Convergence d’une suite basée sur une somme

lundi 13 septembre 2010
par  Alain BUSSER

Autre exercice issu de fouilles archéologiques dans le livre de la collection Terracher.

L’intérêt algorithmique de cette suite réside dans le fait qu’il faut une boucle pour calculer le terme général de la suite (qui est une somme), elle-même placée à l’intérieur d’une autre boucle (celle sur l’indice de la suite). En notation algébrique :

u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}

ou

u_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k}}

Cette dernière notation présente l’avantage de bien montrer qu’il y a deux boucles puisqu’elle donne le nom des indices : Boucle extérieure sur n, dans laquelle on calcule la somme par une boucle intérieure sur k.

En ajoutant le raccourci « += » propre aux langages objets pour l’addition au fur et à mesure de nombres à une variable « somme » (ci-dessous désignée u), on obtient un programme court, donc facile à évaluer. Voici la version IDLE :

On remarque que l’exercice n’est pas très facile à faire avec un tableur à cause de ces deux indices (il faut faire un tableau à deux dimensions puis sommer ses colonnes par exemple, ce qui est loin d’être simple). On peut néanmoins faire l’exercice sans boucle (ou plutôt avec des boucles cachées dans le logiciel) avec par exemple Xcas :

Pour présenter l’exercice sans la lettre « Sigma », on peut faire une liste :

  • Le calcul numéro 1 consiste à écrire (et calculer) \frac{1}{1^2+1} ;
  • Le calcul numéro 2 est un vrai calcul : \frac{2}{2^2+1}+\frac{2}{2^2+2} ;
  • Le calcul numéro 3 consiste à écrire puis calculer \frac{3}{3^2+1}+\frac{3}{3^2+2}+\frac{3}{3^2+3} ;
  • Le calcul numéro 4 consiste à écrire puis calculer \frac{4}{4^2+1}+\frac{4}{4^2+2}+\frac{4}{4^2+3}+\frac{4}{4^2+4} ;
  • ...
  • Le calcul numéro n consiste donc à calculer la fraction u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\frac{n}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}...
  • ...
  • Quel est le calcul numéro \infty (la limite de la suite u_n) ?

La fin de l’exercice consiste à chercher un minorant et un majorant de u_n :

  • Pour le majorant, il suffit de majorer chaque terme de la somme (en pensant toutefois à utiliser la décroissance de x \mapsto \frac{n}{n^2+x}) et dénombrer ces termes ;
  • Par contre pour le minorant la même technique aboutit à l’expression \frac{n^2}{n^2+n} qui se simplifie par une factorisation du dénominateur. Il y a lieu de débattre là-dessus, mais en cas de difficulté, le passage par un logiciel de calcul formel faciliterait la simplification, comme le montre cette très courte séance Maxima :

L’intérêt essentiel de cet exercice est tout à la fin : Comment, à partir d’un encadrement de u_n, déduire sa limite ? De cette manière, le TP ressemble à une évaluation de l’épreuve expérimentale du bac, avec sa partie purement manipulatoire au début (jusqu’à l’émission de conjectures) et la rédaction d’une démonstration à la fin. Dans ce cadre, on peut donc considérer ce TP comme une préparation à la Terminale, voire le donner en Terminale dès cette année...


Commentaires

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samedi 19 novembre 2011 à 11h52 - par  Alain BUSSER

En fait on peut écrire plus simplement le programme, le langage Python ayant lui aussi une instruction « sum ». Avec Python 3, la nouvelle division permet de simplifier encore plus :

for n in range(1,20):
        u=sum(n/(n**2+k) for k in range(1,n))
        print(n,u)

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Séminaire EDIM-IREM

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Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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