Populus, un logiciel sur l’écologie

mardi 1er décembre 2009
par  Alain BUSSER

L’écologie est la science des interactions des êtres vivants entre eux et avec leur environnement.

Le logiciel Populus, que l’on peut télécharger ici [1], est une collection de modèles évolutifs, décrits par des suites récurrentes ou des systèmes différentiels. Il peut donc présenter un intérêt pédagogique pour enseigner les suites et les équations différentielles.

Croissance exponentielle

Les suites géométriques modélisent une croissance indépendante de la densité de population [2] que l’on trouve dans Populus à la première entrée du menu « Models » (dans « single species dynamics »). Ensuite il faut cliquer sur « discrete » et choisir l’affichage de « N vs t ». En cliquant sur « view » (la double flèche verte) on voit le nuage de points représentant la suite géométrique, dans un graphique interactif : On peut modifier en direct le terme initial N_0 et la raison \lambda de la suite :

Par contre Populus ne permet pas de faire ce genre de manip avec d’autres sortes de suites (même arithmétiques). Pour les suites on peut donc lui préférer edugraphe ou GeoGebra (des exemples en cours)


Pour la découverte de la fonction exponentielle, il suffit de cocher l’onglet « continuous » (au lieu de « discrete ») :

Dans ce cas on voit réprésentée la fonction N_0 e^{rt} (où r est réglable par curseur), solution de l’équation différentielle y'=ry

Équations différentielles

Pour entrer son équation différentielle préférée, Populus propose une entrée interactive, dans la toute dernière entrée du menu « Model », intitulée « Interaction engine ». Pour faire un peu plus simple (Populus propose un système différentiel d’ordre 3) on peut supprimer les nombreuses constantes, décocher les variables N_2 et N_3 et renommer N_1 :

Ci-dessus le nom donné à N_1 est u parce qu’on cherche à résoudre l’équation différentielle u'=\frac{u}{4}-\frac{u^2}{12} de l’énoncé suivant du bac S (Métropole juin 2005) :

En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :

(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 u'(t) &=&	 \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{[u(t)]^2}{12}~ \text{pour tout nombre réel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
u(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.



u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.

Il a suffi d’entrer « 1 » dans la case « u(0) » et « u/4-u*u/12 » dans la case « u’ ».


Un autre exemple : Bac S Pondichery 2006 :

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à mille.

Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000).

D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0~;~+\infty[, et satisfait l’équation différentielle :

(\text{E})\qquad	y' = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y).

Ainsi donc la variable s’appelle maintenant y et sa valeur initiale est 1 (d’après la suite de l’énoncé). On entre dans « y’= » l’expression « -1/20*y*(3-ln(y)) » pour avoir la figure ci-dessous :

Écologie

Le modèle « hosts and parasitoids with insecticide » (dans l’entrée du menu « multi-species dynamics », sous-entrée « discrete predator-prey model ») permet en manipulant les constantes de spéculer les possibilités d’arriver à un équilibre entre le végétal, son prédateur (un insecte) et l’application d’un insecticide. Pas facile. Comme le suggère le mode d’emploi en pdf (page 29), l’insecticide fait plus de dégâts sur la plante que sur l’insecte. Cet exemple [3] illustre assez bien la notion d’équilibre écologique et de sa rupture.

L’explication de ce phénomène est peut-être bien génétique comme suggéré par l’exemple « insect resistance management » (dans « spatial models ») où des mutations génétiques permettent aux parasites d’apprendre à résister aux pesticides...

Il y a peu de chances que ce logiciel soit sponsorisé par Monsanto...


Le modèle « infectious microparasitic deseases » (dans « host-parasit models ») illustre au contraire une stabilité, le nombre de malades devenant constant lorsque la maladie s’est bien installée [4].


[1il est aussi sur la RoxMath.

[2contrairement au modèle dynamique de Verhulst par exemple

[3qui pourrait expliquer le syndrome d’effondrement des colonies d’abeilles, lequel pourrait bien être la plus grande catastrophe écologique de l’Histoire...

[4Lors de l’épidémie de chikungunya à la Réunion, on avait prédit une stabilisation lorsque 30% de la population serait atteinte, ce qui semble effectivement avoir été le cas.


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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 février 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 B
- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
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- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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