Démonstrations faites par ordinateur

Le poussin de Coq
jeudi 20 mai 2010
par  Alain BUSSER

Comme on l’a vu dans l’article sur CoqIde, il est possible avec ce dernier de construire à la machine, des preuves notamment en géométrie. Cependant l’outil utilisé à cet effet est la théorie des types, largement trop complexe pour les rudiments de la démonstration. Et les expériences menées en géométrie (en lycée ou équivalent) ne se soldent pour l’instant que par des liens vides.

Le mariage entre CoqIde et la géométrie dynamique est basé sur des travaux de Chou, Gao et Zhang de l’université de Wichita (avec le langage de programmation prolog). Or ce travail a mené à la création de Geometry Expert, un logiciel de géométrie dynamique en Java, donc multiplateforme, et permettant d’engendrer des démonstrations des propriétés conjecturées. À l’heure ou CaRMetal se voit doté d’un outil de vérification de conjectures, il peut être intéressant de tester ce logiciel, moins comme logiciel de géométrie dynamique (dans le genre, il y a mieux) que comme logiciel de démonstrations, qui présente sur Coq l’avantage indéniable d’évoluer dans un contexte graphique. La question la plus importante reste quand même celle d’une éventuelle utilisation de ce logiciel en classe, voire en collège. On verra que la réponse est assez mitigée...

Une remarque sur le nom du logiciel : « Geometry Expert » laisse penser à un système expert, au sens de l’intelligence artificielle, c’est-à-dire un logiciel qui a beaucoup de connaissances et peu d’intelligence. En fait on va voir que c’est exactement le contraire (par exemple, pas de coniques sous GeX).

À l’heure où j’écris ces lignes, Gex possède 4 méthodes de démonstration :

  1. La méthode de déduction (comme la pratiquait Euclide), qui démontre la propriété conjecturée à partir des hypothèses et d’une collection de lemmes.
  2. La méthode des angles, qui calcule (de manière exacte et non approchée) des angles pour montrer des propriétés (par exemple, deux droites sont parallèles si et seulement si l’angle qu’elles forment est nul) ;
  3. Le calcul formel : En choisissant un repère, on écrit les coordonnées des points de la figure sous forme littérale, puis on traduit les conditions de l’énoncé par des équations polynomiales, ensuite on résout le système obtenu par la méthode des bases de Gröbner (par exemple, un alignement peut se prouver par un calcul de déterminant, lequel démontre s’il aboutit à zéro, que deux vecteurs sont colinéaires) ;
  4. Variante de la méthode précédente, où on résout le système par des divisions euclidiennes de polynômes.

Hexagone

À l’ouverture du logiciel, la fenêtre qui s’ouvre est assez classique dans son aspect, et permet assez vite de construire des figures dynamiques : On est en terrain connu :

  • L’outil « line » est étrange, car il construit bien une droite mais ne dessine qu’un segment. Ce peut être un avantage pour les exercices sur les coordonnées, les droites parallèles aux axes de coordonnées étant tracées juste dans la partie intéressante (le tracé s’arrête au point d’intersection).
  • Il y a deux icônes pour les perpendiculaires, en effet la première construit la droite (en dessinant un segment) et la seconde construit le projeté orthogonal.
  • Les angles sont en degrés, mais orientés (l’icône comprend une flèche).
  • L’outil « symétrique » sert à la fois pour les réflexions et les symétries centrales, malgré ce que laisse penser l’aspect de son icône.

La figure ci-dessus (à droite) montre le début de la construction d’un hexagone régulier. On constate que par défaut, le point d’intersection (GeX laisse choisir parmi les deux points) est représenté dans une couleur différente des points libres. Le nommage des points est automatique, mais on peut les renommer.

Mais le plus original avec ce logiciel de géométrie dynamique, c’est la possibilité non seulement de vérifier une conjecture (est-ce que l’hexagone est vraiment régulier) mais le cas échéant, d’en obtenir une démonstration.


Pour vérifier une conjecture, on clique en haut de la figure sur « prove » et là, on choisit « to prove », ce qui permet de choisir la conjecture (par exemple, entrer les noms des trois points dont on souhaite prouver qu’ils sont alignés).

Constatant que parmi les propriétés qu’on peut conjecturer, il n’y en a aucune sur la nature d’un hexagone, on essaye à défaut de prouver que le triangle ABC est équilatéral. C’est là qu’intervient le cadre de gauche dans la figure ci-dessus : On y apprend l’historique de la construction et la propriété à démontrer : Que ABC est équilatéral. Tout impatient, on clique alors sur le triangle vert pour obtenir la démonstration, et on a ceci :

Morale : Gex est capable de faire des démonstrations mais pas toujours... Pour essayer d’en savoir plus, on peut voir s’il est possible de choisir une autre méthode de démonstration. On peut, et les méthodes de calcul formel confirment que le triangle est bien équilatéral (voir l’onglet « centre de gravité » pour voir ce qu’elles produisent). D’ailleurs, Gex « sait » que le triangle est équilatéral puisque si on demande l’affichage des « points fixes » de la base de données (onglet « Fix » en bas), on aperçoit que l’égalité des trois longueurs et l’égalité des trois angles sont apparues dans la base de données. Il s’agit peut-être d’un bogue, le logiciel étant encore en cours d’élaboration.

Orthocentre

Dans la figure ci-dessous, il s’agit de démontrer que (AB)\bot(FG) :

Les méthodes de calcul formel permettent de le faire en calculant un produit scalaire, mais cette fois-ci la méthode déductive fonctionne, en produisant une stratégie de démonstration, dont voici le début :

La traduction en termes de stratégie de résolution commence par quelque chose comme ceci :


Je pourrais démontrer que (FG) est perpendiculaire à (AB) si je savais démontrer que (2) l’angle entre (FG) et (AB) est égal à l’angle entre (BE) et (AE) et (3) que (BE) est perpendiculaire à (AE) ;

Je vais donc transformer l’exercice difficile « montrer que (FG) est perpendiculaire à (AB) » en deux exercices plus simples :

2 : Montrer que l’angle entre (FG) et (AB) est égal à l’angle entre (BE) et (AE) ;

3 : Montrer par ailleurs que (BE) est perpendiculaire à (AE) ;

Et je répète la même stratégie pour chacun de ces deux exercices.

La fin de la stratégie mène alors à des démonstrations d’évidences (axiomes ou hypothèses) :

Pour rédiger cette démonstration, il vaut mieux donc la lire de bas en haut, c’est-à-dire en commençant par la fin :

  • (13) Le triangle ABD est inscrit dans un demi-cercle, donc rectangle en D ;
  • (12) Autrement dit, le triangle DFG est rectangle en D ;
  • (11) De même, le triangle EFG est rectangle en E ;
  • (9) Les quatre points D, E, F et G sont donc cocycliques.
  • (8) D’après le théorème de l’angle inscrit (dans le cercle de centre C), \widehat{EAB}=\widehat{EDB} ;
  • (7) Mais \widehat{EFG} est aussi égal à \widehat{EDB}, d’après le théorème de l’angle inscrit dans le cercle passant par D, E, F et G ;
  • (5) Par conséquent, \widehat{EFG}=\widehat{EAB}
  • (3) Donc l’angle entre (FG) et (AB) est égal à \widehat{BEA} (ce point mériterait d’être un peu précisé...)
  • (2) Or le triangle BEA est inscrit dans un demi-cercle, donc il est rectangle en E ;
  • (1) Donc (FG)\bot(AB) cqfd.

Parfois une justification est donnée sous la forme « rule 10 » mais pour connaître l’axiome utilisé, il faut une liste de ceux-ci, on l’obtient en cliquant sur « Lemmas » en haut de la fenêtre, ce qui donne cet affichage :


Quoique juste, la démonstration ci-dessus demande à être comparée avec celle d’un élève (de Seconde), que voici :


On cherche à prouver que [AN], [BM] et (PO) sont les hauteurs du triangle ABP. ABM et ABN sont inscrits dans un cercle de Thalès. Le théorème de Thalès selon les Allemands et Anglo-saxons énonce : « un angle inscrit dans un demi-cercle est droit ». En conséquence, [BM] est perpendiculaire à [AP) et [AN] est perpendiculaire à [BP). Ainsi, O est l’intersection de [AN] et [BM], et par conséquent l’orthocentre, car l’on sait désormais que [AN] et [MB] sont des hauteurs. La droite (OP) passe par P (sommet du triangle) et O (orthocentre). De ce fait, l’on peut affirmer que (OP) est une hauteur du triangle ABP et donc, dans le même principe, affirmer que (OP) est perpendiculaire à [AB].

C’est quand même mieux, non ? En fait la propriété « droites concourantes » ne semble pas exister sous Gex, comme le montre l’onglet suivant.

Centre de gravité

Gex peut-il démontrer des propriétés aussi classiques que la concourance des droites remarquables du triangle ? Pour le savoir, on doit construire deux de ces droites, puis leur intersection, et enfin montrer que la troisième droite remarquable passe aussi par ce point. En effet, si Gex ne sait pas démontrer que trois droites sont concourantes, il sait démontrer que trois points sont alignés.

Voici donc la construction, exportée par Gex en une figure animée :

Il s’agit de prouver que A, G et E sont alignés, G ayant bien entendu été défini comme intersection des médianes (BF) et (AE).

Seulement la méthode consistant à demander à Gex de prouver cet alignement donne le message d’erreur que voici :

C’est d’autant plus décevant que la consultation des « points fixes » de la base de données construite pendant la tentative de démonstration donne des renseignements intéressants sur les rapports de longueur :

Et en plus, le centre de gravité est un objet connu de Gex (dans l’entrée « construct » du menu). Et bien la méthode par calcul formel permet bien de démontrer l’alignement. Pour la mettre en route, on simplifie un peu la figure, en utilisant la construction directe du centre de gravité :

Il s’agit maintenant de démontrer l’alignement de A, G et A’ (ce dernier ayant été défini comme milieu de (BC]). Là encore, la déduction ne marche pas (du moins sans construction auxiliaire comme les droites du milieu) mais la méthode des bases de Göbner donne ceci :

Voici les étapes du raisonnement :

  • On commence par choisir un repère orthonormé (au cas où il y aurait des cercles) d’origine A et tel que B est sur l’axe des abscisses. On nomme alors les coordonnées des différents points de la figure, ce qui donne 7 variables.
  • On traduit par des équations polynomiales entre ces variables, les données de l’énoncé. Avec les deux coordonnées de G et celles de A’, cela donne 4 équations à 7 inconnues.
  • On écrit le système formé par ces équations ;
  • On rajoute sous une forme analogue la propriété à prouver (ici un déterminant nul)
  • On réduit (par des calculs non affichés) ; on trouve 0 ce qui veut dire que la condition x7x10=x8x9 est conséquence des hypothèses : L’alignement est vérifié.

En résumé, cette méthode est correcte mais basée (c’est le cas de le dire) sur la géométrie repérée, et l’intervention de la logique est beaucoup moins abondante que dans la méthode par déduction.

Un outil analogue est xcas qui marie calcul formel et géométrie dynamique. Sauf que le moteur de calcul tend à rendre les mouvements de la figure quelque peu saccadés, et que finalement la géométrie d’xcas n’est pas si dynamique que ça.

Parce que

  • Il montre comment a été élaborée une stratégie de déduction
  • Il donne des exemples de démonstration
  • Il permet de raisonner de façon interactive (ajouter des traits de construction pour réussir à finir la démonstration)
  • Il comprend plusieurs démonstrations du théorème de Pythagore (dans les exemples)

ce logiciel semble adapté à l’apprentissage de la démonstration en lycée, voire en collège. Toutefois

  • Il n’y a à l’heure actuelle pas de version française (et la VO comporte quelques fautes d’orthographe d’ailleurs)
  • Beaucoup de théorèmes sont démontrés avec des triangles semblables ou des points cocycliques, ce qui dépasse largement le cadre du programme...

L’utilisation en TP paraît donc délicate, mais au TBI, ce logiciel est un excellent outil, ne serait-ce que parce qu’il permet aussi de construire des démonstrations « à la main » et de les exporter à un format graphique. Il ne lui manque donc plus qu’une license GPL pour être (ou devenir vite) parfait...


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 13 septembre 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 4 octobre 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 11 octobre 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 22 novembre 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 7 février 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 7 mars 2018, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 4 avril 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 2 mai, 14h-18h, campus du Tampon
- Mardi 5 juin 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 6 juin, 14h-18h, campus du Tampon

Fête de la science

Du 13 au 18 novembre 2017.
Thème : « La recherche à l’heure du numérique »

Semaine des mathématiques

Du 26 au 31 mars 2018.
Thème : « Mathématiques et mouvement »


Brèves

Décès de Raymond Smullyan

mercredi 15 mars

Le logicien Raymon Smullyan est décédé en février 2017, à l’âge respectable de 97 ans : Il avait eu Alonzo Church comme professeur ! Pour en savoir plus, voir cet article

Travailler à plusieurs

lundi 19 décembre 2016

Les enseignements d’exploration au lycée imposent aux enseignants de travailler ensemble. Chantal Tuffery-Rochdi a analysé dans sa thèse les pratiques des enseignants de MPS (méthodes et pratiques scientifiques). Elle répond aux questions des Cahiers pédagogiques.

Un document sur Eduscol

mardi 19 mai 2015

Un document clarifiant bien la façon dont les mêmes concepts vivent en mathématiques et dans les sciences « exactes » les utilisant, publié par Eduscol en octobre 2014. Citons-les :
« Le document proposé ci-dessous s’adresse aux professeurs de mathématiques, physique-chimie et sciences de l’ingénieur intervenant dans le segment [Bac-3 ; Bac+3]. Il vise à les informer des différences de présentation et d’interprétation qui sont faites de certains concepts mathématiques dans les autres disciplines. Ces éclaircissements peuvent contribuer à harmoniser et à clarifier l’utilisation de ces notions auprès des élèves. »

Histoire de la comptabilité

vendredi 28 décembre 2012

Sur ce site (en anglais) dédié à la comptabilité, on trouve des informations intéressantes sur l’histoire et les pratiques de ce domaine, qui peuvent être utiles aux professeurs enseignant des mathématiques financières (et aussi aux autres...).

La CGE et la réforme des lycées

lundi 16 janvier 2012

La Conférence des Grandes Écoles publie 19 préconisations pour la réforme du lycée.

Sur le Web : Les 19 préconisations

Pratique des mathématiques en série STD2A

lundi 16 janvier 2012

Le site de l’IGEN offre des recommandations et des ressources pour enseigner les mathématiques en série STD2A. Les thèmes abordés (couleurs et nuances de gris, arcs et architecture, jeux vidéos, photo et tableur, perspectives parallèles...) sont de nature à donner aussi des idées d’activités aux enseignants des autres séries !

En cheminant avec Kakeya

lundi 16 janvier 2012

Un livre (à télécharger) de Vincent Borelli et Jean-Luc Rullière qui présente le calcul intégral et la dérivation en s’appuyant sur la question de Kakeya. Pour les lycéens, les étudiants et tous les esprits curieux qui souhaitent voir les mathématiques sous un jour différent.

Sur le Web : Livre à télécharger

Bicentenaire Galois

lundi 12 septembre 2011

À l’occasion du bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois (1811-2011), l’Institut Henri Poincaré et la Société mathématique de France organisent un ensemble de manifestations et proposent un site contenant diverses ressources documentaires susceptibles d’intéresser les enseignants.

Statistiques

Dernière mise à jour

lundi 25 septembre 2017

Publication

766 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

482 aujourd'hui
1251 hier
2102977 depuis le début
44 visiteurs actuellement connectés