Deux TP avec TI 83 : problème des anniversaires ; autour du minimum d’une fonction

dimanche 17 janvier 2010
par  Nordine Bernard TOUMACHE

Le problème des anniversaires

Le problème des anniversaires est un problème connu, sa résolution est un exercice simple de combinatoire.

Dans cette activité, présentable à tous les niveaux du lycée hormis le calcul de la probabilité qui ne s’adresse qu’à un élève de Terminale scientifique, on va considérer trois aspects : celui de la simulation de l’expérience aléatoire sur Excel, puis celui de la simulation sur TI 83 qui va nous donner l’occasion de proposer un algorithme qui va s’inscrire dans le chapitre « algorithmique » du nouveau programme de Seconde, la traduction de cet algorithme en un programme sur TI 83 et enfin le calcul de la probabilité.


Problème : dans une classe de 28 (par exemple) élèves, quelle est la probabilité pour que deux élèves aient la même date d’anniversaire ?

L’expérience aléatoire se modélise ainsi : parmi tous les tirages aléatoires de 28-listes de nombres pris entre 0 et 364, quelle est la probabilité de ne pas obtenir une liste de nombres tous distincts ?

Simulation de l’expérience aléatoire sur Excel

  • Dans la cellule A1 on entre la formule « =ENT(365*ALEA()) » et on « tire » jusqu’à la cellule AB1, on a ainsi simulé 28 jours de naissance parmi 365, de façon aléatoire.
  • On sélectionne ensuite les cellules A1 à AB1 puis on « tire » jusqu’à la ligne 1000 ; on a ainsi simulé 1000 fois 28 jours de naissance parmi 365, de façon aléatoire.
  • Dans la cellule AD1 on entre la formule « =NB.SI($A1 :$AB1 ;A1) » qui calcule le nombre d’apparitions de la cellule A1 dans la plage A1à AB1, le $ étant là pour que la plage reste la même quand « on tire » la cellule AD1 jusqu’à la cellule BE1, ce que l’on fait. On vient donc, dans la plage AD1 à BE1 de calculer le nombre d’apparitions des cellules de la plage A1à AB1 dans cette même plage.
  • On sélectionne la plage AD1 à BE1 et « on tire » jusqu’à la ligne 1000, on a donc fait le calcul précédent pour chacune des 1000 simulations.
  • Dans la cellule BG1 on entre la formule « =MOYENNE(AD1:BE1) » qui calcule la moyenne de la plage AD1à BE1, ceci dans le but de faire le test : les cellules de la plage A1 à AB1 sont elles distinctes deux à deux ou non ? Ce qui va ce traduire par : cette moyenne est elle égale à 1 ou non ?
  • « On tire » la cellule BG1 jusqu’à la cellule BG1000.
  • En BH1 on entre la formule « =SI(BG1=1 ;1 ;0) » qui entre 1 si BG1=1 et 0 sinon. « On tire ensuite BH1 jusqu’à BH1000, la moyenne de la colonne BH va alors être la fréquence (probabilité) de l’événement contraire de l’événement qui nous intéresse.
  • En BJ1 on entre la formule « =1-MOYENNE(BH1:BH1000) » qui fait le calcul décrit ci- dessus. En appuyant plusieurs fois sur F9, ce qui a pour effet de faire varier l’échantillon, les résultats tournent autour de 0.65.

Simulation de l’expérience aléatoire sur TI83

On va faire un programme sur TI83 qui va simuler l’expérience décrite plus haut.
L’algorithme est le suivant :

  • On saisit le nombre N d’expériences aléatoires.
  • On saisit le nombre P d’élèves, P=28 ici mais pourquoi se limiter à une seule valeur ?
  • On met 0 dans un compteur qu’on nomme F.
  • Pour chaque valeur de X variant de 1 à N on crée une liste de P nombres entiers aléatoires pris entre 0 et 364 et on nomme L1 cette liste.
  • On ordonne L1 dans l’ordre croissant et on ajoute à L1 un terme supplémentaire égal à son dernier terme de sorte que les deux derniers termes de L1 soient égaux.
  • On met 1 dans un nouveau compteur qu’on nomme B.
  • On demande à la machine de « balayer » la liste L1 tant qu’elle ne trouve pas deux termes égaux, le compteur B augmentant de 1 à chaque fois que les deux termes consécutifs rencontrés sont différents.
  • On fait le test suivant : si B est différent de P alors le compteur F augmente de 1, car la machine a rencontré deux termes égaux avant P.
  • Le travail précédent étant fait pour chacune des N listes L1, on demande à la machine d’afficher le compteur F divisé par N, ce qui est la fréquence des listes L1 qui n’ont pas tous leurs termes distincts.
  • L’algorithme est terminé.

Les écrans suivants donnent le programme, sur TI 83, correspondant à cet algorithme, le dernier écran donnant la fréquence demandée pour N=10, ce qui n’est pas significatif, et pour N=500 :

Calcul de la probabilité

La probabilité cherchée est égale à : 1 - \frac{A^{28}_{365}}{365^{28}}.
Ce calcul, lourd à effectuer « à la main », est fait par la machine dans l’écran suivant :

Si, au lieu de prendre 28 élèves on en prend 40 les simulations revêtent une importance particulière, car le calcul à effectuer à la machine dépasse ses capacités comme l’indique l’écran suivant :

Le calcul me semble bien trop lourd à effectuer « à la main » !


Autour du minimum d’une fonction

La fonction f définie par f(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i (x-x_i)^2, où les x_i sont n réels donnés ainsi que les a_i et où l’on suppose de plus que \sum_{i=1}^{n} a_i > 0, possède un minimum et ce résultat trouve une application en statistique et une autre dans le chapitre « Barycentre dans le plan et dans l’espace » du programme de 1re S : voilà ce qui constitue l’objet de cette activité.

Ce travail peut aussi être présenté à une classe de TS.

On peut se contenter de travailler avec une valeur de n pour rester au niveau de la classe de 1re S, mais dans ce texte on fait le travail avec n \in N.

1) Montrer que la fonction f possède un minimum et déterminer celui-ci.

La fonction f est dérivable sur R et f'(x)= \sum_{i=1}^{n} 2a_i (x-x_i)=2 \left (x \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \right).

La fonction f admet donc clairement un minimum pour x= \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} a_i}.

On peut ici explorer le problème avec la TI83, par exemple.

a) On rentre dans l’éditeur de fonction la fonction de l’écran qui suit où on a pris n = 10, x_i=i et a_i=1.

La fenêtre d’affichage :

On a demandé le minimum :

Ici il faut interpréter : x = 5.5 et y = 82.5.

Les élèves ne vont pas être sans remarquer que la courbe de f est une parabole : on va donc leur demander de valider cette conjecture.

2) On considère la série statistique qui prend pour valeurs les x_i avec l’effectif a_i. Montrer que la fonction g définie par g(x)= \frac{f(x)}{\sum_{i=1}^{n} a_i} admet pour minimum la variance de la série statistique.

3) On considère, par exemple, un tétraèdre ABCD de l’espace muni d’un repère orthonormal : A(x_A,y_A,z_A) ; B(x_B,y_B,z_B) ; C(x_C,y_C,z_C) ; D(x_D,y_D,z_D) ; et quatre réels a, b, c, d tels que a+b+c+d > 0. On se pose la question : existe-t-il un point M qui minimise la somme aMA^2 + bMB^2 + cMC^2 + dMD^2 ? On sait résoudre ce problème en utilisant le produit scalaire et le barycentre ; cette activité propose une autre démarche.

En posant M(x, y, z), on a :

aMA^2 +bMB^2 +cMC^2 + dMD^2

= a(x-x_A)^2 +b(x-x_B)^2 + c(x-x_C)^2 + d(x-x_D)^2  + a(y-y_A)^2 + b(y-y_B)^2 + c(y-y_C)^2 + d(y-y_D)^2

\quad +\: a(z-z_A)^2 + b(z-z_B)^2 + c(z-z_C)^2 + d(z-z_D)^2

= f_1(x) + f_2(y) + f_3(z).

f_1, f_2, f_3 sont des fonctions du type de celle définie dans le préambule, on peut donc leur appliquer 1) :

f_1 admet un minimum pour x_1 = \frac{ax_A+bx_B+cx_C+dx_D}{a+b+c+d}

f_2 admet un minimum pour y_2 = \frac{ay_A+by_B+cy_C+dy_D}{a+b+c+d}

f_3 admet un minimum pour z_3 = \frac{az_A+bz_B+cz_C+dz_D}{a+b+c+d}

On a : f_1(x_1) + f_2(y_2) + f_3(z_3) \leq  f_1(x) + f_2(y) + f_3(z) pour tout (x, y, z) \in R^3.

En considérant le point G de coordonnées (x_1,y_2,z_3), qui est clairement le barycentre du système pondéré [(Aa), (Bb), (Cc), (Dd)], on a donc : aGA^2 + bGB^2 + cGC^2 + dGD^2 \leq  aMA^2 + bMB^2 + cMC^2 + dMD^2 pour tout point M de l’espace.

Le point G est donc la solution au problème posé.


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 21 juin 2017, 14h-18h, 146 route de Grand-Coude, Saint-Joseph


Brèves

Décès de Raymond Smullyan

mercredi 15 mars

Le logicien Raymon Smullyan est décédé en février 2017, à l’âge respectable de 97 ans : Il avait eu Alonzo Church comme professeur ! Pour en savoir plus, voir cet article

Travailler à plusieurs

lundi 19 décembre 2016

Les enseignements d’exploration au lycée imposent aux enseignants de travailler ensemble. Chantal Tuffery-Rochdi a analysé dans sa thèse les pratiques des enseignants de MPS (méthodes et pratiques scientifiques). Elle répond aux questions des Cahiers pédagogiques.

Un document sur Eduscol

mardi 19 mai 2015

Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

Histoire de la comptabilité

vendredi 28 décembre 2012

Sur ce site (en anglais) dédié à la comptabilité, on trouve des informations intéressantes sur l’histoire et les pratiques de ce domaine, qui peuvent être utiles aux professeurs enseignant des mathématiques financières (et aussi aux autres...).

La CGE et la réforme des lycées

lundi 16 janvier 2012

La Conférence des Grandes Écoles publie 19 préconisations pour la réforme du lycée.

Sur le Web : Les 19 préconisations

Pratique des mathématiques en série STD2A

lundi 16 janvier 2012

Le site de l’IGEN offre des recommandations et des ressources pour enseigner les mathématiques en série STD2A. Les thèmes abordés (couleurs et nuances de gris, arcs et architecture, jeux vidéos, photo et tableur, perspectives parallèles...) sont de nature à donner aussi des idées d’activités aux enseignants des autres séries !

En cheminant avec Kakeya

lundi 16 janvier 2012

Un livre (à télécharger) de Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière qui présente le calcul intégral et la dérivation en s’appuyant sur la question de Kakeya. Pour les lycéens, les étudiants et tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Sur le Web : Livre à télécharger

Bicentenaire Galois

lundi 12 septembre 2011

À l’occasion du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois (1811-2011), l’Institut Henri Poincaré et la Société mathématique de France organisent un ensemble de manifestations et proposent un site contenant diverses ressources documentaires susceptibles d’intéresser les enseignants.

Statistiques

Dernière mise à jour

mercredi 9 août 2017

Publication

760 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

96 aujourd'hui
404 hier
2073160 depuis le début
14 visiteurs actuellement connectés