Des anaglyphes pour les première et terminale S

dimanche 26 avril 2009
par  Alain BUSSER

Ces figures peuvent être montrées lors de séances de cours ou de corrigé d’exercice en classes scientifique de lycée. On en télécharge une en cliquant dessus, et on l’ouvre dans CaRMetal...

Algèbre et barycentres

Celui-ci est magique : Un puzzle reconstituant un cube, qui montre le produit remarquable (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 :

CarMetal - 323.6 ko
produit remarquable

Ici on déplace dans l’espace un point G, avec des curseurs correspondant à ses coordonnées ; on voit alors le vecteur \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}, ce qui permet de trouver l’unique position de G qui annule ce vecteur, et de vérifier qu’alors A, B, C et G sont coplanaires : On est passé à un problème de géométrie plane. On remarque que pour déplacer G, on manipule des curseurs, ce qui ne serait pas le cas dans un vrai logiciel de géométrie dans l’espace (avec une interface Wii ?) ; existe-t-il un vrai logiciel de GD dans l’espace ?

CarMetal - 37.1 ko
centre de gravité du triangle

Ensuite (terminale S) on vérifie que l’ensemble des barycentres des sommets d’un tétraèdre à coefficients positifs est l’intérieur du tétraèdre (les curseurs servent à modifier les coefficients barycentriques) :

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barycentres de 4 points

Enseignement de spécialité en terminale S

Sont au programme, les sections de cônes et de cylindres par des plans parallèles aux axes de coordonnées. Alors on commence par les sections d’un cylindre par des plans parallèles à son axe :

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plan et cylindre 2

puis par des plans perpendiculaires à son axe :

CarMetal - 102.9 ko
plan et cylindre 1

Ensuite des sections d’un cône par des plans perpendiculaires à son axe :

CarMetal - 92.3 ko
cone et plan 1

et par des plans parallèles à son axe ; seule une partie du cône est dessinée mais l’hyperbole est complète :

CarMetal - 90.1 ko
cone et plan 2

Il serait dommage bien que ce ne soit pas au programme de ne pas évoquer les sections d’un cône par des plans de direction quelconque : Ici le curseur ne déplace plus le plan parallèlement à lui-même mais le fait tourner, montrant moultes ellipses et même une parabole en visant bien :

CarMetal - 90 ko
coniques

sujets du bac S

Bac S Réunion 2005

L’un des exercices de ce sujet étrange portait sur un tétraèdre orthocentrique, alors en voici un :

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Réunion 2005

Bac S Pondichery 2008

Cette fois-ci c’est le tétraèdre équifacial qui est à l’honneur. Tout d’abord, on demandait de montrer que dans tout tétraèdre, les médianes (droites joignant les milieux de deux arêtes opposées) sont concourantes. La démonstration basée sur l’associativité des barycentres, ne nécéssite pas de « voir » la figure. On constate la difficulté de dessiner des droites en anaglyphes. Ce phénomène est dû à la profondeur de champ trop grande donc irréelle :

CarMetal - 37.8 ko
Pondichery 2008 a

Les deux questions suivantes portent sur un tétraèdre équifacial. Dans celle-ci on demandait de montrer que les médianes sont perpendiculaires entre elles :

CarMetal - 38.7 ko
Ponichery 2008 b

Puis dans celle-ci que les médianes sont perpendiculaires aux côtés (dans un tétraèdre équifacial) :

CarMetal - 39.6 ko
Ponichery 2008 c

S Amérique du Sud Novembre 2004

Juste un exemple pour montrer la puissance d’Euler Math Toolbox pour représenter le volume obtenu en faisant tourner la représentation graphique d’une fonction autour de l’axe des abscisses. Ici il s’agit du volume obtenu par rotation de la fonction définie sur \left[ 1 ; e \right] par x \mapsto 1-ln(x) :

Le fichier Euler pour créer ceci est particulièrement facile à créer ; il s’agit en l’occurence de la première ligne du fichier (téléchargeable ci-dessous [1]) :

>plot3d("1-log(x)",xmin=1,xmax=%e,rotate=1,frame=0,hue=1,anaglyph=1,user=1);

>plot3d("1-log(round(x,1))",xmin=1,xmax=%e,rotate=1,frame=0,hue=1,anaglyph=1,user=1);

>

Si on enlève « frame=0 », on obtient un pavé autour du volume. Le mieux sous Euler est d’ajouter « user=1 » pour faire tourner le volume à l’aide des flèches du pavé.

On peut aussi remplacer « 1-log(x) » [2] par « 1-log(round(x,1)) » (comme ça a été fait pour la deuxième ligne du fichier ci-dessus) pour remplacer la fonction par son arrondi à une décimale près et obtenir l’approximation suivante du volume par une réunion de cylindres :

Alors, si la hauteur de chaque cylindre est dx et le rayon de chacun 1-ln(x) alors le volume de chaque cylindre est \pi\left(1-ln(x)\right)^2dx et ainsi, le volume total est

\displaystyle\int_1^e \pi\left(1-ln(x)\right)^2dx=\pi\int_0^e\left(1-ln(x)\right)^2dx,

formule qui était rappelée dans l’énoncé du bac.

Souvent les élèves de terminale S se plaignent de ne pas bien « voir » dans l’espace (ce qui est inutile dans cette classe puisque la géométrie dans l’espace y est uniquement analytique). Puissent ces figures les y aider...

Remarque : En téléchargeant les figures, et en les ouvrant avec CarMetal, on peut modifier le paramètre « e » qui est caché en haut à gauche : L’agrandir si l’image est trop double, et le diminuer si elle est trop plate.


[1Apparemment il faut remplacer son extension « bin » par « en » pour qu’il soit reconnu directement par Euler ; rappelons que ce merveilleux logiciel ne tourne hélas que sous windows...

[2On remarque que dans Euler, le logarithme népérien se note « log »


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Binary Data - 168 octets
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Brèves

DGPad à Limoges

mercredi 19 avril

L’IREM de Limoges a réussi à inscrire au P.A.F. une journée de présentation de DGPad ; la tortue y a eu un franc succès. Voici le compte-rendu. Il y a des ressources à réinvestir en classe, n’hésitez pas à y puiser !

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

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