Calculs, calculs...

Algorithmes et histoire des mathématiques
jeudi 11 novembre 2010
par  Nathalie CARRIÉ

Un travail d’algorithmique et d’histoire des mathématiques a été donné en début d’année (3 septembre 2010). Le point de départ était un TP de l’IREM de Strasbourg, Première S, collection ISTRA :
PNG

Le sujet du travail à faire
20100910 AlgorithmesTravailDeGroupe1 600px
20100910 AlgorithmesTravailDeGroupe2 600px
20100910 AlgorithmesTravailDeGroupe3 600px

Calculs, calculs

A/ Calcul de E

L’expression à calculer : 9*10864^4-18817^4+2*18817^2

- Calcul avec bc
CalculAvecBc {PNG}

- Calcul avec un javascript dans CarMetal
CalculAvecCarMetal1 600px {PNG}

- Calcul avec gp
CalculAvecGp {PNG}

- Calcul avec MagicNumber
CalculAvecMagicNumber {PNG}

- Calcul avec Maxima
CalculAvecMaxima {PNG}

- Calcul avec Open Office Calc
CalculAvecOpenOffice {PNG}
CalculAvecOpenOffice2 600px {PNG}

- Calcul avec Processing
CalculAvecProcessing {PNG}

- Calcul avec Google
Calcul sur Google {PNG}

- Calcul avec Python (contribution Alain Busser)
Calcul avec Python

B/ Vocabulaire mathématique

Voir la séance d’exemples en classe.

C/ Calcul exact de E

On pourra voir les calculs faits par les élèves dans les deux exemples fournis dans la conclusion.

D/ Autour des entiers naturels tels que y^2-3*x^2=1 R

Remarquons avec les élèves que si (x,y) est un couple de réels vérifiant (R) avec y positif, alors (x,y) se trouve sur cette courbe, et les couples d’entiers (x,y) s’éloignent de plus en plus. Cela peut se voir dans CarMetal avec un simple roulement de molette pour zoomer.

PNG - 21 ko
3x2Plus1
PNG - 88.5 ko
3x2Plus1b Rendu QtiPlot

E/ Point d’histoire
 [1]

- Equation Diophantienne
- Qui est Diophante ?
- Equation de Pell-Fermat
- Théorème de Fermat, son histoire
- Qui est Fermat ?
- Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien ?
Ce sont les triplets d’entiers naturels de la forme (x,y,z) avec z^2=y^2+x^2.
- Il n’existe qu’un unique triplet pythagoricien d’entiers naturels consécutifs :
Posons y=x+1 et z=x+2
On a alors (x+2)^2=(x+1)^2+x^2, équation qui conduit à une équation du second degré dont l’unique solution positive est x=3.
Le seul triplet pythagoricien d’entiers naturels consécutifs est donc : (3,4,5).

F/ Algorithmique

- Script du calcul de l’expression avec CarMetal
ScriptCalculExpression

- Calcul des couples (x’, y’) de nombres de plus en plus grands vérifiant (R)
xyx y 1

x et y de plus en plus grands avec CarMetal

for (x=1; x<10000; x=x+1){
                y=Math.sqrt(1+3*x*x);
                if (y-Math.round(y)==0){
                        x1=2*x*y; y1=3*x*x+y*y;
                        Println("x= "+x+" y= "+y+" x'= "+x1+" y'= "+y1);
                }

}

Cela donne avec la coloration syntaxique d’un bon éditeur de textes :

xEtyDePlusEnPlusGrandsAvecCarMetal1

Avec Processing

int x=0; float y=0; int yy;
int x1=0, y1=0;

for(x=1; x < 10000; x++) {

 y=1+3*x*x;
 y=sqrt(y);
 
 if (y - round(y) == 0) {
   yy=int(y);
   x1=2*x*yy;  y1=3*x*x+yy*yy;
   println("x = "+x+" y= "+ yy +"     "+ " x' = 2xy = "+ x1 + " y'= 3x^2+y^2 = "+y1);
 }

}

Cela donne avec la coloration syntaxique d’un bon éditeur de textes :

Avec la calculatrice TI82

:For(X,1,100)
1+3*X^2→X
√(Y)→Y
If (Y-int(Y)=0)
Then
2*X*Y→Z
3*X^2+Y^2→T
Disp "X = ",X," Y= ",Y," Z =",Z," T =",T
End
End

xEtyDePlusEnPlusGrandsAvecLaTI82


- Les triplets pythagoriciens (rendu QtiPlot (logiciel d’analyse et de visualisation de données)).

TripletsPythagoriciens800px {PNG}

Avec CarMetal

Triplets Pythagoriciens avec boucle for simple :

for (x=1; x<100; x=x+1){
        for (y=x; y100; y=y+1){
                z=Math.sqrt(x*x+y*y);
                if (z-Math.round(z)==0){
                        Println("x= "+x+" y= "+y+" z= "+Math.round(z));
                } else {

                }       
        }
}

Triplets Pythagoriciens avec départ de boucle aléatoire en y :

for (x=1; x<100; x=x+1){
        x=Math.round(Math.random()*100)+1;
        for (y=x; y<x+100; y=y+1){
                z=Math.sqrt(x*x+y*y);
                if (z-Math.round(z)==0){
                        Println("x= "+x+" y= "+y+" z= "+Math.round(z));
                } else {

                }       
        }
}

Cela donne avec la coloration syntaxique d’un bon éditeur de textes :

PNG - 18.6 ko
TripletsPythagoriciens
PNG - 15.8 ko
TripletsPythagoriciensAvecBoucleForSimple

On obtient par exemple :

x= 95 y= 168 z= 193
x= 65 y= 72 z= 97
x= 65 y= 156 z= 169
x= 5 y= 12 z= 13
x= 48 y= 55 z= 73
x= 48 y= 64 z= 80
x= 48 y= 90 z= 102
x= 48 y= 140 z= 148
x= 36 y= 48 z= 60
x= 36 y= 77 z= 85
x= 36 y= 105 z= 111
x= 40 y= 42 z= 58
x= 40 y= 75 z= 85
x= 40 y= 96 z= 104
x= 40 y= 42 z= 58
x= 40 y= 75 z= 85
x= 40 y= 96 z= 104
x= 96 y= 110 z= 146
x= 96 y= 128 z= 160
x= 96 y= 180 z= 204
x= 50 y= 120 z= 130
x= 42 y= 56 z= 70
x= 87 y= 116 z= 145
x= 96 y= 110 z= 146
x= 96 y= 128 z= 160
x= 96 y= 180 z= 204
x= 78 y= 104 z= 130
x= 78 y= 160 z= 178
x= 13 y= 84 z= 85
x= 8 y= 15 z= 17
x= 25 y= 60 z= 65
x= 69 y= 92 z= 115
x= 39 y= 52 z= 65
x= 39 y= 80 z= 89
x= 40 y= 42 z= 58
x= 40 y= 75 z= 85
x= 40 y= 96 z= 104
x= 5 y= 12 z= 13
x= 66 y= 88 z= 110
x= 66 y= 112 z= 130
x= 40 y= 42 z= 58
x= 40 y= 75 z= 85
x= 40 y= 96 z= 104
x= 16 y= 30 z= 34
x= 16 y= 63 z= 65
x= 28 y= 45 z= 53
x= 28 y= 96 z= 100
x= 93 y= 124 z= 155
x= 69 y= 92 z= 115
x= 16 y= 30 z= 34
x= 16 y= 63 z= 65
x= 69 y= 92 z= 115
x= 7 y= 24 z= 25
x= 8 y= 15 z= 17
x= 22 y= 120 z= 122
x= 99 y= 132 z= 165
x= 99 y= 168 z= 195

Avec Processing

float z=0;

for(int x=1; x < 100; x++) {
 for(int y=x; y < 100; y++) {
 z=x*x+y*y;
 z=sqrt(z);
 if (z - round(z) == 0) {
   println("x = "+x+" y= "+ y + " z = "+int(z));
 }
}
}
 

Triplets Pythagoriciens avec départ de boucle aléatoire en y :

int x=0, y=0;
float z=0;


for(int i=0; i < 100; i++) {
 x=int(random(1,1000));
 for(y=x; y < x+100; y++) {
 z=x*x+y*y;
 z=sqrt(z);
 
 if (z - round(z) == 0) {
   println("x = "+x+" y= "+ y + " z = "+int(z));
 }
}
}
PNG - 10.1 ko
Triplets PythagoriciensAvecBoucleFor
PNG - 11 ko
Triplets PythagoriciensAvecChoixAleatoireDex

Avec Scratch

GIF - 16.5 ko
TripletsPythagoriciens
GIF - 22.2 ko
TripletsPythagoriciens2

On peut voir le programme tourner sur le site de Scratch.

Avec la calculatrice TI82

:For(X,1,100)
For(Y,X,100)
X*X+Y*Y→Z
√(Z)→Z
If (Z-int(Z)=0)
Then
Disp "X = ",X," Y= ",Y," Z =",Z
End
End
PNG - 108.6 ko
TripletsPythagoriciensCodeTI82
PNG - 88.1 ko
TripletsPythagoriciensxAleatoireCodeTI82


Conclusion

Le TP était riche et a permis d’aborder beaucoup de sujets passionnants.
Les élèves ont largement répondu aux attentes de ce travail de groupe, pour lequel ils ont eu presque deux mois de délai (ils l’ont rendu le 25 octobre, le sujet ayant été distribué le 3 septembre).
Un groupe d’élèves (Rachelle, Amandine et Sarah) a fourni un travail remarquable que l’on peut télécharger ici.
Un autre groupe (Khaira, Julie, Alexandre et Soumayyah) a réalisé un travail tout aussi riche et appronfondi, à lire ici.

Le barême était sur 24. Ces deux groupes ont eu 20.

Les élèves dans l’ensemble m’ont surprise par la diversité des calculs effectués.


[1Pour répondre à ces questions, il suffit de se rendre sur Wikipédia


Documents joints

Erreurs d'arrondi
Erreurs d'arrondi
Christian Vassar IUFM de Rouen
Triplets pythagoriciens
Triplets pythagoriciens
avec z comme étiquette sur le graphe
Triplets pythagoriciens
Triplets pythagoriciens
sans étiquette sur le graphe
Fichier Triplets de Pythagore pour QtiPlot
Fichier Triplets de Pythagore pour QtiPlot
Fichiers binaires TI82
Fichiers binaires TI82
Triplets pythagoriciens code Scratch
Triplets pythagoriciens code Scratch
Triplets pythagoriciens avec affichage code (...)
Triplets pythagoriciens avec affichage code (...)
Triplets pythagoriciens : les sources (...)
Triplets pythagoriciens : les sources (...)

Commentaires

Logo de debimax
samedi 5 février 2011 à 11h55 - par  debimax

Regarde l’aide mémoire que je me suis fait http://megamaths.free.fr/pdf/aideme... (pour le tex http://megamaths.free.fr/pdf/aideme...)

J’aime bien R-cran voici une de mes activités pour le cours en tes ou ts sur les test à l’équation à une loi équirépartie http://megamaths.free.fr/pdf/adequa...
Tu pourras voir la difféerence entre R-cran et xcas(je débutais avec xcas)

Sinon, pour revenir à cette page je trouve cela intéressant.

Logo de Alain BUSSER
vendredi 19 novembre 2010 à 07h16 - par  Alain BUSSER

« il me semble qu’il pourrait rendre d’intéressants services pour la mise en œuvre des algorithmes » :

Question : Est-ce R-Cran possède des boucles à condition d’arrêt ? Parce que si oui, c’est effectivement un outil très intéressant pour l’algorithmique...

Logo de Hubert Raymondaud
mercredi 17 novembre 2010 à 12h53 - par  Hubert Raymondaud

Très intéressant... Un bon éventail d’outils informatiques sont présentés. J’utilise aussi et de plus en plus R (voir l’IREM de Lyon), pour les statistiques, mais il me semble qu’il pourrait rendre d’intéressants services pour la mise en œuvre des algorithmes...

Plus pratiquement le document « http://www.reunion.iufm.fr/recherch...;» a certaines images qui sont décentrées et dont il manque une partie .... Est-il possible d’y remédier ?

Je n’ai rien trouvé dans les archives « TripletsPythagoriciens.sb.zip » et « TripletsPythagoriciensAvecAffichage.sb.zip » ???

Bien cordialement
Hubert Raymondaud (de la CII proba-stat)

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6


Brèves

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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