une hypothétique variable x, en fait celle qui conditionne la visibilité),

if(inside(M,A);1;0)

ne s’interprête pas par (M\in A)\Rightarrow (x=1) mais par « si M \in A, alors on affecte x à 1. Même si l’affectation a bien pour résultat que x=1, un »test" en programmation est bien une action et non une propriété. Linguistiquement, il y a ici une ambigüité qui risque de semer la confusion, ou des erreurs, chez les élèves.

Voici comment fonctionne le modus ponens (de p et p \Rightarrow q on déduit q) en calcul booléen :

Puisque p \Rightarrow q s’écrit \neg p \vee q, on part de la conjonction entre p et \neg p \vee q : p\wedge(\neg p \vee q). Par distributivité de \wedge par rapport à \vee, cette proposition peut aussi s’écrire (p \wedge \neg p)\vee (p \wedge q). Or le premier terme p \wedge \neg p est une antinomie (axiome du tiers exclu), qui est élément neutre pour \vee. Donc la proposition (p \wedge \neg p)\vee (p \wedge q) se simplifie en p \vee q, d’où on déduit q (ainsi que p soit dit en passant).

C’est cette transformation des implications en disjonctions qui est à la base du langage de programmation Prolog.


Cette définition de l’implication est également source de paradoxe, celui de l’implication formelle \bot \Rightarrow p : De quelque chose de faux, on peut déduire n’importe quoi. Il semble que l’implication ne soit pas réductible à une proposition, mais que dans p \Rightarrow q il y a un lien plus fort, de nature sémantique.

Deux logiques différentes visent à formaliser ce lien.

  • Lewis a décidé de rajouter une « implication stricte » notée p \hookrightarrow q qui correspond à « il est nécessaire que p \Rightarrow q ». Ce qui l’a mené à inventer une logique modale [1] dans laquelle les propositions ne sont pas seulement vraies ou fausses mais vraies de différentes manières possibles (d’où le nom de modale) notamment le « nécessairement vrai ». Hélas pour Lewis, ses logiques modales possèdent toutes un paradoxe de l’implication stricte...
  • Brouwer a quant à lui, inventé une logique intuitionniste basée sur un refus du principe du tiers exclu (« toute proposition est soit vraie soit fausse ») et de l’équivalence entre une proposition et sa double négation, ce qui est tout de même beaucoup !

L’équivalence entre une implication et sa contraposée se voit sur le diagramme du deuxième onglet, en regardant celui-ci en négatif : B \subset A \Leftrightarrow \bar{A} \subset \bar{B}.

Épistémologie

En inventant ces diagrammes, Leonhard Euler n’avait pas en tête une théorie de la déduction : Il cherchait juste à former une cliente (des cours par correspondance) à la théorie des syllogismes, domaine traditionnellement plutôt attaché à la linguistique qu’aux mathématiques.

Il en est de même pour John Venn, qui lui aussi raisonnait en termes de syllogismes (donc sur des propositions existentielles ou universelles, donc en logique des prédicats plus qu’en logique des propositions). Et Charles Lutwidge Dodgson, le principal promoteur des diagrammes de Venn, lui aussi parle de syllogismes sans faire référence ni à la déduction mathématique, ni à la théorie des ensembles. Il a réussi à transformer la résolution de syllogismes en un jeu, en plaçant des pions sur des diagrammes de Venn (un peu précurseur de Prolog donc).

Et même George Boole semble plus concerné par les syllogismes (voir son chapitre 15) que par les diagrammes (il n’y a pas une seule figure dans son livre !).

C’est au tiers du vingtième siècle que Kolmogorov axiomatise les probabilités, se basant sur le langage de la théorie des ensembles, et donne donc un cadre théorique aux diagrammes d’Euler. Le lien avec la déduction vient par contre des statistiques avec l’inférence bayésienne, dont le principe remonte à Thomas Bayes au 18e siècle. Toutefois la démarche bayésienne formalise le raisonnement inductif et non le raisonnement déductif.


[1ou plutôt réinventer, celle-ci étant médiévale.


Documents joints

Épistémique Doxastique Déontique
Épistémique Doxastique Déontique
Réflexions personnelles sur la logique

Commentaires

Logo de nathalierun
lundi 26 octobre 2009 à 21h43 - par  nathalierun

Simple, bien illustré et agréable à lire, il est tout simplement génial ce premier article de logique !

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