Convergence d’une suite

dimanche 5 septembre 2010
par  Alain BUSSER

Un robot est chargé de quitter un cercle à partir de son centre en avançant de moins en moins vite. Y arrivera-t-il ?

Le robot peut très bien être une tortue Python ! Dans ce cas il vaut mieux qu’au lieu d’avancer de \frac{1}{n(n+1)} à chaque étape, elle avance de \frac{100}{n(n+1)} et qu’elle essaye de sortir du cercle de rayon 100.

On peut commencer en interactif :

puis construire un segment à 100 pixels de l’origine (pour voir où la tortue doit aller) puis écrire une boucle :

Cette méthode permet de cacher les additions dans le caractère cumulatif de la mémoire de la tortue. On obtient ceci après 20 itérations :


Pour faire un peu plus « algorithmique » avec une variable incrémentée (de moins en moins) on peut utiliser un CaRScript comme celui ci-dessous :

CarMetal - 6.6 ko

Le script peut ensuite être modifié pour représenter graphiquement la suite (onglet « limite » ci-dessus) et avec une droite horizontale mobile pour conjecturer la valeur de la limite.

On peut aussi (risqué !) transformer l’algorithme en une boucle telle que

s=0;
n=1;
while(s<1){
        s+=1/n/(n+1);
        n++;
        Move("R",s,0);
}

et la question devient : « Est-ce que la boucle s’arrêtera un jour, ou est-elle sans fin ? »


SciLab

Avec SciLab, les suites (finies) sont des objets que le logiciel peut manipuler, sans boucles ni indices (sauf si on veut, la syntaxe des boucles est plutôt simple). Ci-dessous on crée la suite des n par a=1:20, puis celle des n+1 par b=a+1, puis leur produit terme à terme dans c et la suite des \frac{1}{n(n+1)} dans d, à chaque fois suivis par des points-virgules pour ne pas encombrer l’écran par leur affichage. Ensuite cumsum donne la suite u_n :

On a le même genre de résultat qu’un tableur, avec le même genre de manip (sans boucle ni affectation de variables numériques). Pour le graphique en rouge (« r »), en pointillés («  : ») et avec des points ronds (« o »), on fait

ce qui donne ceci :


Calcul formel

Le même genre de manip sous Xcas donne la valeur exacte de u_{20} qui aide à faire une conjecture, renforcée par le calcul de u_{100 000}, puis de u_N :

Quant à WxMaxima, il est écrit en LISP qui est un langage spécialisé dans les listes, alors on peut avoir les 20 premiers termes de \frac{1}{n(n+1)} et de u_n d’un coup :

El le paquet solve_rec permet de calculer la valeur exacte de u_n en considérant celle-ci comme récurrente (en effet u_{n+1}=u_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}) :

Bref, il y a bien des manières d’étudier expérimentalement cette suite :

  1. le calcul formel donne des résultats immédiatement, de façon assez interactive surtout avec le tableur d’Xcas, non traité ici ;
  2. le tableur justement, non traité ici, somme assez facilement les termes d’une suite mais avec un « dollar » au début, par exemple B1=SOMME(A$1;A1) à copier vers le bas si la colonne A contient les fractions à additionner ;
  3. SciLab fait des affectations sur des variables qui sont des suites (et non des nombres), ce qui évite l’usage de boucles ;
  4. L’algorithmique, avec des sommes calculées par boucles, donc un esprit un peu différent des autres méthodes.

Pour chacune des démarches, le présent exercice peut être considéré comme une prise en mains de l’outil, en vue d’une utilisation ultérieure de celui-ci dans un contexte où il est plus approprié, voire de plusieurs outils, pour préparer l’élève au choix de l’outil adéquat pour un TP donné.


Sujet

Le sujet du TP est téléchargeable ci-dessous, sous licence CC :

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Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

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Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

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Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

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lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

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L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

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Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

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Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

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