Algorithme de Newton

samedi 18 septembre 2010
par  Alain BUSSER

La résolution d’équations du type f(x)=0 par la méthode de Newton est présentée en général par l’idée géométrique suivante :

  • On remplace f(x) par son approximation affine f(a)+(x-a)f'(a), ou la représentation graphique de f par sa tangente en (a;f(a)) ;
  • On a une équation facile à résoudre (f(a)+(x-a)f'(a)=0 \Leftrightarrow x=a-\frac{f(a)}{f'(a)}) mais fausse, la tangente n’étant pas suffisamment proche de la courbe.
  • Mais on peut recommencer, obtenant ainsi une méthode itérative (un algorithme...) qui converge vers une des solutions de l’équation f(x)=0.

Côté programmation, on est amené à itérer la fonction x-\frac{f(x)}{f'(x)} qui converge plus vite que les suites adjacentes de la méthode de dichotomie mais est plus difficile à calculer en raison de la présence de la dérivée (à évaluer par exemple numériquement...)


Scoop : On peut faire tout ça sans calcul de dérivée, en opérant comme Newton, avec une figure :

CarMetal - 6.9 ko

L’exemple ci-dessus, qui cherche à calculer \sqrt{5} en résolvant l’équation x^2-5=0, revient donc dans le cas présent à la méthode de Heron [1].

La possibilité de bouger le point U_0 est intéressante, parce qu’elle permet de voir comment sa valeur détermine vers quelle solution de l’équation f(x)=0 la suite va converger. On peut simplement changer la fonction f(x) en bas à gauche pour résoudre une autre équation. Et on peut créer la construction en appliquant une demi-douzaine de fois une macro, et en construisant vraiment la tangente, et sans calculatrice.

Voici une manière possible :

  1. À partir de U_0, mener la parallèle à l’axe des ordonnées ;
  2. Construire l’intersection de la droite verticale et de la courbe.
  3. Mener par ce dernier point, la tangente à la courbe.
  4. Enfin, construire l’intersection de la tangente et de l’axe des abscisses.

Puis cacher les traits de construction (sinon on aura vite fait de ne plus rien voir). Ensuite, on définit une macro avec pour objet initial, U_0, et pour objet final, le point qu’on vient de construire. Il suffit d’appliquer cette macro 5 fois de suite pour avoir une bonne approximation de la limite de la suite (l’abscisse du dernier point construit).

Comme il peut être difficile d’appliquer la macro à des points qui deviennent dangereusement rapprochés, on peut automatiser la construction avec les listes de GeoGebra ou avec un CaRScript :


Si on souhaite quand même renoncer au calcul graphique et implémenter l’algorithme sous forme numérique ou dans un tableur, on est obligé de précalculer la dérivée. Ici la dérivée de x^2-5 est 2x mais si par exemple on veut calculer le plus petit Nombre de Pisot-Vijayaraghavan avec f(x)=x^3-x-1, on a f'(x)=3x^2-1, calcul à refaire. On se retrouve donc avec un nouveau programme ou une nouvelle feuille de tableur pour chaque équation à résoudre. Sauf si le tableur a des fonctionnalités de calcul formel, comme par exemple Xcas :

Ici la cellule D1 contient =diff(D0,x) et la cellule B0 contient 1.

La cellule B1 contient
=B0-subst(D$0,x=B0)/subst(D$1,x=B0)

Et comme la colonne B contient des fractions (calcul formel oblige), pour voir la convergence de la suite, on a mis dans C0 un =evalf(B0) qui a été recopié vers le bas.

On remarque que le choix a été fait ici d’une boucle effectuée 8 fois, plutôt qu’une boucle à condition de sortie qui eût été plus appropriée ici. Ce choix a été rendu possible par la vitesse de convergence de la suite.


Voici donc le plan d’une séquence de TP d’une heure autour de la méthode de Newton :

  1. Faire faire la construction sous CaRMetal ou GeoGebra ;
  2. faire construire une macro (sous CaRMetal) ou un outil (sousGeoGebra) à itérer environ 5 ou 6 fois.
  3. Demander l’abscisse du ou des dernier(s) point(s) construit(s).
  4. Si le temps le permet, refaire l’activité avec le tableur (xcas ou autre, mais dans ce dernier cas avec un calcul prélable de la dérivée). La justification de la formule x=a-\frac{f(a)}{f'(a)} peut être faite dans l’énoncé du TP, voire en DM avant le TP.

Une approche similairement graphique de la méthode d’Euler (qui est d’ailleurs un algorithme) est visible dans ce tutoriel.


[1En effet x-\frac{x^2-5}{2x}=\frac{x+\frac{5}{x}}{2}.


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 13 septembre 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 4 octobre 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 11 octobre 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 22 novembre 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 7 février 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 7 mars 2018, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 4 avril 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 2 mai, 14h-18h, campus du Tampon
- Mardi 5 juin 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 6 juin, 14h-18h, campus du Tampon

Fête de la science

Du 13 au 18 novembre 2017.
Thème : « La recherche à l’heure du numérique »

Semaine des mathématiques

Du 26 au 31 mars 2018.
Thème : « Mathématiques et mouvement »


Brèves

Décès de Roger Mohr

mardi 27 juin

On sait bien que Nicolas Bourbaki n’était pas le nom d’une personne mais le pseudonyme d’un groupe. L’équivalent en informatique théorique est Claude Livercy, auteur de la théorie des programmes. Roger Mohr était un des membres de Claude Livercy.

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

Statistiques

Dernière mise à jour

dimanche 24 septembre 2017

Publication

766 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

422 aujourd'hui
860 hier
2100486 depuis le début
29 visiteurs actuellement connectés