Points et vecteurs aléatoires

samedi 5 décembre 2009
par  Alain BUSSER

Point

On appelle gaussien un point du plan dont les coordonnées sont normales de même écart-type \sigma.

Pour simuler un point gaussien, on utilise la méthode de Box-Muller qui est basée sur le fait que si M est un point gaussien centré sur l’origine O, alors le carré de la distance OM suit une loi de Rayleigh de paramètre \frac{\sigma^2}{2}, et l’angle avec l’axe des abscisses suit une loi uniforme sur \left[0;2\pi \right]. Voici l’illustration sous CaRMetal : Après avoir créé un point M (de préférence de forme ponctuelle et avec la trace activée), le script suivant le transforme en un point normal d’espérance (3;2) et d’écart-type 1 :

var r,theta;
for(i=0;i<1000;i++){
        r=Math.sqrt(-2*Math.log(Math.random()));
        theta=2*Math.PI*Math.random();
        x=3+r*Math.cos(theta);
        y=2+r*Math.sin(theta);
        Move("M",x,y);
}

Note : Le remplacement de la ligne pour r par r=Math.sqrt(Math.random()) donne un point uniforme sur un disque de rayon 1.

Un point est dit uniforme si ses deux coordonnées sont uniformes. Dans ce cas il décrit un rectangle, qui le plus souvent sera un carré de côté 1. Pour simuler un point uniforme, il suffit de faire

for(i=0;i<1000;i++){
        x=3+Math.random();
        y=2+Math.random();
        Move("M",x,y);
}

Dans ce cas, le carré occupé uniformément par M a pour centre \left(\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right).

Une application des points uniformes dans un carré de côté 1 est la célèbre méthode de Monte-Carlo pour calculer \pi.

Milieu

Si deux points A et B sont gaussiens et indépendants, de même écart-type \sigma, leur milieu est gaussien d’écart-type \frac{\sigma\sqrt{2}}{2}.

Si deux points A et B sont uniformes, leur milieu ne l’est pas.

Sur une figure CaRMetal comprenant A et B, et leur milieu M, le script suivant illustre ceci par un nuage de points :

for(i=0;i<1000;i++){
        x=-2+Math.random();
        y=-1+Math.random();
        Move("A",x,y);
        x=2+Math.random();
        y=1+Math.random();
        Move("B",x,y);
        p=Point(X("M"),Y("M"));
        SetPointType(p,"point");
}

Ici A est uniforme sur \left[-2;-1\right]\times\left[-1;0\right] et B est uniforme sur \left[2;3\right]\times\left[1;2] et le milieu M évolue bien dans le carré unité \left[0;1]^2 mais pas uniformément comme le montre la figure produite :

La densité de M sur le carré unité est donnée par \varphi(x,y)=max\left(\frac{1}{2}-\left|x-\frac{1}{2}\right|,0\right)\times max\left(\frac{1}{2}-\left|y-\frac{1}{2}\right|,0\right) dont les lignes de niveau ressemblent à des carrés arrondis :

La représentation graphique de la densité du milieu en 3D est formée de 4 morceaux de paraboloïde hyperbolique, et ressemble un peu à un tipi, avec 4 crêtes que l’on voit assez bien sur le nuage de points. Voici la représentation graphique telle qu’elle est créée par Euler Math Toolbox :

Vecteur

Si deux points A et B sont gaussiens et indépendants, de même écart-type \sigma, le vecteur \overrightarrrow{AB} est gaussien d’écart-type \sigma\sqrt{2}.

Mais là encore, si A et B sont uniformes, le vecteur \overrightarrow{AB} n’est pas uniforme :

Sur une figure CaRMetal comprenant A et B, et le point M tel que \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}, le script suivant illustre ceci par un nuage de points :

for(i=0;i<1000;i++){
        x=-2+Math.random();
        y=-1+Math.random();
        Move("A",x,y);
        x=2+Math.random();
        y=1+Math.random();
        Move("B",x,y);
        p=Point(X("M"),Y("M"));
        SetPointType(p,"point");
}

L’extrémité M du vecteur remplit le carré \left[3;5\right]\times\left[1;3\right] mais pas uniformément :

La densité de M est analogue à celle du milieu de l’onglet précédent.


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 22 novembre 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 D
- Mercredi 7 février 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 7 mars 2018, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 4 avril 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 2 mai, 14h-18h, campus du Tampon
- Mardi 5 juin 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 6 juin, 14h-18h, campus du Tampon

Fête de la science

Campus du Moufia, 16 et 17 novembre 2017.
Thème : « La recherche à l’heure du numérique »

Semaine des mathématiques

Du 26 au 31 mars 2018.
Thème : « Mathématiques et mouvement »


Brèves

Décès de Raymond Smullyan

mercredi 15 mars

Le logicien Raymon Smullyan est décédé en février 2017, à l’âge respectable de 97 ans : Il avait eu Alonzo Church comme professeur ! Pour en savoir plus, voir cet article

Travailler à plusieurs

lundi 19 décembre 2016

Les enseignements d’exploration au lycée imposent aux enseignants de travailler ensemble. Chantal Tuffery-Rochdi a analysé dans sa thèse les pratiques des enseignants de MPS (méthodes et pratiques scientifiques). Elle répond aux questions des Cahiers pédagogiques.

Un document sur Eduscol

mardi 19 mai 2015

Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

Histoire de la comptabilité

vendredi 28 décembre 2012

Sur ce site (en anglais) dédié à la comptabilité, on trouve des informations intéressantes sur l’histoire et les pratiques de ce domaine, qui peuvent être utiles aux professeurs enseignant des mathématiques financières (et aussi aux autres...).

La CGE et la réforme des lycées

lundi 16 janvier 2012

La Conférence des Grandes Écoles publie 19 préconisations pour la réforme du lycée.

Sur le Web : Les 19 préconisations

Pratique des mathématiques en série STD2A

lundi 16 janvier 2012

Le site de l’IGEN offre des recommandations et des ressources pour enseigner les mathématiques en série STD2A. Les thèmes abordés (couleurs et nuances de gris, arcs et architecture, jeux vidéos, photo et tableur, perspectives parallèles...) sont de nature à donner aussi des idées d’activités aux enseignants des autres séries !

En cheminant avec Kakeya

lundi 16 janvier 2012

Un livre (à télécharger) de Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière qui présente le calcul intégral et la dérivation en s’appuyant sur la question de Kakeya. Pour les lycéens, les étudiants et tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Sur le Web : Livre à télécharger

Bicentenaire Galois

lundi 12 septembre 2011

À l’occasion du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois (1811-2011), l’Institut Henri Poincaré et la Société mathématique de France organisent un ensemble de manifestations et proposent un site contenant diverses ressources documentaires susceptibles d’intéresser les enseignants.

Statistiques

Dernière mise à jour

dimanche 12 novembre 2017

Publication

773 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

906 aujourd'hui
1252 hier
2163217 depuis le début
25 visiteurs actuellement connectés