Épreuve pratique 2009, sujet 77

samedi 7 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Les deux suites

On remplit le tableau avec le script suivant :

/*Programme tp 89a
*/

var an=9;
var bn;
for(n=0;n<=20;n=n+1){
        bn=25/(an*an);
        Println("|"+n+"|"+an+"|"+bn+"|");
        an=(2*an+bn)/3;
}

Le tableau créé par ce script est le suivant :

n an bn
0 9 0.30864197530864196
1 6.102880658436214 0.6712282924163218
2 4.292329869762916 1.3569186999644876
3 3.313859479830107 2.2765218928180135
4 2.9680802841594094 2.837845323037882
5 2.9246686304522336 2.9227163882749267
6 2.9240178830597983 2.9240174485190233
7 2.924017738212873 2.924017738212852
8 2.924017738212866 2.924017738212866
9 2.924017738212866 2.924017738212866
10 2.924017738212866 2.924017738212866
11 2.924017738212866 2.924017738212866
12 2.924017738212866 2.924017738212866
13 2.924017738212866 2.924017738212866
14 2.924017738212866 2.924017738212866
15 2.924017738212866 2.924017738212866
16 2.924017738212866 2.924017738212866
17 2.924017738212866 2.924017738212866
18 2.924017738212866 2.924017738212866
19 2.924017738212866 2.924017738212866
20 2.924017738212866 2.924017738212866

C’est suffisant pour conjecturer la convergence des deux suites et l’égalité de leurs limites.


Le cube de la suite b

Avec le rajout de la quatrième colonne, le script devient celui-ci :

/*Programme tp 77b
*/

var an=9;
var bn,cn;
for(n=0;n<=20;n=n+1){
        bn=25/(Math.pow(an,2));
        cn=Math.pow(an,3);
        Println("|"+n+"|"+an+"|"+bn+"|"+cn+"|");
        an=(2*an+bn)/3;
}

Voir le nouveau tableau

n an bn bn*bn*bn
0 9 0.30864197530864196 729
1 6.102880658436214 0.6712282924163218 227.3027197820712
2 4.292329869762916 1.3569186999644876 79.08229634309063
3 3.313859479830107 2.2765218928180135 36.391693511543785
4 2.9680802841594094 2.837845323037882 26.147304964652832
5 2.9246686304522336 2.9227163882749267 25.01669886774798
6 2.9240178830597983 2.9240174485190233 25.000003715271735
7 2.924017738212873 2.924017738212852 25.00000000000018
8 2.924017738212866 2.924017738212866 25
9 2.924017738212866 2.924017738212866 25
10 2.924017738212866 2.924017738212866 25
11 2.924017738212866 2.924017738212866 25
12 2.924017738212866 2.924017738212866 25
13 2.924017738212866 2.924017738212866 25
14 2.924017738212866 2.924017738212866 25
15 2.924017738212866 2.924017738212866 25
16 2.924017738212866 2.924017738212866 25
17 2.924017738212866 2.924017738212866 25
18 2.924017738212866 2.924017738212866 25
19 2.924017738212866 2.924017738212866 25
20 2.924017738212866 2.924017738212866 25

Tableau complet

Encore une modification du script, pour ajouter le cube de la suite a :

/*Programme tp 77c
*/

var an=9;
var bn,cn;
for(n=0;n<=20;n=n+1){
        bn=25/(Math.pow(an,2));
        cn=Math.pow(an,3);
        Println("|"+n+"|"+an+"|"+bn+"|"+cn+"|"+Math.pow(bn,3)+"|");
        an=(2*an+bn)/3;
}

Voir le tableau complet

n an bn bn*bn*bn an*an*an
0 9 0.30864197530864196 729 0.029401194111858132
1 6.102880658436214 0.6712282924163218 227.3027197820712 0.30242017574173063
2 4.292329869762916 1.3569186999644876 79.08229634309063 2.498397190300251
3 3.313859479830107 2.2765218928180135 36.391693511543785 11.798192925850278
4 2.9680802841594094 2.837845323037882 26.147304964652832 22.8542072577112
5 2.9246686304522336 2.9227163882749267 25.01669886774798 24.96663569698928
6 2.9240178830597983 2.9240174485190233 25.000003715271735 24.999992569458193
7 2.924017738212873 2.924017738212852 25.00000000000018 24.999999999999634
8 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
9 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
10 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
11 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
12 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
13 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
14 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
15 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
16 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
17 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
18 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
19 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25
20 2.924017738212866 2.924017738212866 25 25

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