Moyennes harmoniques en Seconde

mardi 24 novembre 2009
par  Alain BUSSER

Étape préliminaire

Le TD visait à montrer comment on peut calculer graphiquement une moyenne harmonique de deux nombres, il fallait donc que les élèves de Seconde aient déjà entendu parler de moyenne harmonique...

Un devoir maison leur avait donc été donné préliminairement (révisions sur les fractions et les écritures avec radicaux, un peu d’algorithmique en passant et préparation à certains sujets de type « Rallye »).

Le sujet de ce DM peut être téléchargé en bas de cet article.

La séance

Il y a deux manières de gérer une séquence où les élèves manipulent et démontrent :

  • Soit la manipulation d’abord, et les démonstrations pour assoir les conjectures ; ce qui attend de la part des élèves un besoin spontané de justification.
  • Ou bien on démontre d’abord comment ça fonctionne, et on vérifie par une manip après coup.

C’est le premier choix qui a été fait dans le cas présent : Un TD de manip, où les nomogrammes au format A3 ont été distribués en classe, les élèves utilisant les alignements avec leur règle.

Pendant les manips, le TBI a été abondamment utilisé, avec le fichier CaRMetal téléchargeable au bas de l’article sur ce nomogramme (au bas duquel on peut également télécharger la version pdf du nomogramme qui a été distribué au début de l’heure) mais aussi avec la Ti virtuelle. En effet les élèves aiment mieux calculer une moyenne harmonique avec la calculatrice pour vérifier un calcul graphique, que pour la calculer seulement...

Plusieurs élèves ont profité de l’activité en classe pour réaliser que la moyenne harmonique est conjuguée de la moyenne arithmétique par la fonction inverse (on prend les inverses des deux nombres, on calcule la moyenne, et on prend l’inverse du résultat) ce qui n’avait pas été le cas lors du devoir maison.

À la question « qu’est-ce qu’un nomogramme ? », a été opposée la question « de quand date le premier ordinateur ? » à laquelle une seule élève de la classe connaissait la réponse. Par contre deux élèves étaient fermement persuadés que le nom de l’inventeur de l’ordinateur était Bill Gates...

La manip sur deux ou trois exemples (une moyenne harmonique entière, une décimale, et la moyenne harmonique de deux nombres égaux entre eux) il a été proposé le choix entre passer à un autre exercice (développement d’une expression, pour préparer le cours ou essayer de créer un nomogramme en JavaScript sous CaRMetal - un « CarScript »). Environ les trois quarts d’entre eux ont choisi la deuxième activité, et quelques-uns ont réussi à tracer les graduations de l’axe des ordonnées (ce qui revient à échanger les abscisses et les ordonnées à partir de l’exemple fourni avec le sujet du DM suivant, qui venait d’être distribué).

Les élèves ont visiblement été ravis de pouvoir garder le nomogramme, qu’ils considèrent comme un bel objet (ils admirent la précision des graduations).

Après le TD

Les preuves étaient à donner sous la forme d’un DM sur les fonctions affines : Vérification dans deux cas particuliers, puis la justification en calcul littéral, et pour finir le tracé des graduations par un programme (le plus motivant pour la plupart des élèves).

Voici le sujet du DM (téléchargeable par un clic-droit) :

PDF - 37.1 ko

Des difficultés ont (re)surgi

  • Bien qu’ayant déja eu un contrôle (et un TP) sur les fonctions affines, beaucoup d’élèves ont du mal à calculer le coefficient directeur : En effet ils ne semblent pas persuadés de la nécessité d’apprendre une formule par cœur).
  • La résolution graphique de l’équation f(x)=g(x) se fait en cherchant l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Plusieurs élèves confondent le point, l’abscisse du point et son ordonnée.
  • La résolution algébrique de l’équation f(x)=g(x) a également posé de nombreuses difficultés :
    • addition de fractions avec la méthode de l’arbre de Stern-Brocot
    • multiplication d’un seul terme par l’inverse de la fraction
    • remplacer l’inverse d’une somme par la somme des inverses

Pour les graduations, plusieurs élèves ont pensé à échanger les abscisses avec les ordonnées dans l’exemple de l’énoncé, ce qui donne bien les graduations voulues. Et ceci, à leur grande satisfaction.

Quelques-uns ont trouvé comment faire les graduations obliques. Voici un exemple de production d’élève :

for(i=1;i<=5;i++){
e=Point(i,i);SetHide(e,true);
f=Point(i,i);SetPointType(f,"point");
SetShowName(f,true);SetAlias(f,i);
g=Segment(e,f);
}

Deux erreurs : Le segment est trop long (il aurait fallu diviser les coordonnées par 2) et ses extrémités sont égales entre elles.

L’exemple suivant, d’un autre élève, est par contre correct :

for(i=0;i<=10;i++){
a=Point(i/2-0.1,i/2+0.1);SetHide(a,true);
b=Point(i/2+0.1,i/2-0.1);SetPointType(b,"point");
SetShowName(b,true);
}

(sauf qu’il manque le segment).

Pour aller plus loin

Une des élèves a par erreur réinventé les diagrammes en toile d’araignée :

CarMetal - 13.3 ko
toile d’araignée

Autrement dit, on peut calculer une moyenne harmonique de manière itérative (ce qui peut être vu en Première). La suite considérée est u_{n+1}=-\frac{2}{5}u_n+2. La manipulation de u_0 sur la figure ci-dessus montre que pour toute valeur de u_0, la suite converge vers la moyenne harmonique.

Le début de la suite pour u_0=2 donné par WxMaxima donne ceci :

2\mapsto\frac{6}{5}\mapsto\frac{38}{25}\mapsto\frac{174}{125}\mapsto\frac{902}{625}\mapsto\frac{4446}{3125}\mapsto\frac{22358}{15625}\mapsto\frac{111534}{78125}\mapsto\frac{558182}{390625}

qui est une suite de fractions qui convergent vers une fraction.

En Terminale, on peut conjecturer et chercher à démontrer par récurrence que le dénominateur est 5^n et, en posant u_n=\frac{a_n}{5^n}, on a

\frac{a_{n+1}}{5^n}=-\frac{a_n}{5^n}+\frac{2\times 5^n}{5^n}=\frac{2 \times 5^n-a_n}{5^n}

La suite des numérateurs est donc définie récursivement par

\left\{\begin{array}{l}a_0=2\\a_{n+1}=2 \times 5^n-a_n\end{array} \right.

et peut mener à une recherche d’éventuelles propriétés arithmétiques des nombres a_n...


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La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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