Épreuve pratique 2009, sujet 111

samedi 7 novembre 2009
par  Alain BUSSER

On itère une fonction affine sur les complexes (donc une similitude directe). Le plan est un peu original :

  • création d’une macro appelée « simil » (comme « similitude »)
  • application itérée de cette macro pour créer le nuage de points (en JavaScript).
  • modification pour l’affichage des distances.

Création de la macro

La fonction affine à iterer est z\mapsto az+aa=\frac{1+i}{2}. On construit donc le point de coordonnées (1,1) (nommé 1+i sur la figure ci-dessous) puis le milieu (nommé (1+i)/2 ci-dessous) du segment joignant celui-ci à l’origine. CaRMetal ayant nommé P3 ce point (d’affixe a), on repère ce nom pour usage ultérieur.

Ensuite on crée un point M, mobile, d’affixe z, puis

  • avec la macro « produit » (de nombres complexes), le point dont l’affixe est az (on clique successivement sur P3 puis sur M). Ce point est en rouge ci-dessous.
  • avec la macro « somme » (de nombres complexes), le point M’ dont l’affixe est az+a (en cliquant successivement sur le point nouvellement créé puis sur le point P3).

M’ est alors l’image de M par la similitude directe.

CarMetal - 2.3 ko
figure avec macro

On sélectionne alors dans le menu des macros l’option « créer une macro », et on sélectionne P3 et M comme objets initiaux, et M’ comme objet final. Enfin on nomme « simil » (sans oublier d’appuyer sur « entrée ») la macro créée.

On notera que la création de la macro est très rapide, surtout si elle est faite par un élève qui a déjà créé des macros pendant l’année scolaire.


Utilisation de la macro

Tout d’abord, une modification légère de la figure s’impose : Supprimer le point M. Désormais on peut même en JavaScript appliquer la similitude à un point M avec l’instruction suivante :

ExecuteMacro("simil","P3,M");

Le nuage de points est maintenant aisément créé par le script suivant :

/*Programme tp 111a
*/

a=Point("A0",4,2);
for(n=1;n<=30;n=n+1){
        b=ExecuteMacro("A"+n,"simil","P3,_a");
        a=b;
}

Comme le point A0 n’a pas été fixé, on peut bien que ce soit hors sujet, déplacer celui-ci pour conjecturer que la limite de la suite ne dépend pas de A0 :

CarMetal - 15.5 ko
le nuage de points

Conjecture sur la limite

Avec un fichier muni de la macro simil et du point J(0 ;1) (téléchargeable ci-dessous), on peut modifier le script ci-dessus pour qu’en plus du nuage de points, on ait les distances entre ces points et J :

/*Programme tp 111a
*/

j="J";
a=Point("A0",4,2);
for(n=1;n<=30;n=n+1){
        b=ExecuteMacro("A"+n,"simil","P3,_a");
        e=Expression("d(_j,_b)",-5,-5);
        SetHide(e,true);
        d=GetExpressionValue(e);
        Println(d);
        a=b;
}

Le principe de ce nouveau script est de créer une expression (en (-5,-5) pour qu’elle soit en dehors de la fenêtre, et en plus elle est cachée) e puis de récupérer (en d) la valeur de cette expression, et enfin de l’affficher. Une légère modification du script ci-dessus produit le tableau que voici [1] :

Point Distance à J
A1 2.9154759474226504
A2 2.0615528128088303
A3 1.4577379737113252
A4 1.0307764064044151
A5 0.7288689868556626
A6 0.5153882032022076
A7 0.3644344934278313
A8 0.2576941016011038
A9 0.18221724671391565
A10 0.1288470508005519
A11 0.09110862335695782
A12 0.06442352540027595
A13 0.04555431167847891
A14 0.03221176270013797
A15 0.022777155839239456
A16 0.016105881350068987
A17 0.011388577919619728
A18 0.008052940675034493
A19 0.005694288959809864
A20 0.004026470337517247
A21 0.002847144479904932
A22 0.0020132351687586233
A23 0.001423572239952466
A24 0.0010066175843793117
A25 0.000711786119976233
A26 0.0005033087921896558
A27 0.0003558930599881165
A28 0.0002516543960948279
A29 0.00017794652999405825
A30 0.00012582719804741396

On conjecture que \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left| z_n - i\right|=0 soit \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} z_n=i.


[1Le principe consiste à produire du code spip au lieu d’un simple affichage


Documents joints

la figure avec le point J
la figure avec le point J

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À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

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Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
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Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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