Épreuve pratique 2009, sujet 105

samedi 7 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Sujet de spécialité sur les nombres en division harmonique. Un test de primalité sur les nombres de Mersenne premiers est nécessaire mais vite créé (en modifiant le début du TP).

Les nombres 32 et 140

Pour calculer le nombre de diviseurs de 32 et la somme de leurs inverses, une seule boucle suffit. On initialise une variable diviseurs (le nombre de diviseurs) à zéro, et on l’incrémente chaque fois qu’on trouve un diviseur (avec « diviseurs++ »). De même on initialise une variable somme et on lui ajoute l’inverse du diviseur chaque fois qu’on en trouve un.

Voici le résultat :

/*Programme tp 105a
*/

var somme=0,diviseurs=0;
for(d=1;d<=32;d=d+1){
        if(32%d==0){
                diviseurs++;
                somme=somme+1/d;
        }
}
Println(diviseurs/somme);

Son exécution sous CaRMetal donne 3,0476190476190474 comme quotient, ce qui révèle que 32 n’est pas en division harmonique.

En remplaçant dans le script ci-dessus les deux occurences de 32 par 140, on obtient un quotient de 5 ce qui montre que 140 est en division harmonique.


Nombres premiers

La question suivante consiste à chercher les cinq plus petits nombres de Mersenne premiers.

Une modification du script précédent permet d’y arriver sans calcul formel : Il suffit de compter les diviseurs (un nombre étant premier lorsqu’il en a deux), et de mettre le tout dans une boucle. Le nombre 17 qui clôt la boucle a été trouvé par tâtonnements (moins que 17, on a moins de 5 nombres premiers, et plus que 17, c’est inutile).

Voici le nouveau script :

/*Programme tp 105b
*/

for(n=2;n<=17;n=n+1){
        var qn=Math.pow(2,n+1)-1;
        var diviseurs=0;
        for(d=1;d<=qn;d=d+1){
                if(qn%d==0){
                        diviseurs++;
                }
        }
        if(diviseurs==2){
                Println(n+","+qn);
        }
}

Elle produit les valeurs suivantes [1] :

valeur de n Nombre premier
2 7
4 31
6 127
12 8191
16 131071

On y apprend notamment que 131071 est un nombre premier de Mersenne.


Nombres en division harmonique

Pour finir le TP, il reste à panacher les deux scripts précédents :

/*Programme tp 105a
*/

var n=2;
var qn=Math.pow(2,n+1)-1;
var an=Math.pow(2,n)*qn;
var somme=0,diviseurs=0;
for(d=1;d<=an;d=d+1){
        if(an%d==0){
                diviseurs++;
                somme=somme+1/d;
        }
}
Println(diviseurs+","+somme+","+diviseurs/somme);

En remplaçant 2 par les autres valeurs de n trouvées précédemment, on construit au fur et à mesure le tableau suivant :

Valeur de n Nombre de diviseurs Somme des inverses
2 6 2
4 10 2
6 14 2
12 26 2

où on voit que le nombre de diviseurs étant pair, et la somme des inverses égale à 2, ces nombres sont en division harmonique.

Pour n=12, il faut presque une minute pour avoir le résultat.

n=16 semble au-delà des possibilités de CaRMetal (et n’était d’ailleurs pas demandé dans l’énoncé du TP : « si possible »...). Ceci dit, wxmaxima confirme que pour n=16 aussi, la somme des inverses des diviseurs est 2 :


[1En fait le tableau a été engendré au format spip par une légère modification du script.


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C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

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Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

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mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

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L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

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Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

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dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

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