Suite de Collatz en engagement direct

dimanche 5 septembre 2010
par  Alain BUSSER

La suite de Collatz est une suite récurrente classique, à ceci près qu’elle fait intervenir des tests dans sa définition dynamique. Ce qui lui donne un intérêt certain du point de vue de l’algorithmique (test et boucle en même temps) d’autant plus que c’est une suite entière. D’ailleurs son succès est tel qu’on la voit dans plusieurs manuels de Seconde (pour éviter de parler de suites en Seconde, on parle de conjecture de Syracuse).

Voici des figures DGPad permettant d’explorer la suite de Collatz en ligne :

  • Suite de Collatz proprement dite (le premier terme est obtenu par la manipulation du curseur u_0) :

En manipulant le curseur ci-dessus, on constate que

    • La fin est toujours la même (4,2,1 à répétition)
    • Mais l’histoire est parfois longue (temps de vol variable), et dans ce cas la suite sort de l’écran
  • La figure ci-dessous affiche le temps de vol sous forme de l’ordonnée d’un point dont l’abscisse est u_0 ; en plus sont affichés les temps de vol des nombres allant de 1 à 200, ce qui explique la longueur de l’ouverture du fichier :
  • Enfin, l’altitude maximum, elle aussi dépendant du terme initial u_0 ; parfois l’altitude maximum est si grande qu’il a fallu la diviser par 100 :

Le TP CaRMetal

L’approche proposée ici a ceci d’original qu’elle demande à l’élève de créer un fichier dynamique, que la suite du TP fera manipuler de manière à émettre le plus spontanément possible les conjectures telles celle de Syracuse. Voici le fichier CaRMetal produit (on peut le télécharger d’un clic droit puis l’ouvrir en local avec CaRMetal) :

CarMetal - 33.2 ko
la figure dynamique

La conjecture de Syracuse peut s’énoncer ainsi en terme de CaRScript :

Le script suivant :

while(u>1){
    if(Math.floor(u/2)==u/2){
        u/=2;
    } else {
        u=3*u+1;
    }
    Println(u);
}

s’arrête-t-il pour toute valeur initiale entière strictement positive de u ?

Difficile de demander aux élèves de démontrer cette conjecture ! Mais comme on peut le voir ci-dessous (dans le sujet du TP en pdf) il est tout de même possible de placer quelques démonstrations...


Sujet

Le sujet du TP est téléchargeable ci-dessous, sous licence CC :

Creative Commons License
This work is in the Public Domain.

PDF - 85.9 ko
le sujet du TP en pdf

Bonus : Les sources des figures DGPad

  • La suite de Collatz :
// Coordinates System :
SetCoords(68,522,2);
// Geometry :
E2=Expression("E2","","","","x-floor(x/2)*2","12.0","51.6");
u_0=Expression("u_0","","1","60","25","12.0","-22.0");
E1=Expression("E1","","","","(3*x+1)*E2(x)+x/2*(1-E2(x))","12.07","52.9");
E3=Expression("E3","","","","nuage=[[0,u_0]];for(n=1;n<=200;n++){nuage.push([n,E1(nuage[nuage.length-1][1])])};nuage","30.0","50.1");
List1=List("List1",E3);
// Styles :
STL(E2,"c:#224677;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(u_0,"c:#3a2f76;s:4;sn:true;f:16;p:4;i:1;cL:200;cPT:YzojMDAwMGIyO286MTtzOjYuNTtmOjMwO2k6MQ==");
STL(E1,"c:#33157d;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E3,"c:#295958;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(List1,"c:#760012;o:0.53;s:2;f:30;p:0;sg:0");
SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
SetGeneralStyle("background-color:#FAFAFA");
  • L’affichage des temps de vol :
// Coordinates System :
SetCoords(52,282,2);
// Geometry :
E2=Expression("E2","","","","x-floor(x/2)*2","20.0","-68.3");
u_0=Expression("u_0","","1","200","25","20.0","-32.0");
E1=Expression("E1","","","","(3*x+1)*E2(x)+x/2*(1-E2(x))","20.0","-67.0");
E3=Expression("E3","","","","nuage=[[1,4]];for(var u0=2;u0<=200;u0++){var u=u0;n=0;while(u>1){n++;u=E1(u);};nuage.push([u0,n]);};nuage","98.0","30.1");
P1=Point("P1","var u=u_0;var n=0;while(u>1){n++;u=E1(u);};[u_0,n]","0");
List1=List("List1",E3);
// Styles :
STL(E2,"c:#224677;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(u_0,"c:#3a2f76;s:4;sn:true;f:16;p:4;i:1;cL:200;cPT:YzojMDAwMGIyO286MTtzOjYuNTtmOjMwO2k6MQ==");
STL(E1,"c:#33157d;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E3,"c:#295958;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(P1,"c:#760012;s:10;f:30;p:1;sp:1");
STL(List1,"c:#007c7c;s:1;f:30;p:0;sg:0.6");
SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
SetGeneralStyle("background-color:#FAFAFA");
  • Et l’affichage des altitudes maximales divisées par 100 :
// Coordinates System :
SetCoords(55,228,2);
// Geometry :
E2=Expression("E2","","","","x-floor(x/2)*2","18.6","-95.3");
u_0=Expression("u_0","","1","200","25","18.5","-29.0");
E1=Expression("E1","","","","(3*x+1)*E2(x)+x/2*(1-E2(x))","18.5","-94.0");
E3=Expression("E3","","","","nuage=[[1,4]];for(var u0=2;u0<=200;u0++){var max=1;var u=u0;n=0;while(u>1){n++;if(u>max){max=u};u=E1(u);};nuage.push([u0,max/100]);};nuage","96.5","3.1");
P1=Point("P1","var u=u_0;var max=1;var n=0;while(u>1){n++;if(u>max){max=u};u=E1(u);};[u_0,max/100]","0");
List1=List("List1",E3);
E4=Expression("E4","altitude maximum ","","","y(P1)*100","17.5","-61");
// Styles :
STL(E2,"c:#224677;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(u_0,"c:#3a2f76;s:4;sn:true;f:16;p:4;i:1;cL:200;cPT:YzojMDAwMGIyO286MTtzOjYuNTtmOjMwO2k6MQ==");
STL(E1,"c:#33157d;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(E3,"c:#295958;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(P1,"c:#760012;s:10;f:30;sp:1");
STL(List1,"c:#007c7c;s:1;f:30;p:0;sg:0.6");
STL(E4,"c:#130515;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO3M6MTA7ZjozMA==");
SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
SetGeneralStyle("background-color:#FAFAFA");

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Notation au bac

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Une nouvelle notation sera pratiquée à partir de la session 2018 pour les algorithmes au bac. Elle est décrite avec de nombreux exemples, ici.

Décès de Roger Mohr

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On sait bien que Nicolas Bourbaki n’était pas le nom d’une personne mais le pseudonyme d’un groupe. L’équivalent en informatique théorique est Claude Livercy, auteur de la théorie des programmes. Roger Mohr était un des membres de Claude Livercy.

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

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Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

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