Triangles et quadrilatères aléatoires

samedi 16 janvier 2010
par  Alain BUSSER

Dans un triangle dont les sommets sont aléatoires, les grandeurs (périmètre, angles, aire etc.) sont des variables aléatoires ; et les centres sont des points aléatoires.

Dans un quadrilatère dont les quatre sommets sont aléatoires, il en est de même mais surtout l’intersection de deux droites aléatoires est un point aléatoire.

Dans cet article, on considère trois points A, B et C aléatoires, dont les espérances ont pour coordonnées respectives \bar{A}\left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right), \bar{B}\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right), et \bar{C}\left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right).

Variables aléatoires

Aire

Le script Euler Math Toolbox suivant permet d’explorer la distribution des aires du triangle ABC dans le cas gaussien :

(à condition d’avoir chargé le module de géométrie avec load geometry; au préalable).

Quelques explications sur les notations de ce script : Le symbole « underscore » représente la concaténation de matrices, la deuxième matrice étant placée sous la première. Le symbole « tube » fait la même chose mais en plaçant la deuxième matrice après la première (à droite). Enfin le symbole « prime » transpose les matrices.

Pour le cas uniforme, le script est le suivant :

L’histogramme des aires ressemble alors à ceci :


Angles

Même principe que ci-dessus, en remplaçant areaTriangle par computeAngle. L’histogramme des angles \hat{A} ressemble à ceci,

dans le cas gaussien :

Et dans le cas uniforme :

Il est bien sûr absolument impossible que cette distribution soit gaussienne (elle est bornée).


Rayon du cercle circonscrit

Même manip mais cette fois-ci avec getCircleRadius(circleThrough(A'[i],B'[i],C'[i])). Dans le cas uniforme, on obtient la courbe en cloche suivante :

Orthocentre

L’orthocentre d’un triangle dont les sommets sont gaussiens est lui-même un point aléatoire mais il n’est pas gaussien. Il en est de même dans le cas où les sommets sont unifirmes. Pour le vérifier, le script suivant permet à Euler Math Toolbox de le représenter sous forme d’un nuage de points :

Dans le cas uniforme, le nuage de points est presque polygonal (en fait les bords sont des morceaux de coniques) :

Pour voir le nuage se construire en direct, rien de tel que CaRMetal :

CarMetal - 4.7 ko
lieu de l’orthocentre

L’écriture d’un CarScript reproduisant ce nuage de points est laissé en exercice.

Centre de gravité

Comme pour l’orthocentre, le centre de gravité est lui aussi aléatoire, mais dans le cas gaussien, il est lui-même gaussien. Dans le cas uniforme, le nuage est assez compact :

CarMetal - 4.9 ko
centre de gravité

Le tracé du nuage des centres des cercles inscrits est laissé en exercice. Pour cela on peut télécharger et modifier le fichier CaRMetal appelé « centre de gravité », au bas de cette page.

Cercle circonscrit

En représentant le centre du cercle circonscrit (en vert) avec l’orthocentre (en noir) et le centre de gravité (en rouge), l’alignement des trois centres ne saute pas aux yeux :

CarMetal - 6.5 ko
les trois centres

Par contre on voit ci-dessus que les nuages extrêmes sont homothétiques.

Pour vérifier l’alignement des trois centres il suffit d’ajouter la droite joignant deux d’entre eux (ci-dessous l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit) et de vérifier visuellement qu’elle passe bien par le troisième point :

CarMetal - 6.6 ko
droite d’Euler

En téléchargeant le fichier « droite d’Euler » ci-dessous, on peut l’ouvrir avec CaRMetal et cocher l’onglet « trace visible » sur la droite d’Euler. Ce qui permet de voir à quoi ressemble une droite aléatoire. Le spectacle est ... indescriptible !

Quadrilatères

Aires

En rajoutant un quatrième point aléatoire D tel que \bar{D}\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right), on a un quadrilatère aléatoire. Lla distribution de fréquences des aires ressemble à ceci :

Dans le cas gaussien :

Et dans le cas uniforme :

Intersection des diagonales

Sous Euler Math Toolbox, on peut facilement avoir les coordonnées du point d’intersection des diagonales (AD) et (BC) lineIntersection(lineThrough(A'[i],D'[i]),lineThrough(B'[i],C'[i]))'.

Dans le cas uniforme, le graphique donné par Euler Math Toolbox montre une densité pyramidale analogue à celle du milieu d’un segment aléatoire :

En attendant suffisamment longtemps, on peut le voir aussi sur la figure en cours de construction :

CarMetal - 5.3 ko
diagonales uniforme

Dans le cas gaussien, le nuage est à la fois dispersé dans ses valeurs extrêmes et concentré autour de l’intersection de (\bar{A}\bar{D}) et de (\bar{B}\bar{C}) :

Au fait, les coordonnées du point d’intersection sont \left(\frac{13}{18};\frac{133}{54}\right)

L’allure du nuage se confirme sur la figure ci-dessous, en cours de construction :

CarMetal - 4.7 ko
diagonales gaussien

On constate en passant l’ampleur du mouvement d’une droite passant par deux points gaussiens (comparé au cas uniforme).


Cercles

Pour finir en beauté, voici, dans le cas uniforme, le nuage des intersections du cercle de centre A passant par D et du cercle de centre B passant par C (deux nuages de points, qui semblent homothétiques) :

CarMetal - 5.6 ko


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 11 octobre 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 22 novembre 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 7 février 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 7 mars 2018, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 4 avril 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 2 mai, 14h-18h, campus du Tampon
- Mardi 5 juin 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 6 juin, 14h-18h, campus du Tampon

Fête de la science

Du 13 au 18 novembre 2017.
Thème : « La recherche à l’heure du numérique »

Semaine des mathématiques

Du 26 au 31 mars 2018.
Thème : « Mathématiques et mouvement »


Brèves

Décès de Raymond Smullyan

mercredi 15 mars

Le logicien Raymon Smullyan est décédé en février 2017, à l’âge respectable de 97 ans : Il avait eu Alonzo Church comme professeur ! Pour en savoir plus, voir cet article

Travailler à plusieurs

lundi 19 décembre 2016

Les enseignements d’exploration au lycée imposent aux enseignants de travailler ensemble. Chantal Tuffery-Rochdi a analysé dans sa thèse les pratiques des enseignants de MPS (méthodes et pratiques scientifiques). Elle répond aux questions des Cahiers pédagogiques.

Un document sur Eduscol

mardi 19 mai 2015

Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

Histoire de la comptabilité

vendredi 28 décembre 2012

Sur ce site (en anglais) dédié à la comptabilité, on trouve des informations intéressantes sur l’histoire et les pratiques de ce domaine, qui peuvent être utiles aux professeurs enseignant des mathématiques financières (et aussi aux autres...).

La CGE et la réforme des lycées

lundi 16 janvier 2012

La Conférence des Grandes Écoles publie 19 préconisations pour la réforme du lycée.

Sur le Web : Les 19 préconisations

Pratique des mathématiques en série STD2A

lundi 16 janvier 2012

Le site de l’IGEN offre des recommandations et des ressources pour enseigner les mathématiques en série STD2A. Les thèmes abordés (couleurs et nuances de gris, arcs et architecture, jeux vidéos, photo et tableur, perspectives parallèles...) sont de nature à donner aussi des idées d’activités aux enseignants des autres séries !

En cheminant avec Kakeya

lundi 16 janvier 2012

Un livre (à télécharger) de Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière qui présente le calcul intégral et la dérivation en s’appuyant sur la question de Kakeya. Pour les lycéens, les étudiants et tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Sur le Web : Livre à télécharger

Bicentenaire Galois

lundi 12 septembre 2011

À l’occasion du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois (1811-2011), l’Institut Henri Poincaré et la Société mathématique de France organisent un ensemble de manifestations et proposent un site contenant diverses ressources documentaires susceptibles d’intéresser les enseignants.

Statistiques

Dernière mise à jour

jeudi 12 octobre 2017

Publication

772 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

1103 aujourd'hui
1277 hier
2130794 depuis le début
22 visiteurs actuellement connectés