Algorithmes de calcul de sinus et cosinus

samedi 11 septembre 2010
par  Alain BUSSER

Le calcul de sinus et cosinus se fait de manière différente selon qu’on doive en calculer beaucoup (table trigonométrique) ou un seul (approximation). Dans ce dernier cas, l’algorithme CORDIC, historique, ne semble plus guère être utilisé que dans les calculatrices, la présence d’un coprocesseur arithmétique dans les CPU modernes ne le rendant plus nécessaire.

La plus vieille table trigonométrique avait un pas de 3,75°. Elle fut établie avant l’époque de Charlemagne, en Inde. Il semble que son auteur ait utilisé la suite récurrente ci-dessous. Cette suite est intéressante à étudier du point de vue algorithmique parce son terme courant est calculé récursivement à partir de la somme des termes précédents, ce qui algorithmiquement parlant, nécessite une boucle à l’intérieur d’une autre boucle :

CarMetal - 38.9 ko
la suite d’Aryabhata
diaporama CaRMetal, à télécharger en cliquant dessus puis ouvrir avec CaRMetal

Pour échapper à cette complexité algorithmique, on peut faire l’activité sur tableur, en réservant par exemple la colonne B pour le calcul de la suite, et la colonne C pour le calcul de la somme des termes, avec

=SOMME(B$2;B2)

dans C2, à copier vers le bas...


Si les ordinateurs n’utilisent plus CORDIC de nos jours, qu’utilisent-ils ? L’algorithme se résumerait [1] à ceci :

  1. Calcul de la mesure principale de l’angle x, pour revenir à un intervalle comme [-\pi;\pi] ;
  2. Recherche sur cet intervalle, d’un approximant de Padé ;
  3. Calcul du numérateur et du dénominateur de cet approximant, par la méthode de Horner ;
  4. Division des deux nombres précédents dans le coprocesseur FPU du Pentium.

C’est la première étape qui se prête le mieux à une activité algorithmique en Première.

Une fois qu’on en est arrivé à chercher le sinus ou le cosinus d’un angle compris entre -\pi et \pi, on a besoin d’une fraction rationnelle qui soit proche du sinus ou du cosinus sur l’intervalle [-\pi;\pi]. Pour cela, un logiciel de calcul formel [2] fait l’affaire. Par exemple WxMaxima, qui passe par un développement limité, alors qu’Xcas donne directement l’approximant de Padé : Xcas a donc été choisi ici :

De plus, il est possible de sélectionner sous Xcas le résultat du calcul, de le copier (par Ctrl+C) puis de le coller (par Ctrl+V) dans un logiciel de géométrie dynamique et de représenter graphiquement la fonction [3]. Avec CaRMetal, après avoir ajouté les représentations graphiques des fonctions rcos et rsin, on obtient ceci :


Un plan possible pour un TP est le suivant :

  1. Chercher par les formules de trigonométrie, un intervalle dans lequel faire l’approximation ;
  2. écrire un algorithme qui, à partir de x \in \R, donne sa valeur principale ;
  3. obtenir les approximants de Padé avec un logiciel de calcul formel ;
  4. représenter graphiquement les approximants et les fonctions ;
  5. vérifier la qualité de l’approximation.

Voici un exemple de TP d’une heure :

PDF - 74.8 ko
le sujet du TP en pdf

On peut envisager un prolongement pour les élèves ayant déjà vu Horner en Seconde, sur le calcul effectif des fractions rationnelles.


[1fait en assembleur, à l’intérieur du Pentium ou autre, partiellement câblé donc pas libre, le détail est inaccessible au commun des mortels...

[2pour chercher l’approximant de Padé, il va tronquer l’écriture en fraction continue de la série de Taylor de la fonction : Inutile d’en parler aux élèves, sauf dans le cas peu probable où ils demanderaient comment le CAS fait pour avoir cet approximant...

[3Ce transfert de données n’est d’ailleurs pas nécessaire puisqu’Xcas permet de représenter graphiquement des fonctions.


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À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

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L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

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Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

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Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

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