Ah ! Faire enfin de la géométrie avec des pinceaux !

Explorer la géométrie hyperbolique de manière originale
lundi 18 juillet 2011
par  Yves MARTIN

En se donnant comme propos initial de détailler le fonctionnement et l’intérêt d’une nouvelle ligne d’outils hyperboliques apparue depuis la version 3.6.5 de CaRMetal, cet article va être l’occasion d’aborder de manière plus approfondie la notion de pinceaux, dans une première partie de manière opérationnelle, en l’explorant avec CaRMetal, puis, dans un second temps, d’un point de vue théorique en présentant l’axiomatique de Bachmann qui sous-tend cette approche.

Le précédent article sur l’implémentation de la géométrie hyperbolique dans CaRMetal, s’il présentait les premiers objets fondamentaux de la géométrie, était aussi centré sur leur découverte dans un contexte d’investigation, avec comme objectif de montrer, in vivo, à de futurs enseignants la difficulté que ressentent les élèves de collège face à la démarche hypothético-déductive.

En conséquence, même si nous avons démontré un premier théorème absolu, à la manière de ce qui se fait en collège, nous n’avons pas véritablement abordé de constructions significatives dans cette géométrie. Par ailleurs nous avons abordé - essentiellement de manière opérationnelle - la notion de pinceau de droites. C’est surtout cette notion que nous allons développer ici, mais cette fois-ci de deux points de vue, d’un point de vue que l’on pourrait qualifier encore du monde sensible, par manipulation dans le modèle hyperbolique, puis d’un point de vue théorique et axiomatique.

Les choix de la présentation

Ce choix d’une approche d’abord expérimentale, même si elle construit de bonnes représentations des objets en jeu, peut ne pas satisfaire certains lecteurs. Ce choix s’inscrit pourtant dans une logique historique de ce que Gonseth a appelé une double axiomatisation.

Ce paragraphe reprend partiellement et développe une réflexion déjà proposée il y a quelques années sur le thème interprétations et modèles, et plus spécifiquement la partie 5 de cet article.

Extrait de Ferdinand Gonseth


« S’il [Le géométrique] naît de l’intuitif par un acte de schématisation qui est déjà une axiomatisation, il est ensuite axiomatisé par ce nouvel acte de schématisation qui en dégage la structure logique profonde. Autant dans le premier acte que dans le deuxième, l’abstraction comporte une perte de détermination et de capacité représentative de la totalité, qui est en même temps un gain de capacité représentative d’un ou plusieurs aspects du concret. Le deuxième acte est en particulier marqué par une perte de substance des notions mathématiques dégagées lors du premier acte, une perte de « tout ce qui rappelle leur signification dans le monde des phénomènes directement perçus par nos sens ». Dans la double axiomatisation dont surgit la géométrie axiomatique, la première conserve ainsi les formes particulières des phénomènes, tandis que la deuxième ne conserve que la structure logique des rapports entre ces formes. Pourtant ce qui reste de particulier après la première axiomatisation « consiste avant tout dans le souvenir des réalisations où les notions ont été primitivement aperçues » de sorte que, si « l’idée du géométrique a sa source dans l’intuitif, […] sa sphère d’existence spécifique est comprise entre la première axiomatisation qui lui faisait un visage abstrait face au côté intuitif de notre connaissance et la seconde qui en fait un concret face au côté purement logique ».

Extrait de l’ouvrage « Les philosophes et les mathématiques », ouvrage collectif coordonné par É. Barbin et M. Caveing – Ellipses & IREM – 1996 p 270. Les citation de Gonseth sont celles de son ouvrage « Les mathématiques et la réalité. Essai sur l’axiomatique ». Paris – Alcan – 1936.


Comme enseignant, formateur d’enseignants du premier et second degré, cette description de la double axiomatisation est très parlante aussi bien à l’école primaire qu’en formation des enseignants.

La question soulevée est celle de du passage (et plus exactement de la circulation permanente) entre d’une part la voie effective de la découverte (que Gonseth associe au ratio essendi - la raison d’être, et la voie de la reconstruction formelle, alors associée au ratio cognoscendi - la raison du connaître. Dans ce contexte, la première correspond à la première axiomatisation de Gonseth, et la deuxième à la seconde axiomatisation, et ceci, à tous les niveaux de l’apprentissage.

En effet, à l’école primaire, la première axiomatisation associée à cette ratio essendi se fait dans les attitudes de dépersonnalisation et de décontextualisation de ces découvertes, dès le cycle 2 (CP-CE1) éventuellement, alors que la seconde axiomatisation à ce niveau scolaire, se fait (au cycle 3, en particulier au CM1-CM2) dans la conceptualisation des objets géométriques associés (parallélisme, orthogonalité, le rectangle, le carré comme cas particulier du rectangle alors qu’avant il s’agissait de deux formes différentes).

Au collège, la description de manière conceptuelle d’activités du monde sensible (pliage et autres exercices sur les symétries, les relations entre parallélisme et orthogonalité), avec un vocabulaire géométrique précis, relève d’une démarche de première axiomatisation, dès la classe de 6e. Le passage à la démarche hypothético-déductive de la fin du collège s’inscrit dans une seconde axiomatisation puisque l’on travaille sur les relations mathématiques entre les objets construits sur la première.

En formation des enseignants, outre l’expérience personnelle de chaque étudiant dans cette circulation entre les deux niveaux, d’une manière plus institutionnelle, la première axiomatisation se place dans l’apprentissage de gestes professionnels pour la présentation de la géométrie au collège avec ses propres outils (les leçons de préparation à l’oral du CAPES par exemple en sont une bonne illustration), alors que la formation mathématique initiale des étudiants, véritable ratio cognoscendi de leur vécu géométrique avec l’intégration des structures algébriques et vectorielles en est une seconde axiomatisation, et correspond à la demande institutionnelle pour la partie écrite du concours.

Nous allons faire un peu la même chose dans cet article : une première partie d’exploration mathématique dans le modèle de Poincaré de la géométrie hyperbolique, et plus particulièrement des pinceaux, ce sera notre première axiomatisation, et une seconde partie qui, par une algébrisation complète de ce qui vient d’être présenté, en sera une seconde axiomatisation.

C’est aussi, comme formateur, parce que cette seconde axiomatisation est si aboutie, si formellement belle, que j’ai choisi de l’introduire de manière opérationnelle, en manipulant d’abord les concepts en jeu, afin de construire de bonnes images mentales préalables - en tout cas hyperboliques sinon génériques - qui permettront d’accompagner cette présentation et d’entrer probablement plus facilement dans l’axiomatique de Bachmann, pour celles et ceux que cette seconde partie intéressera.

Aller directement à la partie 2 (pour la reconstruction formelle de la géométrie plane)

Première partie - Exploration des pinceaux dans un modèle hyperbolique

Nous reprenons notre approche empirique des pinceaux de droites. Dans le précédent article nous avions vu qu’il y avait deux notions, celle de « trois droites en pinceau » - ce sera le cas des droites « remarquables » d’un triangle - et celles des « pinceaux de droites » et que nous jouions, dans le discours mathématique, sur les relations implicites entre les deux notions.

Trois droites sont en pinceau si elles ont quelque chose en commun, à savoir - nous sommes dans la voie de la découverte - un point hyperbolique, une perpendiculaire, ou un point idéal.

Comme c’est présenté,
- c’est indépendant de l’ordre des droites,
- les trois types de pinceau associés sont (empiriquement/implicitement) disjoints, alors que c’est au cœur même de la spécificité hyperbolique que de séparer les pinceaux à axe des pinceaux sans support.

Deux droites a et b définissent le pinceau P(ab)  : c’est l’ensemble des droites c telles que a, b, et c sont en pinceau. Le pinceau est noté P(ab) car il ne dépend que du produit des droites.

Si a et b
- sont sécantes : on parle de pinceau à centre,
- ont une perpendiculaire commune : on parle de pinceau à axe,
- ont un point idéal commun : on parle de pinceau sans support (car le support n’appartient pas à la géométrie).

On pourrait constater - se fera dans l’introduction à la seconde partie - que la composée des symétries orthogonales de trois droites en pinceau est une symétrie orthogonale (ce qui sera à la fois la définition théorique des droites en pinceau et l’essentiel des axiomes de tri-réflexions de Bachmann) et que c’est une droite du pinceau (ce sera un théorème).

Plus implicite, car jamais vraiment formalisé dans cette phase de première axiomatisation, est le statut de représentant du pinceau de la paire des deux droites a et b. Autrement dit le fait que si u et v sont deux droites de P(ab), alors P(uv) = P(ab). Cette partie là est non triviale à montrer dans le cas général, ce sera le théorème de transitivité.

Organisation des onglets de cette première partie

6 outils : description de la nouvelle ligne d’outils de CaRMetal, avec mise en œuvre, réflexions empiriques (de première axiomatisation) et applications immédiates.
Triangle orthique : c’est l’occasion d’illustrer (sera démontré dans la deuxième partie) que certaines propriétés élémentaires que l’on démontre généralement avec de la trigonométrie dans le contexte euclidien sont en fait générales aux trois géométries de base.
Bissectrices : ce sont les « droites remarquables » les plus délicates. En particulier pour les trilatères, elles existent mais ne sont pas nécessairement en pinceaux. Des propriétés spécifiques seront examinées, et certaines seront montrées ensuite dans le cadre théorique.
• La propriété de Gergonne et la
• Construction de Malffati seront illustrées dans le cas général des trilatères, en particulier « Malfatti » se construira par une lecture « absolue » et « en pinceaux » de la construction euclidienne. Cette construction sera l’occasion d’aborder la question de la « désorientation » des figures continues mais orientées.

Les 6 outils

Six outils sur les pinceaux (à partir de CaRMetal 3.6.5)

La nouvelle palette des constructions hyperboliques est désormais celle-ci :

plus précisément, elle s’est enrichie d’une nouvelle ligne (la 6°) avec des icônes un peu ésotériques, sur les pinceaux, dans une représentation euclidienne conforme à la palette et à l’esprit du logiciel. En pratique, les petites croix sont en fait deux droites qui représentent un pinceau.

Les bulles de commentaires rendent les choses au début plus explicites, et ensuite à l’utilisation, cela devient très clair. Pour une première lecture, dans les présentations des outils, nous avons placé une illustration dans le contexte du modèle du disque de Poincaré.


La présentation de cet onglet détaille chaque outil, propose éventuellement une première réflexion quant à son objet. Cette réflexion peut par exemple chercher à justifier (ou discuter) l’existence dans tous les cas de pinceaux possibles (ce qui correspond à la phase de première axiomatisation) alors que l’outil lui-même est clairement construit autrement : sa construction, ne pouvant être impliquée par la typologie des pinceau, utilise d’autres considérations qui peuvent être théoriques et/ou liées au modèle hyperbolique utilisé. Parfois, pour aider à construire de bonnes représentations, une première réflexion sur l’existence de l’objet produit est proposée.

Droite d’un pinceau passant par un point


Étant données un pinceau (représenté par deux droites) et un point, cet outil construit la droite du pinceau passant le point. Voyons que la droite existe toujours et qu’elle est unique. En effet, si le pinceau est
- à centre, la droite existe, et elle est unique, c’est même un axiome d’incidence minimal : par deux points distincts il passe une droite et une seule.
- à axe, il passe par ce point une perpendiculaire (unique) à cette droite (l’axe) donc la droite existe et est unique.
- sans support : dans notre modèle, cela veut dire que les deux droites passent par un même point idéal I : il est alors facile de construire la droite hyperbolique passant par I et le point donné.

On voit donc bien qu’en déclinant chaque types de pinceau, cette droite existe et est unique.

Mais ce raisonnement relève à la fois du monde sensible hyperbolique mais aussi de sa modélisation. Il invite donc à deux remarques :

- le cas « sans support » n’est réglé que dans le modèle, il n’est pas du tout abordé dans le cadre de la géométrie hyperbolique. Ainsi, Bolyaï ou Lobatchevsky, dans leurs constructions de la géométrie hyperboliques, ont dû, pour leur raisonnement général, proposer des construction internes à la géométrie hyperbolique - avant toute pensée même qu’il puisse exister un modèle euclidien de cette géométrie - pour construire la demi-droite passant par un point et parallèle à deux demi droites parallèles données. (On comprend bien qu’ils devaient travailler sur les demi-droites car une droite a deux extrémités, et c’est pour cela que par un point il passe deux parallèles à une droite donnée : une demi-droite par extrémité.

- le cas « à axe » s’il est naturel est lui aussi traité avec un peu de rapidité : on suppose - on veut - que dans cette géométrie là, par un point il passe une, et une seule, perpendiculaire à une droite donnée. Cela sera montré, mais ce n’est en rien une évidence. Il existe des géométries non euclidiennes, qui comme l’hyperbolique ne sont différentes de l’euclidienne que par un seul axiome mais dans laquelle pour chaque droite (sauf cas particulier) il existe une partie du plan telle que d’aucun point de cette partie on ne peut mener de perpendiculaire à cette droite. C’est le cas du plan de Moulton, l’exemple minimal archétypique de la géométrie non arguésienne : figures en manipulation directe et définitions détaillées dans cette page (à ouvrir dans un nouvel onglet).

Comme il y a la construction d’une droite unique, c’est un premier outil « règle droite pinceau » qui est proposé là. On comprend bien que c’est un cas particulier de l’outil de la troisième icône qui va être une« règle pinceau-pinceau ». Mais ce cas particulier est important, d’une part parce qu’on peut toujours construire la droite, d’autre part, on va peu à peu le comprendre, l’existence d’un point, dans le monde des pinceaux, est toujours source de richesse et de simplification ...

Produit de trois droites en pinceau


Le fait que trois droites soient en pinceau est une propriété significative dans le contexte qui nous occupe. On a vu par exemple, dans le précédent article consacré aux premiers outils hyperboliques, que c’est le cas de toutes les droites remarquables d’un triangle. Ici on s’intéresse au produit. Qu’est-ce que le produit de trois droites ?

C’est l’occasion, comme on le disait dans l’introduction, de circuler entre les deux niveaux d’axiomatisation. Le terme produit nous propulse effectivement dans une structure algébrique alors que nous parlons de droites, donc des objets premiers d’une géométrie. L’objet algébrique associé à la droite est la symétrie orthogonale associée à cette droite. Le produit de trois droites signifie donc, d’un point de vue algébrique, la composée de ces symétries orthogonales. La seconde axiomatisation va être fondamentalement algébrique, ses objets premiers seront des éléments d’un groupe, et plus particulièrement des éléments d’ordre 2. Aussi ces outils du logiciel sont l’occasion de voir que tout en manipulant des objets de la première axiomatisation - des droites dans un modèle - on peut en même temps travailler dans un autre niveau de vocabulaire et de structure.

Qu’est-ce que le produit de 3 droites en pinceau ? C’est une droite - c’est même la définition initiale d’être en pinceau - et c’est ce que rend cet outil. Ce sera un axiome pour les pinceaux à centre et à axe, et ce sera une conséquence pour les autres pinceaux.

Puisque les droites correspondent à des symétries orthogonales, d’un point de vue algébriques, ce sont des éléments d’ordre 2, donc égaux à leur inverse. autrement dit, faire le produit abc ou le produit cba donne le même résultat car le second est l’inverse du premier, chaque élément étant son propre inverse :

(abc)^{-1} = c^{-1}b^{-1}a^{-1} = cba

C’est ce qu’on illustre dans la figure suivante en construisant le produit (rouge) des deux droites bleues (a et c) et de la droite cyan (b). La macro s’applique ainsi : on montre les droites dans l’ordre a, b, c, pour faire le produit abc. On notera aussi que la droite verte a été obtenue par l’outil précédent.

On voit que le produit des trois droites en pinceau est une droite du même pinceau. Ce sera une conséquence des axiomes.

Bien entendu, les autres ordres que l’inverse produisent d’autres droites, voici par exemple les autres permutations circulaires sur a, b, et c.

Sur cette figure, il semble que des droites soient des bissectrices d’autres droites. Par exemple on voit clairement que a est bissectrice de bca et abc. On voit moins que c est bissectrice de abc et cab mais pour des raisons de symétrie, on imagine bien que c’est le cas. Reste b qui est - ne peut être que - bissectrices des droites bca et cab.

Remarque : pour le vérifier expérimentalement, on pourrait rendre le pinceau défini par les droites a et b à centre et utiliser les mesures des angles.

On peut tenter de poursuivre cette circulation entre les deux niveaux d’axiomatisation, mais si le lecteur a envie de ne pas suivre, c’est sans incidence pour la suite de la présentation des outils. (bloc suivant éventuellement réservé à une seconde lecture)

D’un point de vue algébrique, quelle est l’action d’une droite sur une droite ?

On vient de dire que que a est bissectrice de bca et abc, autrement dit : s_a(abc) = cba , mais comment s’exprime, algébriquement, cette action géométrique de la symétrie s_a ?

On peut remarquer a(abc)a = bca. Et de même pour les autres bissectrices c(abc) c = cab et encore b(bca)b = cab.

Autrement dit, comme les droites sont égales à leur inverse, on voit que l’action d’une droite sur un objet est la conjugaison. Ou plus exactement, si la transformation géométrique d’une isométrie s’exprime comme la conjugaison dans le groupe des transformations (il reste encore de nombreuses choses à préciser), alors les propriétés de bissectrices des droites évoquées plus haut sont montrées simplement par les relations précédentes.

Or voyons que c’est bien le cas, déjà dans le cas euclidien : si A'=s_d(A) alors A'=dAd=dAd^{-1}.
Pour cela regardons (géométriquement) l’image d’un point M par les deux transformations :

Ainsi une algébrisation ultime de la géométrie, où les objets premiers de la géométrie vont être des objets algébriques (éléments d’un groupe) va pouvoir s’exprimer en utilisant comme action des isométries, l’action de groupe la plus simple qui soit : la conjugaison.

On peut comprendre un peu mieux, avec ce simple exemple de l’expression algébrique de l’image d’un point par une symétrie, le fossé qu’il peut y avoir entre un niveau d’axiomatisation et le suivant, et la difficulté que peut rencontrer un élève ou un étudiant à suivre son enseignant, à quelque niveau d’enseignement qu’il soit, du CE1 à la licence, qui circulerait sans précaution d’un niveau à l’autre alors que cette circulation là est souvent l’objectif même de son enseignement.

Intersection de deux pinceaux


Même si le second outil est plus conceptuel dans sa présentation, les deux premiers outils déjà vus ont ceci de commun qu’ils produisent une droite qui existe toujours. Nous abordons maintenant deux nouveaux outils qui vont encore produire une droite mais qui pourra ne pas exister dans certains cas particuliers

L’intersection de deux pinceaux P(a,b) et P(c,d) est une droite qui appartient aux deux. Il y a six cas de figure :
- les deux pinceaux sont à centre, la droite existe et elle est unique, c’est un axiome d’incidence.
- les deux pinceaux sont à axe : la seule droite possible est la perpendiculaire commune aux deux axes de ces pinceaux.
- les deux pinceaux sont sans support : il y a deux points idéaux : il existe une unique droite ayant ces deux points idéaux.

Ces trois premiers cas sont illustrés dans le montage suivant :

Reste trois cas :

- un pinceau est à centre , l’autre à axe : c’est l’existence d’une perpendiculaire à une droite issue d’un point donné.
- un pinceau est à centre, l’autre sans support : c’est l’existence d’une droite appartenant à un pinceau issue d’un point donné (traité dans le premier outil)
- un pinceau est à axe l’autre sans support : c’est d’une part, sur un cas particulier (axe), l’extension du premier outil au cas où le point est à l’infini. Mais c’est aussi l’existence d’une perpendiculaire à une droite donnée ayant une direction donnée à l’infini, ce qui est assez éloigné des représentations euclidiennes.

Les cas particuliers où la droite des pinceaux n’existe pas

Le cas particulier le plus courant est celui où les pinceaux sont tous les deux à axe. La droite d’intersection des deux pinceaux (qui est alors la perpendiculaire commune aux deux axes) ne peux exister que si les deux axes ne sont ni parallèles ni sécants :

À gauche les axes ont une perpendiculaire commune, la droite cherchée, au centre les axes deviennent parallèles,
puis à droite ils sont sécants. Dans ces deux cas là, il n’y a pas de droite solution.


Un autre cas particulier est plus anecdotique. C’est celui où un pinceau - disons P(a,b) - est sans support, et l’autre est à axe avec cet axe appartenant à P(a, b).

Utilisation effective

Cet outil s’utilise en cliquant d’abord sur les deux droites représentant le premier pinceau puis les deux droites représentant le second pinceau.

Comme le premier outil, celui-ci est encore une extension du concept de règle : il créé, quand elle existe, la droite passant par deux pinceaux donnés.

Et la nuance avec le premier outil est d’importance : avec un point, cette droite existe toujours, sans point, elle peut ne pas exister. Cette nuance sera toujours présente dans toutes les figures : dans la géométrie des faisceaux, la présence d’un point est une donnée précieuse en soi : elle assure souvent une existence.

Note pratique : dans une construction complexe, même si on sait que deux pinceaux sont à centre, il est parfois plus judicieux d’utiliser cet outil d’intersection de deux pinceaux que la simple droite passant par deux points.

Perpendiculaire à une droite issue d’un pinceau


La perpendiculaire à une droite issue d’un pinceau peut être vue de deux façons différentes, soit :
- comme une extension de la notion de perpendiculaire à une droite issue d’un point, ce point matérialisant un pinceau à centre.
- comme un cas particulier de l’intersection de deux pinceaux, l’un d’eux - celui qui est représenté par la droite - étant toujours à axe (son axe étant cette droite).

Pour utiliser cet outil, on montre d’abord les deux droites représentant le pinceau (en bleu), puis la droite (verte)


Cas où la perpendiculaire n’existe pas

Dans la seconde présentation, on vient de voir à l’outil précédent que si le pinceau est à axe, la perpendiculaire peut ne pas exister. En particulier elle n’existe pas si l’axe du pinceau coupe la droite.

Les hauteurs d’un trilatère

On appelle trilatère un ensemble de trois droites qui ne sont pas en pinceau. L’outil perpendiculaire issue d’un pinceau permet de construire le hauteurs. On montre que si les hauteurs d’un trilatère existent, alors elles sont en pinceau. Mais en terme d’existence on peut rencontrer toutes les situations comme par exemple :

À gauche les trois hauteurs (en rouge) sont en pinceau quasiment à point idéal (orthocentre idéal).
On voit que l’axe de P(b,c) est proche de couper la droite a et l’axe de P(a, c) assez proche de la droite b.
À droite ces deux axes coupent les droites respectives et deux hauteurs ne peuvent exister.


Dans l’illustration suivante on a,
- à gauche, le cas usuel d’un trilatère avec ses trois hauteurs en pinceau, de plus ici à centre, et donc avec un orthocentre,
- à droite un trilatère n’ayant aucune hauteur.

Dans l’onglet suivant, on reviendra sur les trilatères ayant leurs trois hauteurs, car dans ce cas il existe des points : les pieds des hauteurs, et donc un triangle intéressant ...

Cycle défini par un pinceau et passant par un point


Cet outil est une illustration de l’extension du de concept de cercle à celui de cycle, comme défini dans l’article précédent sur la géométrie hyperbolique, si le cercle est l’image d’un point par un pinceau à centre.

A partir d’un pinceau (deux droites) et d’un point, on défini ainsi un cycle qui est, géométriquement, un cercle une équidistante ou un horicycle selon que le pinceau soit, respectivement, à centre, à axe ou sans support.

Dans le modèle du disque de Poincaré, c’est un cercle ou un arc de cercle, et pour l’horicycle, un cercle privé d’un point que l’on appelle aussi son centre.

En terme de mise en œuvre, on aborde la question de la limite de l’implémentation dynamique d’un concept abstrait dans un modèle, quand ce concept se représente par deux objets différents.

Étant donné un pinceau (deux droites) et un point, l’outil construit le cycle passant
par le point défini par le pinceau. (La macro construit également l’axe du pinceau s’il existe)


L’illustration précédente peut faire illusion, avec le même nom donné au cycle dans deux configurations de pinceaux différents. En réalité le logiciel construit deux objets différents, le cercle et l’arc de cercle, il n’y a pas unité de la représentation alors qu’il y a unicité du concept mathématique représenté : cycle défini par un pinceau et un point.

C’est un exemple d’une des limites de la représentation dans un modèle, où il faut tenir compte du modèle. En pratique si on prend un point sur objet du cycle, dans sa construction dynamique, ce point n’existera que dans une des configuration.

D’un autre côté, un outil comme le produit de trois droites - avec trois droites du pinceau, donne un objet premier de la géométrie - une droite - qui a souvent une propriété spécifique de la construction, invariante par rapport au type de pinceau, ce qui permet de continuer à faire des figures encore génériques, nous y reviendrons dans les prochains onglets.

Exemple des cycles de pinceau les hauteurs d’un triangle passant par les trois sommets.
a) il n’y a pas à construire l’orthocentre s’il existe
b) au contraire la construction par cet outil est plus générale


Compléments sur les représentations dans les modèles

Le cycle défini par un pinceau et un point, a un rapport différent à l’infini, selon le type de pinceau : selon que le cycle soit à centre, sans support, à axe, il a 0, 1 ou 2 points de contact avec l’infini. En ce sens, la représentation par un cercle ou arc de cercle - dans le modèle qui nous occupe - va correspondre à un cercle sans contact, tangent ou sécant au cercle horizon, en particulier parce que deux cercles distinct ne peuvent avoir deux points de contact.

La représentation dans un autre modèle peut produire une situation plus simple. Par exemple dans le modèle de Klein-Beltrami (KB), les cycles sont représentés par des ellipses qui peuvent être intérieures, tangentes ou bitangentes au cercle horizon : la continuité dynamique de la représentation, d’une certaine façon, serait plus simple dans le modèle KB.


Note technique : on évitera d’utiliser cet outil quand on sait que le pinceaux est explicitement sans support : la construction n’est pas stable (on passe dynamiquement du cercle à l’équidistante).

Bissectrice de deux droites orientées


Ce dernier outil sur les pinceaux est plus long à utiliser. En effet, dans son implémentation, nous avons choisi d’incorporer le traitement de la continuité de la droite produite. On sait que deux droites non sécantes ont un seul axe de symétrie, alors que deux droites sécantes ont deux axes de symétrie. La question se pose donc de la continuité de cette bissectrice quand on passe d’un type de pinceau à l’autre, et de la conservation de cette continuité, tout en respectant le déterminisme de la figure. Or on sait que sur un plan théorique, continuité et déterminisme sont souvent antagonistes - et ils le sont ici. Cela signifie qu’arriver à respecter les deux a nécessairement un prix par ailleurs. C’est ce que nous allons voir rapidement, mais commençons par décrire l’utilisation de cet outil.

Mode d’emploi de l’outil

Dans un premier temps on ne part pas de droites ordinaires, mais de droites orientées (l’outil double flèche de la cinquième ligne). Une droite orientée (AB) renvoie ses points idéaux Ia et Ib qui sont tels que Ia, A, B et Ib sont toujours dans cet ordre. C’est la prise en compte de cet ordre qui permet la continuité de la bissectrice dans la manipulation directe des objets géométriques.

Construction d’une bissectrice orientée de deux droites orientées.
Il faut montrer la droite a, ses points idéaux Ida1, Ida2, la droite b, ses points idéaux Idb1, Idb2
L’outil renvoie une (la) bissectrice, elle aussi orientée


L’orientation de la figure comme prix de la continuité « déterminée »

Puisque les droites sont orientées et que cette orientation est utilisée pour construire la bissectrice, le prix à payer est facile à imaginer (au moins théoriquement), c’est celui d’une figure « orientée ». Une figure orientée ? Voyons cela sur le simple exemple de l’application même de l’outil.

On part, en haut à gauche de l’illustration suivante, de la bissectrice de deux droites en pinceau à axe. On voit au centre que l’on poursuit cette bissectrice quand le pinceau devient à axe.

Alors l’angle croît à partir de l’angle nul (qui correspond au pinceau sans support) et peut dépasser l’angle droit, devenir obtus. La question de la continuité en manipulation directe consiste à maintenir la construction de la même bissectrice comme on le voit à droite et sur l’illustration de gauche de la seconde ligne d’illustrations.

La dernière illustration montre le prix à payer pour cette continuité et ce déterminisme réalisés conjointement : la figure est orientée.

Cela signifie que, dans l’orientation donnée au départ, il n’y a pas de bissectrices des deux droites dans cette configuration (ie avec cette position des points idéaux inversés). Si on veut faire une figure dans ce cas (et on le fera dans l’onglet Malffati pour montrer ce qu’il est possible de faire), il faudra un processus pour inverser l’orientation de l’une des droites.

On voit donc qu’il y a bien un inconvénient à ce choix, mais, après de nombreux tests, il apparaît clairement que, pour la manipulation directe, la transformation d’une figure en figure orientée (qui doit toujours restée présente à l’esprit) est un prix moindre que la non continuité de la bissectrice.

Les bissectrices d’un trilatère

On a vu que les hauteurs pouvaient ne pas exister mais que si elles existent, elles sont en pinceau. Pour les bissectrices c’est différent : les bissectrices existent toujours mais elles sont les seules droites « remarquables » de la géométrie euclidiennes qui peuvent ne pas être en pinceau.

Sur la figure précédente les droites initiales sont bleues, les bissectrices roses, et les perpendiculaires communes des bissectrices vertes prises 2 à 2 : elles sont distinctes, ce qui signifie que les bissectrices ne sont pas en pinceau

En fait il y a une condition suffisante très significative : si deux bissectrices d’un trilatère sont sécantes, alors les trois bissectrices sont nécessairement en pinceau. Là encore, l’existence d’un point est structurant. Mais sans cela, il y a d’autres résultats intermédiaires. Nous y reviendrons plus longuement.

Les onglets suivants vont être l’occasion de mettre en œuvre ces outils.

Haut de la barre d’onglets

Triangle orthique

Propriété absolue du triangle orthique

Dans le cas euclidien, on sait que les hauteurs d’un triangle sont les bissectrices du triangle orthique (du triangle formé par les pieds des hauteurs). Ce résultat se montrait au niveau 1°S - quand il y avait de la géométrie au programme - en particulier en utilisant les lignes trigonométriques,et donc des démarches propres à la géométrie euclidienne.Cela se faisait dans le cas particulier de tous les angles aigus, et alors l’orthocentre est aussi le centre du cercle inscrit au triangle orthique. Dans le cas général cela peut être le centre d’un cercle exinscrit.

PQR est le triangle orthique de ABC. Les hauteurs de ABC sont les bissectrices de PQR
à gauche : H et le centre du cercle inscrit, à droite d’un cercle exinscrit


Que reste-t-il de cette propriété dans le cas hyperbolique ? On se place dans le cas où un trilatère a trois hauteurs. Il y a donc trois « pieds des hauteurs » et donc un triangle orthique.

Une construction de base

Le résultat est absolu : les hauteurs du trilatère sont les bissectrices du triangle orthique.

En voici une première représentation, faite avec l’outil perpendiculaire issue d’un trilatère, tout le reste est fait avec les outils usuels de la géométrie :

Dans cette illustration, on se ramène implicitement au cas euclidien. Mais on imagine bien que les hauteurs peuvent être en pinceau qui n’est pas à centre, le cycle - dans ce cas exinscrit - peut être une équidistante, éventuellement un horicycle.

Une construction par pinceau

Dans ce cas on construit la perpendiculaire à un côté du triangle orthique issue du pinceau des hauteurs par l’outil associé, puis on construit ensuite le cycle construit par pinceau et point.

Dans ce cas, la figure est bien plus générale : le point de contact est construit indépendamment du type de pinceau ainsi que le cycle :

A propos de la preuve

Dans le cas euclidien, il y a de nombreuses preuves de l’existence de l’orthocentre d’un triangle (et donc d’un pinceau à centre des hauteurs). Soit elles utilisent le produit scalaire - d’une façon ou d’une autre - soit encore, pour des versions élémentaires, les médiatrices du triangle double. Elles sont toutes assez simple, dans un contexte d’outils euclidiens.

Dans un contexte absolu, la preuve est nécessairement plus générale et donc fait appel à des propriétés des droites que l’on n’a pas l’habitude d’utiliser. On l’abordera dans la seconde partie de cet article avec une illustration de Bachmann qui montre bien sa propre façon de travailler de manière algébrique sur les figures euclidiennes.

Triangle orthique d’un triangle idéal

En géométrie hyperbolique, trois droites peuvent être deux à deux parallèles, sans être en pinceau. On parlera de triangle idéal : triangle dont les sommets sont trois points idéaux.

Alors le triangle orthique associé est équilatéral (pour des raisons de symétrie évidentes) et il est unique, à isométrie près. En particulier ses côtés ont une mesure bien spécifique :

Une preuve a déjà été rédigée pour la première rencontre de Cabri World en 1999 à Rio. On peut la retrouver sur cette page d’abaCadaBRI dans le modèle de Klein Beltrami (on trouve le double par définition de la métrique). C’est une preuve « dans un modèle ». Une preuve géométrique se ferait avec les fonctions de Lobatchevski ∆ et ∏.

Haut de la barre d’onglets

Bissectrices

Les cycles exinscrits d’un triangle

Un triangle hyperbolique ABC, a des bissectrices intérieures et des bissectrices extérieures. On montre que les trois intérieures sont en pinceau (car deux sont nécessairement sécantes pour des questions d’angle) et donc en pinceau à centre. On montre ensuite - par des propriétés générales des pinceaux - comme dans le cas euclidien, qu’une intérieure et les deux extérieures associées sont aussi en pinceau.

La première partie se fait avec les outils hyperboliques usuels.
En bleu, le triangle ABC, en rose les bissectrices intérieures et en vert, les extérieures.


Puis on utilise les outils spécifiques aux pinceaux

a) à gauche : l’outil « perpendiculaire issue d’un pinceau » avec la droite (BC) produit la droite marron
b) Le point de contact du cycle exinscrit sur (BC) est l’intersection de la droite marron et de la droite (BC)
c) à droite : un point du cycle étant connu, l’outil « cycle défini par un pinceau et un point » termine la construction.


On reproduit la démarche pour les deux autres cycles exinscrits. Après avoir enlevé les perpendiculaires et les points de contact on obtient la figure finale comme ci-dessous, illustrée dans une configuration avec les trois types de cycles exinscrits représentés : il y a un cercle, une équidistante et un horicycle.

Relations entre le cercle inscrit et les cercle exinscrits

Le cercle d’Euler n’existant pas en géométrie hyperbolique, on n’aura pas de théorème de Feureubach. Mais il existe des relations métriques sur les points de contact des cercles inscrits et exinscrits qui sont absolues, en particulier car pouvant s’exprimer par des invariants de composition d’isométries.

Dans l’illustration suivante on s’intéresse aux points de contact des cercles inscrits et exinscrits sur les droites du triangles. Par exemple sur la droite (AC) on a noté I le milieu de A et C, U le point de contact avec le cercle inscrit, E celui du cercle exinscrit opposé à B, puis P et Q les contact des deux autres exinscrits, toujours sur la droite (AC). Alors, comme dans le cas euclidien, le milieu I de A et C est aussi :
- le milieu de E et U, points de contact sur le segment [AC]
- le milieu de P et Q les deux autres points de contact sur (AC) à l’extérieur du segment.

De même sur les autres droites du triangle.

Le résultat supplémentaire dans le cas euclidien est que les 6 points de type U et E sont sur une même conique, de même pour les 6 points de type P et Q, par application du théorème de Carnot.

Quand les bissectrices ne sont pas en pinceau

Il y a d’autres résultats, mais difficiles à montrer. Ils sont donnés à titre culturel.

Quand les bissectrices ne sont pas en pinceau, la perpendiculaire commune à deux bissectrices peut couper la troisième bissectrice en un point (dit « point bissecteur ») des droites associées à la troisième bissectrice.

Alors, quand ils existent, les trois points bissecteurs sont alignés.

Les droites de base sont en bleu, les bissectrices en rose. On a construit les perpendiculaires communes aux bissectrices.
On est dans une configuration où les trois points bissecteurs I, J, K sont alignés. Cette figure illustre qu’ils sont alignés.


Mais il est clair que les points bissecteurs peuvent ne pas exister. Le résultat se prolonge par un résultat de pinceau :

Dans cette figure, on a déplacé la droite b pour faire disparaître le point K. Alors la droite du pinceau qui définissait K, le pinceau P(Bab,axe(Bac,Bbc)), et qui passait par J passe encore par I, ou encore la droite (IJ) appartient au pinceau précédent.

On aura compris que le résultat est un résultat de pinceau : si par exemple on fait disparaître I, le point J appartiendra à l’intersection des deux pinceaux qui définissait I et K.

Dans les deux onglets suivant, on s’intéresse désormais aux trilatères dont les bissectrices sont en pinceau.

Haut de la barre d’onglets

Gergonne

Point de Gergonne

Dans le contexte euclidien, le point de Gergonne est le point de concours des droites reliant un sommet au point de contact du cercle inscrit avec le côté opposé au sommet. Le point de Nagel est obtenu en remplaçant le point cercle inscrit par le cercle circonscrit associé au sommet.

Les preuves euclidiennes utilisent généralement les relations métriques dans le triangle, et souvent du calcul barycentrique.

Voir une preuve euclidienne

Extrait d’un TD proposé en licence


Or cette propriété est absolue, vrai dans le triangle et plus généralement dans un trilatère quand les bissectrices sont en pinceau. En voici une illustration :

Sur cette figure les droites de base (orientées) sont en bleu, les bissectrices en violet,
les perpendiculaire aux côtés issues du pinceau des bissectrices sont en pointillé, elles donnent les points de contact.
Les droites de Gergonne, vertes, sont construites comme droite d’un pinceau passant par un point. Elles sont en pinceau.
a) à gauche : cas d’un cercle inscrit. b) à droite cas d’une équidistante inscrite.


Il ne peux pas y avoir de Point de Nagel pour un trilatère qui n’est pas un triangle. Le lecteur pourra reprendre les figures de l’onglet précédent pour vérifier l’existence hyperbolique du point de Nagel

Sur les preuves

La preuve pour le pinceau de Gergonne se fait par des propriétés des pinceaux.

Celle de Nagel s’en déduit comme dans le cas euclidien par les propriétés vues sur les cercles exinscrits et l’isogonalité qui est aussi une propriété de pinceaux (et non pas une propriété uniquement angulaire comme on le présente naturellement bien entendu dans le cas euclidien).

Avis aux amateurs : pas trouvé de preuve - par l’axiomatique de Bachmann - que le pinceau de Gergonne soit à centre donc, formellement que le point de Gergonne existe, bien qu’il ne semble pas qu’on puisse trouver une configuration où ce pinceau soit à axe.

La démarche proposée est puissante pour les pinceaux mais, avec elle, il est plus difficile de montrer l’existence de points (pinceaux à centre). C’est le cas de l’intersection des médianes d’un triangle. Dans les livres anglosaxons sur la géométrie hyperbolique, l’intersection des médianes s’obtient généralement par calcul (mais reste toujours difficile). Pour le point de Gergonne, cela doit être du même ordre de difficulté.

La question de l’orientation de la figure

Cette question se rencontre nécessairement en cours de manipulation. On a choisi de la traiter dans un contexte plus significatif, à l’onglet suivant. On résoudrait le problème de la même façon ici que sur les cycles de Malffati.

Haut de la barre d’onglets

Malffati

Le problème de Malffati

Cette construction - qui ne présente pas d’intérêt mathématique particulier - a été retenue pour montrer qu’une utilisation des pinceaux - et donc des outils de CaRMetal créés pour eux - peut être d’une grande efficacité pour généraliser certaines constructions euclidiennes.

Plus précisément, alors que l’on a dit plusieurs fois qu’un point pouvait avoir une importance théorique structurante pour l’existence de certains pinceaux, nous allons voir ici que l’usage systématique des constructions par pinceaux permet au contraire de généraliser grandement les constructions euclidiennes.

Le problème de Malffati consiste à inscrire dans un triangle trois cercles deux à deux tangents entre eux et chacun tangents à deux côtés du triangle.

La construction (Peterson - La géométrie du triangle - Ed. Gabay, ou encore Carrega - La Règle et le Compas - Ed. Ellipse) se justifie par de nombreux arguments de cocyclicité. On verra dans la seconde partie de cet article, que certains théorèmes de cocyclicité utilisant l’orthogonalité, par l’intermédiaire du théorème de Hjelmslev, peuvent avoir une écriture absolue.

Or c’est le cas ici : cette construction, relativement complexe, a une lecture absolue possible à chacune de ses étapes, ce qui fait que la construction de Carrega est, en définitive, absolue, et s’applique aux trilatères dont les bissectrices sont en pinceau.

Organisation de cet onglet

Dans cet onglet nous allons commencer par une présentation de la construction classique de Malffati, en interprétant chaque étape en terme de pinceau. Puis nous mettrons en œuvre ces étapes ainsi transformées sur des trilatères hyperboliques.

La construction, utilisant des bissectrices de droites non sécantes, sera orientée. Nous verrons ensuite comment lever cette orientation.

Lecture absolue de la construction euclidienne

Étape 1

On commence par construire le centre du cercle inscrit, puis les cercles inscrits des triangles ABI, BCI, CAI. On utilise donc des quadrisectrices de chaque angle du triangle.

On notera que les droites (AI), (BI) et (CI), par construction, sont des tangentes communes aux cercles pris deux à deux.

Cas du trilatère
- On construira les trois bissectrices orientées car chacune servira dans la dernière étape. Au lieu d’utiliser le centre du cercle inscrit, on travaillera directement avec le pinceau des bissectrices.
- Contrairement à l’illustration ci-dessus on gardera les bissectrices initiales pour utiliser leurs points idéaux dans l’étape suivante.
- Les cercles ne sont là que pour expliquer la construction mais ils sont inutiles. Par contre, dans la construction euclidienne leurs centres sont nécessaires. Dans la construction par pinceau, on ne les construira pas, on matérialisera un centre de ces cercles par le pinceau de deux quadrisectrices (de paires de droites) issues des deux bouts d’une même droite initiale (équivalent aux deux quadrisectrices issues de A et de B pour le triangle ABI).

Étape 2

Le symétrique d’une tangente commune initiale (bleue) par rapport à la droite des centres (verte) des cercles concernés est encore une tangente commune (rose) à ces deux cercles. Une première étape consiste à montrer que ces nouvelles tangentes communes sont encore concourantes.

Cas du trilatère
- Les droites des centres sont obtenues comme intersection de deux pinceaux de quqdrisectrices.
- On travaille dans un modèle borné, on peut donc utiliser les points idéaux des droites pour construire leurs symétriques.

On nettoie la figure ne conservant que les cercles initiaux et les nouvelles tangentes communes (roses) des cercles pris deux à deux. On note M, N et P les intersections de chaque tangente commune avec le côté du triangles qui n’est pas en contact avec les deux cercles associés à cette droite.

Le coeur de la démonstration associée à cette construction consiste à prouver que les trois quadrilatères AMQP, BNQM et CPQN ont des cercles inscrits, ces cercles étant la solution du problème de Malffati.

Cas du trilatère
- Il n’est nécessaire pas de construire ces points, on ne travaille que sur des pinceaux.

Étape 3

On construit les centres de ces cercles par de nouvelles bissectrices.

Puis les cercles de Malffati, en prenant des perpendiculaires au côtés du triangle initial, issues de ces centres .

Cas du trilatère
- Par contre pour appliquer l’outil « cycle par pinceau et un point », il faudra bien construire les pieds des perpendiculaires.
- À partir de la figure initiales du trilatère - et hors les points idéaux construits automatiquement par l’outil bissectrices de droites orientées - on devrait pouvoir réaliser cette figure en ne construisant que trois points, tout le reste se faisant par pinceaux de droites.
- Avec cette construction, les cycles de Malffati ne sont pas nécessairement des cercles, ils peuvent être des équidistances ou des horicycles.

Construction effective de Malffati par pinceaux

On reprend la figure dans le cadre hyperbolique. Dans l’illustration suivante, les droites du trilatère sont en bleu (les noms des poignées de manipulation précise le nom des droites), les trois bissectrices sont en cyan (et elles sont en pinceau). On a construit deux quadrissectrices, celles de la droite a et de la bissectrice de a et b, celle de la droite a et de la bissectrice de a et c.

On note les points idéaux, utiles pour traiter la continuité de l’orientation des droites. Cela pourrait paraître sans importance quand les droites sont non sécantes, mais même dans ce cas, on sait que le passage par le centre de l’horizon inverse l’orientation interne des arcs de cercle représentant les droites hyperboliques. Dans tous les cas - droites sécantes ou non - l’utilisation de cette orientation, construite par l’outil associée, est nécessaire.

Fin de l’étape 1 : les six quadrissectrices déterminent
les pinceaux représentant les centres des trois cercles inscrits.


On remarque que les quadrissectrices ne sont pas en pinceau avec les bissectrices « proches », ie pas concourantes.

Complément : exemple où les « cercles inscrits » à ABI, BCI et CAI sont des cycles de 3 types.

Cette construction est une biffurcation du plan général de construction pour illustrer qu’à ce stade, il faut nécessairement prendre des pinceaux car les cycles correspondant au cercles inscrits des trois triangles peuvent déjà être de tout type.

Dans l’illustration ci-dessous, pour chaque couple de quadrissectrices (rose), on prend la perpendiculaire (marron) au côté correspondant du trilatère, issue de ce pinceau. Les pinceaux de quadrissectrices peuvent être à centre (en haut à droite), sans support (en bas à droite) ou à axe (en bas à gauche), avec les cycles correpsondants.

On voit que « délier les sommets du triangle initial » provoque une généralisation systématique des objets construits : les points que l’on pourrit, dans un premier temps, imaginer exister peuvent disparaître très vite, et la figure, construite avec les outils usuels de géométrie hyperbolique, s’effondre aussitôt, d’où cette règle élémentaire :

Dés que l’on travaille avec des trilatères, utiliser - ou construire - systématiquement des outils de pinceaux.

Fin du bloc.
Rappel : cette construction n’est pas nécessaire dans la construction générale des cycles de Malffati.


Étape 2 : le second pinceau des tangentes communes

Les droites des centres (en vert ci-dessous) s’obtiennent simplement par intersection de pinceaux. On notera que cette droite là n’est pas orientée, mais on n’aura pas besoin de son orientation. Par contre, elle pourrait - théoriquement - ne pas exister dans certaines configurations.

On construit ensuite l’autre pinceau de tangentes communes (en rouge).

Pour cela, puisque l’on aura besoin de l’orientation de ces droites, il faut leurs points idéaux. On utilise pleinement que l’on est dans un modèle : on commence par prendre le symétrique des points idéaux pour construire la droite.

Conseil technique : pour construire une droite hyperbolique connaissant ses deux points idéaux, le plus simple, en nombre d’objets, est d’utiliser l’outil segment. Ce serait aussi le cas si on devait construire une demi-droite dont on a l’origine et le point idéal. Dans ce cas il est conseillé d’utiliser l’outil segment.

Étape 3 : bissectrices des quadrilatères circonscriptibles

La figure est quasiment terminée : on prend les bissectrices orientées des pinceaux constituées des droites initiales (côté du trilatère, bleues) et de ces nouvelles tangentes communes aux cycles (rouges). Ces droites (marrons) sont une des bissectrices des quadrilatères ayant pour cycles inscrits les cycles de Malffati.

Elles forment, avec les bissectrices initiales (cyan), le pinceau solution pour les cycles à construire.

Pour construire les cycles, puisqu’ils sont définis par pinceau et point, il faut créer un point par cycle. Ce seront les seuls trois points hyperboliques que nous auront à construire dans cette figure. On prend les perpendiculaires (mauves) à chaque côté issues du cycle correspondant et le pied de ces hauteurs.

On construit les cycles par pinceau et point (ici version à centre pour mieux visualiser la construction)

Exemple de configuration où il y a un cycle de chaque type : un cercle, une équidistante et un horicycle (approximativement)

Première exploration de la figure obtenue

Si le lecteur est invité à utiliser systématiquement les fichiers soit en ligne, soit en téléchargement en fin d’article pour faire ses propres explorations, pour une fois, une illustration statique permet de montrer rapidement ce qu’il est intéressant d’observer.

On a vu, dans la présentation des outils que l’intersection de deux pinceaux est au plus une droite et donc qu’elle peut être vide. C’est en particulier le cas de la perpendiculaire à une droite issue d’un pinceau. Donc il y a plusieurs situations où les cycles de Malffati n’existent pas.

Sans en proposer une analyse systématique, on peut déjà voir rapidement une situation frontière qui illustre clairement l’imbrication des contraintes entre les différents pinceaux. Ainsi dans l’illustration suivante, on a les bissectrices initiales, les cycles de Malffati, et, pour un cycle, on a gardé son pinceau d’origine sous la forme d’une bissectrice (marron) et d’une perpendiculaire à un côté (mauve). On sait que deux droites d’un pinceau le caractérise, donc ces deux là sont bien représentatives du pinceau.

Analyse des illustrations :
- En haut à gauche : un des cycles de Malffati est une équidistante, on y voit son axe et c’est aussi celui de son pinceau de construction (les droites mauve et marron).
- En haut à droite : dynamiquement on déplace le point b2 pour faire évoluer ce cycle tout en conservant les deux autres sous forme de cercle, on voit que plus l’équidistante se rapproche de son axe, plus son pinceau de construction va à l’infini et va finir par ne plus exister.
- En bas à gauche : cela se produit (par ajustement du point a1) et de manière perceptive seulement. On cherche à faire coïncider l’équidistante avec son axe, c’est-à-dire que par dégénération de la figure, le troisième cycle de Malffati du trilatère devient une droite (et donc le trilatère un quadrilatère particulier, avec trois droites deux à deux parallèles). Or ce qui surprend le plus (a priori avant toute analyse), c’est que ce cas particulier semble coïncider avec le fait que les bissectrices initiales sont en pinceau sans support.
- En bas à droite : avec un retour à la position initiale du point a1, on poursuit le mouvement du point b2 pour confirmer que quand le pinceau des bissectrices du trilatère sont à axe, certaines intersections de pinceaux n’existent plus, et la construction ne peux exister.

Les droites des centres

La géométrie dynamique permet d’explorer en détail une figure pour comprendre exactement de qu’il se passe - et en fait préparer un schéma de démonstration. Les bissectrices existant toujours (on y reviendra), de même les quadrissectrices, on conjecture que la premier droite qui peut ne pas exister est une droite des centres car construite comme intersection de deux pinceaux.
Et c’est bien le cas.

- à gauche : les droites droites des centres existent, à droite deux seulement. Cela signifie que les pinceaux des quadrissectrices sont bien présents (bien entendu) ...
- à droite : ... mais que deux d’entre eux n’ont pas d’intersection à partir du moment où les bissectrices ne sont plus en pinceau à centre.

Et encore plus précisément, en affichant les deux pinceaux (roses) des quadrissectrices en question, et en ajoutant (droites marrons) leurs axes, voici la situation juste avant que l’équidistante soit confondue avec son axe :

On peut conjecturer qu’avant de devenir sécants (ce qui interdit l’existence de la droite des centres) les axes de deux pinceaux de quadrissectrices sont en pinceau sans support si et seulement si les bissectrices du trilatère initial sont elles-mêmes en pinceau sans support. Et dans ces cas, ces deux axes forment le même pinceau que celui des bissectrices.

Cela semble signifier - à ce stade, c’est encore une conjecture issue de la simple exploration de la figure - que les cycles de Malffati ne peuvent exister que si le trilatère est en pinceau à centre ... ce qui en définitive ne devrait pas être si difficile à montrer (c’est l’équivalence - le « existent » - qui est plus compliquée).

Cette exploration donne aussi des pistes pour structurer une démonstration (quand on a des théorèmes caractérisant les pinceaux hyperboliques sans support).

Désorienter la figure orientée

Poursuivons la manipulation de la figure précédente, en faisant tourner c2 autour de c1. Ci-dessous, trois instantanés de ce mouvement :

- En haut à gauche : la construction existe toujours, en particulier parce que les droites b et c sont sécantes. On a rendu visible les six quadrissectrices.
- En haut à droite : en déplaçant c2 d’un pixel, les droites b et c ne sont plus sécantes et leur bissectrice (cyan) disparaît ainsi que les deux quadrissectrices associées.
- En bas : on poursuit le déplacement de la droite c, il n’y a plus qu’une bissectrice et qu’un couple de quadrissectrices.

Or ceci, alors que clairement, nous sommes dans une situation géométrique où les bissectrices et quadrissectrices existent. Que se passe-t-il ?

Simplement que la droite c n’ayant plus la même orientation, avec cette orientation là, les deux bissectrices avec la droite c n’existent pas. Il faut donc changer l’orientation des bissectrices, dans ce cas, celui de la droite c seulement.

Un traitement autoréférent, par la figure elle-même n’est peut-être pas impossible mais serait assurément délicat. Nous allons faire un choix bien plus simple : un changement d’orientation externe, opéré par l’utilisateur.

Si on regarde l’expression des points idéaux de la droite c, ils se présentent sous une forme comme (ici celui du côté de c1 ; le « then » et le « else » sont inversés pour l’autre point idéal) :

Pour inverser les deux points idéaux de la droite c, on décidé d’ajouter à la figure une case à cocher, c’est-à-dire un booléen nommé Chc (Choix pour c) et de coefficienter les deux alternatives précédentes en fonction de la case à cocher ce qui donne, pour le point idéal, désormais noté Ic1 :

Il faut faire de même pour l’autre point idéal. Alors d’un simple clic sur la case à cocher, la figure prise dans l’état précédent, est aussitôt reconstruite car la droite c est réorientée.

On fait le même traitement pour les deux autres droites a et b, et la figure, moyennant cette intervention extérieure, est satisfaisante dans tous les cas.

Remarques pratiques : quand on change la taille de la figure, les cases à cocher peuvent ne plus être visibles si elles sont sur l’extérieur. En pratique on peut changer la couleur du fond et placer les cases à cocher en dehors du disque de Poincaré. Pour déplacer les cases à cocher, il faut utiliser le pointeur blanc de la palette « Contrôles ».

Bilan de cet onglet

Cet onglet est un bon exemple de l’utilisation des outils de pinceau et de l’investigation que ces outils permettent d’effectuer. Cet onglet a été l’occasion de plusieurs pistes de réflexion comme :

- Une relecture absolue d’une construction euclidienne peut ouvrir la voie à des constructions absolues de trilatère. Ce sujet sera partiellement traité dans la partie suivante.
- Ces constructions sont bien plus générales mais parfois plus simples à réaliser.
- L’investigation -sur les changements de type de pinceau en particulier - met en valeur les relations entre les différents pinceaux et éventuellement donne des pistes d’organisation des démonstrations.
- Cette investigation ouvre de nouveaux questionnement (par exemple chercher à construire des trilatères dont les bissectrices sont parallèles, non rapporté ici)
- Si on veut conserver la continuité et le déterminisme, alors qu’on sait que c’est intrinsèquement impossible, il y a un prix à payer au niveau des configurations : celui de l’orientation de la figure. Pour désorienter la figure, on peut choisir d’externaliser le traitement, comme on l’a fait ici (case à cocher par l’utilisateur)


Bilan de cette première barre d’onglets

Elle a permis deux choses :
- de se familiariser avec les outils sur les pinceaux proposés par CaRMetal.
- d’aborder une pratique de ces pinceaux d’abord sur des figures élémentaires puis sur des situations plus complexes comme dans le dernier onglet.

Cela a aussi été l’occasion de comprendre les choix d’une continuité déterministe sur les bissectrices, et le coût géométrique de ce choix : celui de figures orientées.

Dans la seconde barre d’onglets, nous abordons une axiomatisation des concepts associés à ces outils.

La pratique préliminaire, dans un modèle de la géométrie hyperbolique, permet de se construire de bonnes représentations sur les pinceaux. Ces représentations peuvent être considérés comme les schématisations de Gonseth dans un acte de première axiomatisation. Nous allons aborder maintenant une seconde axiomatisation, marquée, toujours pour Gonseth, par une perte « tout ce qui rappelle leur signification dans le monde des phénomènes directement perçus par nos sens ». Le travail précédent et la démarche opérationnelle proposée s’inscrivent « dans le souvenir des réalisations où les notions ont été primitivement aperçues » et devraient faire vivre la géométrie ainsi présentée dans cette double circulation « entre la première axiomatisation qui lui faisait un visage abstrait face au côté intuitif de notre connaissance et la seconde qui en fait un concret face au côté purement logique ». (extrait cité en début d’article)

Deuxième partie - Axiomatique de Bachmann

Cette axiomatique s’inscrit dans un parcours historique que Bachmann remonte lui-même à Leibnitz et Descartes quand il présente sa démarche (première édition 1959) comme un calcul sur des objets géométriques :


« Le calcul sur les réflexions dans le cadre de la théorie des groupes ouvre un domaine dans lequel on a la possibilité de calculer avec des objets géométriques et de bénéficier ainsi d’un nouvel outil pour la preuve des théorèmes de géométrie. »

« Dans ce calcul avec les objets géométriques, indépendant de tout système de nombres et de toute notion de repère, on peut voir un pas vers la réalisation du programme que Leibniz a élaboré à partir de la géométrie analytique de Descartes. »

On peut aussi situer ce travail dans la démarche algébrique de Klein quand il présente, en 1872, la géométrique comme l’étude des groupes d’isométries qui laissent invariants des parties d’un ensemble (figures du plan ou de l’espace par exemple). C’est alors un aboutissement algébrique ultime puisque si chez Klein il y a un groupe qui opère sur un ensemble, chez Bachmann il y a un groupe qui opère sur lui-même.

Un autre regard possible est celui de la position d’un certain nombre de mathématiciens vis vis des « Fondements de la géométrie » de Hilbert (1899). Cet ouvrage de référence, qui se propose de retrouver rapidement la géométrie euclidienne de manière catégorique à partir d’un minimum d’axiome, donne en particulier - pour ces auteurs - une définition « trop affine » du parallélisme qui n’offrait aucune perspective de généralisation.

Le travail de Bachmann s’inscrit alors dans la continuité de Hesenberg et surtout Hjelmslev (Bachmann a introduit la notion de « groupe de Hjelmslev ») qui ont travaillé à axiomatiser la géométrie, euclidienne, puis neutre (euclidienne et hyperbolique) sur la base des symétries orthogonales et des pinceaux de droites, à partir de 1907.

L’apport de Bachmann, dans cette trajectoire là, donne à son axiomatique un caractère de complétude, en particulier pour les points suivants :
- il est arrivé à supprimer toute relation à l’ordre. On notera qu’il avait déjà travaillé à l’élaboration de certains axiomes des Fondements de Hilbert à partir de la VII° édition (1930) sur ce thème.
- ce qui permet d’inclure la géométrie elliptique au sein de son axiomatique.
- tout en démontrant, en le généralisant à sa façon, le théorème fondamental de Cayley qui veut que toute géométrie « métrique » (hyperbolique, euclidienne, elliptique) se plonge dans un plan projectif idéal.

La force et l’élégance de l’axiomatique de Bachmann est de partir de quelques axiomes généraux qui algébrisent simplement des résultats euclidiens classiques tout en arrivant à contenir les situations hyperboliques et elliptiques pourtant particulièrement antinomiques à bien des égards.

Dans la présentation qui suit, et plus particulièrement dans les preuves, il nous arrivera d’aborder parfois quelques références à la géométrie elliptique car le point de vue est éclairant sur certaines propriétés rencontrées. Si nécessaire, pour installer quelques premières représentations, on peut éventuellement manipuler directement en ligne des figures elliptiques, euclidiennes et hyperboliques sous le même horizon, dans cet article de l’IREM. Pour les lecteurs plus intéressés, des références autour de ce thème sont proposées en fin d’articles.

Introduction

Lecture algébrique de quelques propriétés euclidiennes fondamentales

Pour présenter ses axiomes, Bachmann commence par une lecture algébrique de l’orthogonalité et de l’incidence. En cela il nous accompagne dans notre cheminement de la première axiomatisation (la géométrie euclidienne) vers la seconde (son axiomatique algébrique) en nous invitant à voir non pas des invariants des configurations (ça c’était la première axiomatisation) mais des invariants algébriques, et donc à poser un regard plus structurel sur les propriétés de la géométrie euclidienne.

Nous avons déjà illustré cette présentation, de manière dynamique dans cet article, nous en reprenons les grandes lignes ici, plus simplement, en particulier par des illustrations statiques.

Lecture de l’orthogonalité et du point

On se donne deux droites sécantes d et d’. On s’intéresse à la composée des deux symétries orthogonales associées, et plus précisément à caractériser l’orthogonalité des deux droites d et d’ en terme de comportement de la composition des symétries orthogonales. Pour cela on regarde l’orbite d’un point M par cette composée.

Dans le cas général l’orbite est un ensemble dénombrable pris sur le cercle de centre l’intersection des deux droites, et passant par M. Puis on rend les droites orthogonales.

Dans l’illustration de gauche, on voit que l’orbite semble s’accumuler sur deux points et à droite, que dans le cas de l’orthogonalité l’orbite est réduit à deux point.

En terme de comportement algébrique, dans un groupe où les droites seront identifiées à la symétrie orthogonale associée, on peut lire, sur le cas euclidien que :
- deux droites sont orthogonales ssi la composée des deux est d’ordre 2.
- un point (la symétrie centrale associée) est la composée deux droites quand celles-ci sont orthogonales.

On remarque aussi que deux droites orthogonales ont un point en commun. Il faudra vérifier que ce point est indépendant du couple de droites qui le définit. Ce sera le premier théorème de cette axiomatique.

Lecture de l’incidence

La question de l’incidence va se traiter de façon analogue. Une illustration menant à la définition algébrique de l’incidence est proche de la précédente : on compose une symétrie orthogonale et une symétrie centrale. On sait que la composée est une symétrie glissée. On s’intéresse au cas où cette symétrie glissée est d’ordre2.

Pour cela on regarde l’orbite d’un point A, sur quelques itérations :

l’orbite est sur deux droites orthogonales à la droite d. Puis on approche A de d. Là encore on voit que l’orbite de A s’accumule sur deux points, et qu’il se réduit à deux points quand A apparient à d.

La lecture algébrique proposée par Bachmann est alors la suivante :
- Un point A sera dit incident à une droite d si le produit des deux est d’ordre 2 (et donc pas d’ordre 1, ie Ad≠1).
- Dans ce cas le produit Ad est une droite orthogonale à d.
- Ce qui s’écrit aussi dAd=A (l’image de A par d sera A - car d est son propre inverse)

Propriétés des tri-réflexions

Les lectures précédentes ont concerné l’objet premier point, construit à partir des droites, l’orthogonalité et l’incidence. Voyons maintenant la lecture algébrique proposée des propriétés géométriquement structurantes, sur les relations entre les symétries orthogonales entre elles. Historiquement cette lecture revient à Hjelmslev pour sa construction de la géométrie euclidienne à partir des symétries orthogonales.

On observe, en composant trois symétries orthogonales du plan euclidien, qu’il y a deux cas dans lesquels la composée reste une symétrie orthogonale : quand les axes des symétries sont concourants ou quand ils sont parallèles.

Voici une illustration du premier cas. On prend trois droites et on construit l’image M’, par la composée des trois symétries, d’un point M. La médiatrice de [MM’] est alors une droite qui sera invariante, en déplaçant M, si la composée est trois est une symétrie orthogonale. Dans illustration suivante, les images du haut sont dans le cas où les droites sont quelconques, et en bas quand elles sont concourantes.

On ferait la même construction avec des droites parallèles.

Ces deux propriétés seront les axiomes fondamentaux de la géométrie de Bachmann, les axiomes dits « de tri-réflexions », bien entendu avec une lecture spécifique du parallélisme : le produit de trois droites sera une droite quand les droites seront concourantes ou auront une perpendiculaire commune.

Ces axiomes n’empêchent pas que le produit de trois droites puisse être une droite dans d’autres cas et ce sera toute la subtilité de la démarche de Bachmann de ne rien demander - axiomatiquement - sur d’autres situations génériques.

L’édition de 1973 ajoute de nombreuses autres lectures algébriques des propriétés euclidiennes, en particulier autour de l’isogonalité (pour faire bref). Une des idées principales est de dire que si le produit de trois droites est une droite, abc= d, alors ab=dc. Et même si les droites ne sont pas sécantes l’image mentale des angles égaux (des rotations euclidiennes) est porteuse de bonnes représentations si on sait conserver un regard algébrique général comme par exemple sur le dessin de droite (l’écriture par exponentiation est détaillée dans le prochain onglet) :

On peut désormais aborder le contexte axiomatique de Bachmann (onglet suivant)

Haut de la barre d’onglet

Axiomes

Axiomatique de Bachmann

La présentation suivante reprend quelques éléments de l’ouvrage de référence de Bachmann sur son axiomatique basée sur les tri-réflexions (première édition 1959, complétée dans l’édition de 1973).

Rappelons que la démarche axiomatique s’inscrit dans une présentation de la géométrie qui est antérieure à la construction du nombre : ce sont les propriétés géométriques qui déterminent celles des nombres. Ainsi les géométries de Bachmann vérifient la propriété de Desargues, et Pappus, le corps de nombre est donc commutatif. Par ailleurs, les géométries finies issue de cette axiomatique seront toutes euclidiennes


Image d’un élément par une transformation

Nous nous plaçons dans un groupe. Les objets premiers (les droites, les points) vont être certains des éléments de ce groupe. Il faut donc définir également l’action d’un élément du groupe, comme transformation, sur ce qui va être ces objets premiers de la géométrie. Nous avons déjà abordé ce point, sur le cas de la symétrie orthogonale, lors de la présentation de l’outil « Produit de trois droites en pinceau » (bloc replié). Or on sait que la conjugaison est, au sens des groupes, une action naturelle du groupe sur lui-même. Voyons qu’elle correspond à ce que l’on cherche ici.

Si on considère un ensemble E et un groupe \Gamma de bijections sur E, alors, pour tout \gamma \in \Gamma et tout couple (A,B) \in E \times E, il y a équivalence entre :
- \alpha(A)=B
-  \forall \gamma \in \Gamma, \; \left(\gamma \; o\;  \alpha \; o \; \gamma^{-1}\right)(\gamma(A)) = \gamma(B)

Autrement dit, \gamma, considérée comme transformation ponctuelle d’éléments de E, est elle-même transformée en la conjuguée \alpha \; o \; \gamma \; o \; \alpha^{-1} par toute transformation \alpha.

D’un point de vue algébrique, l’image d’un point ou d’une droite par une transformation, comme élément du groupe, est la conjugaison de l’élément par cette transformation.

Écriture postfixée et exponentielle

Dans la tradition germanique, Bachmann utilise l’écriture postfixée pour les transformations (des lecteurs ont pu manipuler la fameuse « polonaise inversée » des anciennes HP par exemple). Nous avons choisi de conserver cette notation, particulièrement compacte et bien adaptée au style de calculs qui vont être effectués. Ce que l’on écrit u \; o \; v va s’écrire vu, et u(A) s’écrit Au.

Mais cette écriture reste géométrique. Comme on travaille uniquement dans un groupe, et qu’il faut distinguer l’élément du groupe de la transformation géométrique associée, Bachmann propose l’exponentiation pour décrire l’image d’un point. Ainsi ce que l’on écrirait géométriquement u(A) s’écrira algébriquement A^u. Ainsi un vou(A) français s’écrit A^{uv}. On a en effet, comme passage entre les deux écritures (A^u)^v = v(A^u) = u\, o \, v(A).

Si le point B est l’image du point A par la transformation u (par exemple une symétrie orthogonale), on écrit d’une part B=A^u et d’autre part, en tant qu’élément du groupe, on a vu au paragraphe précédent que cela s’écrit aussi A^u=u^{-1}Au=B (écriture inverse de la conjugaison à cause de l’écriture postfixée), ce qui s’écrit plus simplement Au=uB.

Avec l’écriture postfixée et exponentielle, la conjugaison comme homomorphisme de groupe s’écrit tout simplement : (\gamma^\alpha)^\beta = \gamma^{\alpha \beta}.

Cette notation peut être déroutante dans un premier temps. On verra néanmoins au cours de cette présentation qu’elle est particulièrement efficace en terme de compacité dans les écritures et d’automatisme dans les calculs.

Par ailleurs, on va essentiellement travailler sur des éléments d’ordre 2, ainsi la conjugaison de A par u s’écrira simplement uAu car u est aussi son propre inverse.

Les notations de Bachmann

On a compris, dans les différentes lectures algébriques, que l’un des aspects essentiel de cette axiomatique va être l’involution.

Bachmann note \mid la relation binaire « le produit est d’ordre 2 ». Autrement dit pour deux éléments a et b d’un groupe G, on notera a \mid b pour dire que ab \neq 1 \; et \; (ab)^2=1.

De manière itérative, Bachmann note a, \; b \mid c pour dire a \mid c et b \mid c et bien entendu, a, \; b \mid c, \; d pour dire que a, \; b \mid c et a, \; b \mid d.

Avec ces notations, en notant par des minuscules les symétries orthogonales (identifiées algébriquement à leurs axes), par une majuscule les symétries centrales (identifiées à leurs centres), la lecture algébrique de l’onglet précédent permet de résumer les propriétés euclidiennes sous cette forme :

involution : a \neq 1, \; a^2=1, \; P \neq 1, \; P^2=1
orthogonalité : a \perp b \; \Leftrightarrow \; a \mid b, et alors ab=P
incidence : A \;I \; b s’écrit A \mid b \; et \; A \neq b

Les propriétés sur les symétries euclidiennes mises en évidence dans leurs lectures algébriques s’écrivent :
- cas des droites concourantes : Si \; A \; \mid p, q, r,  \exists \, s \; /  \;  s=pqr, et de plus A \mid s
- cas des droites paralléles : Si \; u \mid p, q, r,  \exists \, s \; / \;  s=pqr, et de plus u \mid s

Autres propriétés algébriques des symétries orthogonales euclidiennes
- a \perp b \Leftrightarrow a^b=a, \; et \; a \neq b
- A \perp d \Leftrightarrow A^d=A, \; et \; A \neq d

Les axiomes

On considère un groupe \Gamma, noté multiplicativement, d’unité 1, engendré par un ensemble \Delta de générateurs tous d’ordre 2. L’ensemble \Delta est stable par conjugaison.

Dans toute la suite, les éléments généraux de \Gamma sont notés par des lettres grecques, ceux de \Delta par des lettres minuscules latines. Une lettre majuscule latine représentera toujours le produit de deux générateurs quand ce produit est d’ordre 2. Ainsi, on écrira P = ab si a | b (dans ce cas P=ab=ba, et a≠b). P est alors aussi un élément d’ordre 2 de \Gamma puisque P^2=(ab)(ab)=abba=1.


Axiomes d’incidence

A.1. Pour \; tous \; P \; et \; Q, \; il \; existe \; g \; tel \; que \; P, \; Q \mid g

A.2. Si \; P, \;Q \mid \; g, \; h \; alors \; soit \; P = Q \; soit \; g = h

Axiomes de tri-réflexions

A.3. Si \; a, \; b, \; c \mid P, \; alors \; il \; existe \; d \; tel \; que \; abc=d

A.4. Si \; a, \; b, \; c \mid g, \; alors \; il \; existe \; d \; tel \; que \; abc=d

Axiome d’existence

A.5. Il \; existe \; g, \; h, \; i \; tel \; que \; g \mid h  \; et \; tel \; que \; l'on \; n'ait \; ni \; j \mid g, \; ni \; j \mid h \; ni \; gh \mid j.

On l’a vu précédemment, il est facile d’interpréter ces axiomes dans le cadre de la géométrie euclidienne plane, ils n’en sont qu’une formalisation, qu’une « seconde axiomatisation » au sens de Gonseth. Un mot toutefois sur le dernier axiome. Il assure qu’il existe au moins un triangle rectangle (en gh). Cet axiome est d’une certaine façon un axiome de non dégénérescence, pour que la géométrie soit assez riche (le groupe de Klein, avec \Delta l’ensemble de ses trois éléments d’ordre 2, vérifie les 4 premiers axiomes, les droites n’ont alors que deux points et il n’y a pas de triangle rectangle). On montrerait que l’axiome A.5 est équivalent au fait qu’une droite a au moins trois points (les deux sens sont assez techniques).

L’exemple du groupe de Klein ci dessus, même si il n’engendre pas une géométrie au sens de Bachmann, illustre néanmoins que dans la demande « \Delta engendre \Gamma », il n’est pas mentionné que \Delta soit un ensemble minimal de générateurs. Bachmann donne en annexe de son ouvrage un exemple de deux géométries différentes (l’une elliptique et l’autre semi elliptique) à partir d’un même groupe \Gamma et de deux ensembles de générateurs \Delta différents.

Vocabulaire géométrique associé au système axiomes

Bachmann donne bien entendu une lecture géométrique de cette axiomatique en donnant au couple (\Gamma, \Delta) le statut de plan du groupe avec les définitions qu’on imagine :
- Les éléments de \Delta sont appelés les droites du plan.
- les involutions de \Gamma qui peuvent s’exprimer comme produit de deux éléments de \Delta sont les points du plan.
- deux droites a et b sont dites orthogonales, et on note a \perp b ssi a \mid b. Il en résulte que les points sont le produit de deux droites orthogonales.
- Un point P est incident à une droite a ssi P \mid a. On utilisera le vocabulaire usuel de l’incidence.

Précisions sur l’incidence - Pôle et polaire - Une nano-incursion en géométrie elliptique

Quand on traite de l’incidence, on précise généralement que P \neq a. En fait on ne parle d’incidence que si (Pa)^2=1,\; et \; Pa \neq 1.

En effet, dans cette axiomatique, tout a été fait pour que la possibilité que le produit de trois droite puisses être égal à l’unité ne soit pas exclu. Voyons un instant ce qu’il se passe dans ce cas.

Si abc=1 alors ab=c soit a \mid b car c est d’ordre 2. De même b \mid c \; et\;  a \mid c.

Mais comme ab est d’ordre 2, il existe un point C tel que ab=C et donc c=C. De même il existe A et B tels que a=A et b=B. Le triangle ABC a donc trois angles droits.

L’écriture a=A signifie, géométriquement, que la symétrie orthogonale d’axe a est aussi la symétrie centrale de centre A, mais A n’est pas incident à a. Or on a bien Aa=1, c’est en ce sens que l’on précise toujours que l’incidence n’a de sens que quand le produit Aa est d’ordre 2 (et pas égal à l’unité).

Dans ce cas, le couple (A,a) est dit en polarité. A est appelé le pôle de a et a la polaire de A. Le triangle ABC est alors tripolaire : la droite passant par deux sommets est la polaire du troisième sommet.

Dans le développement de cette axiomatique, on appelle géométrie elliptique toute géométrie dans la quelle il existe trois droites dont le produit soit l’unité du groupe. On monte alors que toute droite admet un pôle et tout point une polaire. Il en résulte que toute symétrie orthogonale est une symétrie centrale, et donc que toute isométrie est produit de symétries centrales.

On peut construire des géométries semi elliptique (vérifiant les axiomes de Bachmann) alors pour chaque couple (pôle, polaire) il n’existe qu’un des deux éléments. Il n’y a pas de modèle euclidien de géométrie semi elliptique.

Premières isométries du plan du groupe

D’une manière générale, en géométrie on appelle collinéation une application qui conserve l’ensemble des droites, celui des points, et l’incidence. Une collinéation est dite orthogonale si de plus elle conserve l’orthogonalité.

Soit \alpha un élément de \Gamma. On considère la transformation T_{\alpha} définie sur le groupe par T_{\alpha}(\gamma)=\gamma^\alpha.
- Comme \Delta est stable par conjugaison, l’image d’une droite est une droite.
- Un point P=ab, avec a \mid b. Alors P^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha} avec a^{\alpha} \mid b^{\alpha}. Autrement dit l’image d’un point par T_{\alpha} est un point.
- Il est aussi clair que cette application conserve aussi l’orthogonalité et l’incidence : c’est donc une collinéation orthogonale.

On dira que c’est une isométrie du plan.

Dans le cas où \alpha est une droite a, on parle de réflexion (symétrie orthogonale) d’axe a.
Pour \alpha=A, un point, on parle de réflexion (symétrie centrale) de centre A.

Les droites globalement invariantes par les réflexions

Dans la suite on aura besoin de connaitre les droites globalement invariantes par les réflexions. Soit une réflexion d’axe u et a une droite. a est invariante ssi a^u=a, soit uau=a, soit encore ua=au. Il y a deux possibilités, soit a=u, soit u \mid a. Donc les seules droites globalement invariantes par une symétrie orthogonale sont l’axe de la symétrie et les droites qui lui sont orthogonales.

Pour les points invariants par une symétrie orthogonale, il s’agit de chercher les points A tels que A^u=A soit encore Au =uA. Si on exlus ici le cas A=u (pôle de l’axe) propre à la situation elliptique, il ne reste que le cas A \mid u car on a bien (Au)^2=1. autrement dit les seuls points invariants par une symétrie orthogonale sont les points de l’axe de la symétrie.

On vérifie de même que les seules droites globalement invariantes par une réflexion de centre A soit les droites passant par A. En effet, A^u=A \Leftrightarrow Au=uA et donc, toujours en excluant la polaire du centre A, ie, le cas u=A elliptique, il reste A \mid u.

Droites en pinceau et pinceau de droites

Reprenant bien entendu les travaux de ses prédecesseurs, en particulier Hjelmslev, Bachmann introduit deux définitions :

Trois droites a, \; b, \; c seront dites en pinceau, si le produit des trois abc est une droite.

La stabilité de \Delta par conjugaison permet de vérifier que cette définition est symétrique, au sens de indépendante de l’ordre des produits. Par exemple bca = a(abc)a = a(abc)a^{-1}, de même pour les autres produits.

La relation être en pinceau est réflexive au sens où si deux des trois droites sont confondues, le produit est trivialement une droite.

La question importante - et largement non triviale - est celle de la transitivité. Le résultat clé pour l’étude des pinceaux est ce théorème de transitivité :
Si a \neq b et si abc et abd sont des droites, alors acd est une droite.

Bachmann introduit ensuite la notion de pinceau de droites : si a et b sont deux droites distinctes, on appelle pinceau de droites P(ab) l’ensemble des droites qui sont en pinceau avec a et b. Il est ainsi noté car il ne dépend que du produit des deux droites.

Le théorème de transitivité permet en particulier de montrer que deux droites distinctes déterminent entièrement le pinceau auxquelles elles appartiennent, ce qui peut s’écrire :
Pour \; a \neq b, \; si \; a, \;b \; \in P(uv) \; et \;a, \;b \; \in P(gh)  \; alors \; P(uv) = P(gh).

Les axiomes de tri-réflexions permettent de définir et d’étudier les pinceaux à centre (axiome 3) et à axe (axiome 4) mais les définitions sont suffisamment souples pour contenir d’autres types de pinceaux. Bachman appelle ces autres pinceaux, des pinceaux sans support, bien entendu en pensant aux pinceaux associés aux horicycles hyperboliques : le pinceau de ses rayons est un pinceau à point idéal. La finesse de son axiomatique est d’arriver à des théorèmes généraux sur les pinceaux sans aucun axiome sur ces autres types de pinceaux.

D’ailleurs, on peut se demander s’il y a d’autres types de pinceaux sans support que ceux « à points idéaux » du cas hyperbolique. Bachmann prend le temps, toujours dans l’annexe de son ouvrage, d’étudier une géométrie plus complexe (sur Q[i]) qui a deux types différents de pinceaux sans support : c’est donc une géométrie avec 4 types de pinceaux.


Les pinceaux de la géométrie elliptique

En géométrie elliptique, on montre que deux droites sont toujours sécantes. Soit alors u et v deux droites et P leur intersection. Notons p=P la polaire de P. Alors comme la relation définissant l’incidence de P à une droite est aussi celle de l’orthogonalité de sa polaire à cette même droite, la polaire p de P est orthogonale aux deux droites u et v. Il en résulte que ces deux droites sont à la fois en pinceau à centre, de centre P, et en pinceau à axe, d’axe p : il n’y a qu’un type de pinceau en géométrie elliptique puisque ce que l’on vient de voir peut aussi se dire : la polaire de l’intersection de deux droites est aussi une perpendiculaire commune à ces deux droites. La géométrie elliptique est très particulière, la dualité incidence/orthogonalité permet bien des choses. Par exemple toute droite est aussi un cercle particulier, de centre son pôle.


Image d’un pinceau par une transformation

Les propriétés de la conjugaison font que les images de trois droites en pinceau par une transformation T_{\alpha} sont trois droites en pinceaux et comme la transformation est une collinéation orthogonale, les pinceaux à centre et les pinceaux à axe conservent leurs types.

C’est en particulier le cas pour les symétries orthogonales, ce qui va être abondamment utilisé.

Haut de la barre d’onglet pour les premières conséquences.

Premières applications

Applications immédiates des axiomes - Incidence et orthogonalité

Les premières applications d’un système d’axiomes sont généralement des conséquences plus ou moins immédiates qui permettent d’enrichir les connaissances des objets premiers.

Si ces résultats sont souvent des propriétés d’appuis pour aller plus loin, des lemmes techniques, leur obtention permet de se familiariser avec les méthodes usuelles de « calcul sur les symétries » comme indiqué en introduction de cette partie. Et on verra, dans les dernières propriétés, les subtilités algébriques (de seconde axiomatisation) qu’il faut mettre en oeuvre pour arriver à les montrer.

Nous reprenons les premières propriétés dans l’ordre que Bachmann les expose dans son ouvrage.

P1. Indépendance d’un point des droites qui le définissent

\fbox{(P \mid a,b) \; et \; (a \perp b) \; \Leftrightarrow \; (P=ab)}

Dans cette propriété c’est le sens direct qui est intéressant, le sens réciproque est plus banal

Sens direct : ab est un point Q tel que Q \mid a, \;b car aQ=b est d’ordre 2 et Qb=a aussi. On est donc dans la situation P, \; Q \mid a, \;b. Et d’aprés l’axiome 2, puisque a \neq b par l’orthogonalité, on a bien P=Q.

Sens réciproque : Si P=ab alors a \mid b et aP=b est d’ordre 2, c’est-à-dire P \mid a. De même Pb=a est d’ordre 2 donc P \mid b

C’est effectivement la première chose sur les points qu’il convenait de montrer.

P2. Triangle trirectangle et produit de droites unitaire

\fbox{abc \; = \; 1 \; \Leftrightarrow \; (a \mid b \; et \; b \mid c \; et \; a \mid c)}

Le sens direct est immédiat et a déjà été abordé.
Réciproquement si les trois droites sont deux à deux orthogonales, il est facile de voir que (abc)^2=1. Donc soit abc=1, soit abc \neq 1. Pour montrer la première alternative, on suppose la seconde, par l’absurde.
Soit C=ab, alors C est un point car a et  b sont orthogonales. De plus comme on est dans l’hypothèse abc \neq 1, alors C n’est pas le pôle de c, ie C \neq c.

abc étant involutive, on a ab \mid c et donc C est incident à c. De plus C=ab \mid b soit C est aussi incident à b.
C est donc un point incident à b et c avec ces deux droites orthogonales. Par la propriété 1, on sait que C=bc. On a donc C = ab = ba = bc. On en déduit a = c, avec a \perp c, ce qui est impossible.

Cette propriété (essentiellement elliptique) intervient rapidement dans l’exposé de Bachmann pour plusieurs raisons. Tout d’abord pour aborder l’existence d’une perpendiculaire à une droite passant par un point donné, il faut tenir compte d’un cas très particulier où il n’y a pas unicité de la perpendiculaire, quand le point est le pôle de la droite. Ensuite avoir un produit de trois droites égales à 1 va être une façon de montrer une contradiction dans certaines situations, c’est donc un théorème qui va permettre de faire des raisonnements par l’absurde.

P3. Existence de perpendiculaire

\fbox{Pour \; P \; et \; g \; donn\acute{e}s, \; il \; existe \; h \; telle \; que \; P, \; g \mid h}
Par un point il passe (au moins) une perpendiculaire à une droite donnée.

On distingue deux cas, selon que P est incident à g ou non.

Cas où P est incident à g : on a P \mid g. Voyons d’abord que Pg est une droite.
En effet, comme point on peut écrire P=ab, et avec le sens direct de la propriété P1, on peut écrire g, \; a, \; b \mid P et par l’axiome 3 il existe une droite h telle que abg=h, soit Pg=h, ou encore P=hg
Par la réciproque de la propriété P1, P \mid h \;et \; h \mid g, c’est dire que h est orthogonale g et incidente à P.

Cas où P n’est pas incident à g : on a vu, dans les propriétés des symétries, que dans ce cas P n’est pas invariant dans la symétrie orthogonales d’axe g, sauf le cas particulier P = g.

Premier sous cas : Soit P'=P^g l’image de P par la droite. On est donc dans le cas P \neq P'. Par l’axiome 1, il existe une droite h telle que P, \; P' \mid h. Par application de la transformation T_g, involutive, \left P'^g=P \right, il en résulte que P, \; P' \mid h'=h^g. On a donc P, \; P' \mid h \; h' et comme P \neq P' par l’axiome 2, h = h' ce qui signifie que h est globalement invariante par g.
Or nous avons vu, toujours dans les propriétés des symétries, que les seules droites globalement invariantes sont l’axe de la symétrie et les droites orthogonales à cet axe. Or h et g sont différentes car P \mid h et que ce n’est pas le cas pour g. Donc h \mid g.

Second sous-cas : Reste le cas P=g. Alors pour toute droite incidente à P est de fait orthogonale à g : c \mid P \Leftrightarrow c \mid g. Soient alors deux droites a et b telles que P = ab. Par la propriété P1 on sait que a, \; b \mid P et donc a, \; b \mid g Dans ce cas, en fait toute droite incidente à P est orthogonale à g.

P4. Unicité de la perpendiculaire

\fbox{Soit \; P \neq \; g \; , \; alors \; si \; P \mid a, \; b \; et \; a, \; b \; \mid g \; alors \; a = b}
Dans le cas où le point n’est pas le pôle de la droite, la perpendiculaire de la propriété précédente est unique.

La propriété consiste à montrer que si P est incident à deux droites a et b perpendiculaires à la droite g \neq P, alors ces deux droites sont confondues.

Cas où P est incident à g : on a à la fois P \mid g, a, et a \mid g, donc par la propriété P1, P=ag. Pour les mêmes raisons, P=bg, soit ag = bg et donc a = b.

Cas où P n’est pas incident à g : avec les notations de la propriété précédente, on a P' : P^g \neq P. la conservation de l’incidence par collinéation permet de transformer l’hypothèse a, \; b \mid P en a^g, \; b^g \mid P'. Comme g est orthogonale à a par hypothèse, on a (propriété de l’image des droites par symétrie orthogonale), a = a^g. De même b = b^g.
Il en résulte que P, \; P' \mid a \; b et comme P \neq P' par l’axiome 2, a =  b.

À ce stade de son exposé, avant d’aborder les conséquences directement liées aux droites en pinceau, Bachmann montre cette dernière propriété sur les droites :

P5. Toute droite d’un plan de Bachmann est incidente à au moins trois points.

Cette propriété est longue à montrer, nous ne reproduirons pas sa preuve, très technique. Elle utilise bien évidemment l’axiome 5 (dont en fait elle est équivalente) et en particulier la propriété P4 que l’on vient de montrer.

Complément aux axiomes de tri-réflexions

Les axiomes sont minimalistes, mais ils contiennent de fait toutes les informations que l’on a pu observer dans la lecture algébrique des tri-réflexions euclidiennes.

P6. Complément à l’axiome 3

\fbox{(P \mid a, \; b, \; c) \; et \; (d=abcd) \Rightarrow (P \mid d)}
Si un point est incident à trois droites en pinceau, alors il est aussi incident à leur produit.

Preuve : P \; est \; incident \; à  \; d \; ssi \; (abcP=Pabc) \; et \; (abc \neq P)
Il a donc deux choses à montrer. La première partie, abcP=Pabc est facile à vérifier : puisque le point est incident aux trois droites, le produit avec chacune d’elle est d’ordre 2 et donc P commute avec chaque des trois droites.
Il reste à montrer que le point P n’est pas égal au produit des trois droites. Bachmann le montre par l’absurde. Supposons que abc = P. On a ab = Pc. Or comme P \mid c, le produit Pc est d’ordre 2, donc a \mid b
On a donc a, \; b \mid P \; et \; a \mid b. La propriété P1 nous permet de conclure que dans ce cas P =ab et donc c=1 ce qui est absurde car c est une droite.

P7. Complément à l’axiome 4

\fbox{(g \mid a, \; b, \; c) \; et \; (d=abcd) \Rightarrow (g \mid d)}
Si trois droites sont orthogonales à une droite g, alors c’est aussi le cas de leur produit.

Preuve : g \perp d \; ssi \; (g \mid d) \; et \; (g \neq d)

Comme pour la propriété précédente, l’assertion g \mid d est une conséquence immédiate de g \mid a, \; b, \; c. Il s’agit surtout de montrer la deuxième assertion, g \neq d. Comme ci-dessus, montrons le par l’absurde, en supposant g = d. Dans ce cas, on aurait a, \; b \; c \; \mid abc. Il en résulte que les trois droites sont deux à deux orthogonales, et par le théorème 2, que abc=1.
Or abc = d donc on aurait d = 1 ce qui est impossible puisque d est une droite.

P8. Réciproque de l’axiome 3

\fbox{Pour \; a \neq b, \;soit \; c \; tel \; que \; abc \in \Delta.\; Si \; P \mid a, \; b, \; alors \; P \mid c}
Si un point est incident à deux droites distinctes, alors toute droite en pinceau avec elles est aussi incidente à ce point.

Preuve : Soit b' une (en pratique la en hyperbolique) perpendiculaire à c incidente à P. Notons P' = b'c. Démontrer que P \mid c c’est démontrer que P' = P. On sait que P' \mid b', \; c.

Les trois droites a, \;b, \; et \; b' étant incidentes à P, on sait par l’axiome 3 qu’il existe une droite a' telle que abb' = a' et, par la propriété P6, que P \mid a'.
De plus comme a \neq b, on en déduit aussi que a' \neq b'.

On peut aussi écrire a'b'c = (abb')b'c = abc = d soit encore b'c = a'd et donc P' = a'd. Cette dernière égalité, par la propriété P1, permet d’affirmer que P' \mid a' (et que a' \mid d)
Les points P et P' vérifient donc P, \; P' \mid a' \; b', avec a' \neq b'. Par l’axiome 2, cela signifie que les points P et P' sont bien confondus.

P9. Réciproque de l’axiome 4

\fbox{Pour \; a \neq b, \;soit \; c \; tel \; que \; abc \in \Delta.\; Si \; g \mid a, \; b, \; alors \; g \mid c}
Si g est une perpendiculaire commune à deux droites distinctes, alors toute droite en pinceau avec elles est aussi orthogonale à g.

Preuve : Dans un premier temps remarquons qu’avec les hypothèses, on ne peut avoir c = g. En effet, avec a \mid g et b \mid g, si abg était une droite on aurait abgabg = 1 soit abggab = 1 et donc en définitive a \mid b. Alors, par la propriété P2, il viendrait abg = 1 donc pas une droite. Il en résulte donc que c \neq g.

Soit alors un point P quelconque, incident à c, soit P \mid c. Remarquons que le cas particulier P = g se traite trivialement car l’incidence s’écrirait effectivement c \mid g, soit la conclusion cherchée, puisque l’on a vu en préliminaire que c \neq g.

Nous sommes donc dans le cas où P \neq g. On sait alors qu’il existe une unique perpendiculaire à g issue de P, que l’on nommera c'. Démontrer le théorème c’est démontrer que c = c'

Sur cette illustration, c’ est la droite du pinceau P(ab), et c n’est pas une droite de P(ab).
à gauche, quand M se déplace M’ reste fixe (abc’ est une droite) mais pas N car abc n’est pas une droite.
à droite, en plaçant la droite c sur c’, N vient sur M’ et la médiatrice de [MN] est invariante : c’est une droite !

Puisque les trois droites a, \; b, \; c' sont orthogonales à la droite g, par l’axiome A.4, leur produit est une droite et ce produit (propriété P7) est aussi orthogonal à g : \exists \; d', \; abc' = d' \; et \; d' \perp g. Il en résulte la suite d’égalité dc = ab = d'c' et en particulier d = d'c'c.

Supposons alors que c \neq c'. On peut appliquer la réciproque de l’axiome 3 (P8 précédente) à la situation suivante : P \mid c, c' et cc'd' est une droite, donc P \mid d'. Et donc P \mid c', \; d', et même plus précisément P, g \mid c', \; d'. Or comme on est dans la situation P \neq g, il n’y a qu’une perpendiculaire à g issue de P, soit c' = d'. Les égalités de produit de deux droites ci-dessus aboutissent alors à ab = 1, soit a = b ce qui n’est pas. D’où la contradiction avec c \neq c'.

Haut de la barre d’onglet pour le théorème de Hjelmselv.

Hjelmslev

Le théorème fondamental des plans métriques

C’est en ces termes , “théorème fondamental”, que Bachmann mentionne à plusieurs reprises le théorème de Hjelmslev sur les pinceaux même si, dans le contexte de cette axiomatique, il va être élémentaire à montrer, et qu’il le nomme « Lotensatz » (kit de soudure ?).

Le théorème de Hjelmslev est important car il est une première caractérisation pour que trois droites soit en pinceau. C’est à partir de lui que les propriétés fondamentales des pinceaux de droites seront montrées.

Les propriétés précédentes portaient sur la composée de trois droites essentiellement en pinceau à centre ou à axe. Désormais on s’intéresse au mélange des points et des droites. En pratique il s’agit de caractériser les situations pour lesquelles un produit de type AbC est une droite de la géométrie et un produit de type aBc est un point.

Deux théorèmes préliminaires

Th.1. Lecture algébrique du théorème de Hjelmslev

\fbox{AbC \in \Delta \Leftrightarrow	\exists \;v \; / \; v \mid A, \;b, \; C}
Sauf cas bien particulier (elliptique) : AbC est une droite ssi (AC) est orthogonale à b.

Preuve : Si A=C, AbA est une droite par conjugaison, et il existe toujours une droite v \mid A, b : il suffit de prendre la (une) perpendiculaire à b passant par A. Le théorème est trivial dans ce cas particulier, on suppose désormais A \neq C.

On peut alors utiliser (Axiome A.1) la droite v=(AC) ie v \mid A, \; C. On considère deux droites particulières, a et c telles que a=Av=vA et c=Cv=vC les perpendiculaires à v passant respectivement par A et C. Remarquons que ces deux droites sont distinctes car A et C sont distincts. AbC s’écrit alors aussi vabcv.

Sens direct : Si AbC est une droite, par conjugaison, vAbCv est aussi une droite, soit v(vabcv)v = abc est une droite. On a vu que la propriété d’être en pinceau et indépendant de l’ordre donc acb est aussi une droite. Or on a déjà a \mid v et c \mid v. Alors par la propriété P9, réciproque de l’axiome 4, b \mid v.

Sens réciproque : Si b \mid v comme on a déjà a \mid v et c \mid v, par l’axiome 3, les trois droites a, \; b, \; c sont en pinceau et il existe d telle que abc = d, avec - propriété P6 - d | v et donc vdv = d, soit AbC = d et donc ce produit est bien une droite.

On peut même préciser ce résultat :

P10. Complément au Th.1

\fbox{Si \;AbC = d \; et \; v \mid A, \;b, \; C \; alors \; d \mid v}

Preuve : Si A \neq C, le complément à l’axiome A.4 - la propriété P7 - appliquée à la preuve ci-dessus montre le résultat.
Si A = C, on a d = AbA. Comme b \mid v par conservation de l’orthogonalité par isométrie, AbA \mid AvA, or AvA = v car v \mid a soit bien d \mid v.

Th.2. Théorème dual du précédent

\fbox{aBc \; est \; un \; point \; \Leftrightarrow	\; \exists \;v \; / \; v \mid a, \;B, \; c}
Sauf cas bien particulier (elliptique) : aBc est un point ssi b est sur une perpendiculaire commune à a et c.

Preuve : ce théorème se montre en revenant au précédent par conjugaison.
Sens direct : Si aBc est un point D, alors BcD=a et par le Th1 et la propriété P10 ci-dessus, il existe une droite v telle que v \mid B, \; c, \; D, \; a
Sens réciproque : si il existe une droite v \mid a, \; B, \; c, on peut poser b = Bv - ie B=bv=vb. On a donc v \mid a, \; b, \; c et par l’axiome A.4 il existe une droite d = abc, avec d \mid v (toujours la propriété P7).
Par hypothèse, vc = cv. On peut alors écrire aBc = abvc = abcv = dv qui est un point puisque d \mid v

P11. Complément au Th.2

\fbox{Si \; aBc = D \; et \; v \mid a, \;B, \; c \; alors \; D \mid v}

Preuve : en fait résulte immédiatement de la preuve ci-dessus (du sens direct).

Le Théorème de Hjelmselv

Dans la présentation de Bachmann, ce théorème est une lecture géométrique du Th.1 ci-dessus. Le théorème avait été montré dès les premiers travaux de Hjelmselv (1907) pour la construction axiomatique du plan euclidien à partir des symétries orthogonales.

Th.3 (première caractérisation de droites en pinceaux)

Soient \; a, \; a', \; b, \; c, \; c', \; cinq \; droites \; telles \; que \; aa'=A, \; cc'=C, \; avec \; A \neq C, \; et \; telles \; que \; abc \; soit \; une \; droite \;d
Alors \; a'bc' \; est \; une \; droite \; \Leftrightarrow \; d \mid (AC)

Preuve : a'bc' = a'(aa)b(cc)c' = AabcC = AdC.
Par le Th.1, a'bc' est une droite ssi il existe une droite v \mid A, \; d, \; C soit ssi (AC) \mid d.

On caractérise trois droites en pinceau - indépendamment du type de pinceau - à partir de l’existence d’un autre pinceau et d’une orthogonalité particulière.

Illustration du théorème de Hjelmselv

Dans l’illustration suivante a, \; b, \;c sont en pinceau, et d=abc. Pour rendre compte du théorème on a construit la perpendiculaire à d passant par A. Les droites a', \;b, \; c' sont en pinceau ssi cette droite passe par C.

Sur le dessin de gauche, la droite ne passe pas par C et on voit que les deux perpendiculaires communes PerpComm(a',b) et PerpComm(b,c') sont distinctes, à droite, C est incident à la perpendiculaire à (d et les perpendiculaires communes sont confondues.

Remarque euclidienne

La version euclidienne est intéressante à observer. Il y a deux types de cocyclicité sur un cercle dont le diamètre est porté par la droite b des deux pinceaux.Certaines propriétés liées à la cocyclicité avec les deux angles droits pourront avoir une version absolue en utilisant le théorème de Hjelmslev.

Par contre celle avec la cocyclicité par les angles inscrits (droites a et b et la perpendiculaire à d avec la droite c') n’ont aucune possibilité de généralisation, on montrerait que les angles des deux rotations produit de ces droites sont égaux ssi la géométrie est euclidienne.

Utilisations du théorème

Dans les démonstrations suivantes, on sera amené à utiliser plutôt les Th.1 et Th.2, parce que les démonstration sont, de fait, très algébrique. La version « géométrique » (la version originale du thèorème, est surtout utilisée dans des démarches constructives, comme çi dessous. Une exception, les théorèmes liés à la transitivité.

Existence d’une d’un pinceau donné incidente à un point donné

Th.4 :Soient a \neq c deux droites distinctes et M un point. Alors il existe une droite du pinceau P(ac) incidente à M.

Preuve : Soient a' \mid a, \; M et Soient c' \mid c, \; M les perpendiculaires à a et c respectivement, passant par M. Notons A=aa' et C=cc' les pieds des perpendiculaires correspondants.
Si A=C, alors le pinceau est à centre et donc la droite (MC) convient.
Si A \neq C, soit d \mid M, (AC) la perpendiculaire à (AC) passant par M. Alors a'dc' est une droite b (pinceau de centre M) et donc d=a'bc'. D’aprés le théorème de Hjelmslev abc est une droite et donc b est la droite cherchée.

Cette construction est indépendante du type de pinceau initial P(ab).

Un autre résultat constructif de l’aspect géométrique du théorème est la construction du produit de trois droites, qui sera largement utilisé (comme outil logiciel de la palette des outils de pinceaux) dans le prochain onglet.

Une des utilisations essentielles du résultat de Hjelmselv est le

Théorème de transitivité

Si \; a \neq b \; et \; si \abc \; et \; abd \; sont \; des \; droites, \; alors \; acd \; est \; une \; droite

Nous n’allons pas reproduire la preuve de ce résultat, il utilise six fois le théorème de Hjelmselv, cinq sens directs et un sens réciproque.

Ce théorème acquis on montre différents résultats sur les pinceaux de droites, que l’on supposera comme acquis pour la suite :
- ils sont définis par deux droites distinctes quelconques du pinceau,
- le produit de trois droites d’un pinceau est une droite du pinceau (non trivial pour le cas général sans support),
- l’intersection de deux pinceaux est au plus une droite.

Par exemple pour montrer que deux droites sont confondues, on pourra montrer qu’elles appartiennent à deux pinceaux distincts. Ce sera utilisé dans le prochain onglet, sur les bissectrices.

C’est après la présentation de cette théorie des pinceaux de droites que Bachmann aborde les premiers théorèmes sur les pinceaux de trilatères.

Haut de la barre d’onglet (pour les théorèmes sur les pinceaux)

Théo pinceaux

Quelques propriétés absolues sur les pinceaux

Dans la suite, on appelle trilatère la donnée de trois droites qui ne sont pas en pinceau, donc tel que le produit des trois ne soient pas une droite.

Contrairement au cas euclidien un trilatère n’est bien entendu pas nécessairement un triangle. Un trilatère peut avoir de 0 à 3 sommets, définis comme l’intersection de deux droites du trilatère.

D’une manière générale, le triangle est la donnée de trois points. Si on parle de côté dans la suite, ce sera essentiellement la droite passant par deux sommets. La notion de segment n’est pas définie dans ce qui suit, mais pour le cas hyperbolique qui nous intéresse, il n’y a pas de difficulté, le segment est bien ce qu’on imagine.

Le cas elliptique est plus délicat. Par exemple ; deux points ont deux milieux et comme il y a un segment intrinsèque, il y a un des deux milieux qui est LE milieu du segment.

Les médiatrices

Th.5
Soient A, \; B, \; C trois points. S’il existe deux droites u et v telles que A^u=B et B^v=C,
alors il existe une droite w, telle que u, \;v, \;w soient en pinceau vérifiant A^w=C

Preuve : Soit g la droite du pinceau P(uv) passant par B, alors ugv=w st une droite et A^w=A^{ugv}=B^{gv}=B^v=C (car B \mid g donc B^g=B).

Les bissectrices

Le cas des bissectrices est plus délicat. Comme on l’a vu dans la première partie, les bissectrices de trois droites en général peuvent ne pas être en pinceau. Par contre si deux bissectrices sont sécantes, on a ce résultat

Th.6 Bissectrices en pinceau à centre
Soient a, \; b, \; c trois droites et s’il existe u et v telles que a^u=b et b^v=c, et s’il existe un point I tel que I \mid u, \; v alors il existe w telle que a^w=c et u, \;v, \;w en pinceau.

Preuve : soit h une perpendiculaire à b incidente à JI, alors uhv est une droite w et u^w=a^{uhv}=b^{hv}=b^v=c, et u, \; v, \; w sont en pinceau.

Nous nous plaçons ici dans un cadre géométrique très général. Par exemple pour le cas hyperbolique réel, pour des raisons angulaires, deux bissectrices intérieures (non définies ici dans le cas général, mais qui correspond à c que chacun imagine) d’un triangle sont toujours sécantes, et donc les bissectrices sont bien en pinceau à centre.

Dans le cas général, on peut toutefois être plus précis dans le cas d’un triangle.

P12. Bissectrices d’un triangle
Si le trilatère est un triangle ABC, avec les notations du théorème précédent, en notant A=ur et B=vs, r et s étant les autres bissectrices du triangle, en A et B, alors rws est une droite.

Autrement dit deux bissectrices d’un type (intérieure ou extérieure) et la troisième de l’autre type sont en pinceau.

Preuve : dans le Th.6 on a vu que w=uhv ce qui s’écrit aussi h=uwv. Puisque h \mid b on peut appliquer directement le théorème de Hjelmsev, et donc rws est une droite.

Plus généralement, cette propriété dit que :
Dans un triangle, si un triplet de bissectrices est en pinceau à centre, les autres triplets de bissectrices (qu’il faudrait définir précisément) sont en pinceau.

Dans son exposé, Bachmann va un peu plus loin dans sa présentation des bissectrices, avec un résultat plus technique, basé sur les propriétés liées à la transitivité des pinceaux (en particulier que l’intersection de deux pinceaux est au plus une droite). Nous reproduisons ce résultat car il a une conséquence constructive intéressante, qui a été utilisée dans la construction de Malffati de la partie précédente :

Th.7. Bissectrices en pinceau
Soient a, \; b, \;c trois droites non en pinceau, et u et w deux droites telles que c^u=b et b^w=a. Alors :
S’il existe une droite v à la fois en pinceau avec a et c, et avec u et v, alors c^v=a.

Dans un trilatère, s’il existe deux bissectrices associées à deux paires de droite et si l’intersection du pinceau de ces bissectrices et du pinceau de la troisième paire de droites existe, alors cette intersection est bissectrice de cette troisième paire de droite (et en pinceau avec les deux autres).

Preuve : On a b^w=a et b^u=c et v \in P(ac). Il en résulte que cva =  b^uvb^w est une droite. Donc v \in P(ac) \cap P(b^ub^w).
De même par hypothèse, v \in P(uw) donc uvw est une droite. Or u(cva)w=b(uvw)b=(uvw)^b est une droite. Et donc b^uvb^w \in P(b^ub^w).
On a donc ce premier résultat : v, \; b^uvb^w \in P(ac) \cap P(b^ub^w)
Et montrer le résultat cherché, c’est montrer que ces deux droites sont égales. Pour cela il suffit de montrer que les deux pinceaux sont distincts. Par hypothèse l’intersection existe, c’est v, donc si les pinceaux sont différents, leur intersection étant au plus une droite, les deux droites seront égales.
Pour montrer que les deux pinceaux sont distinct, on peut montrer que b^u  \notin P(uw). On le fait par l’absurde. Si b^u  \in P(uw), le produit b^uuw=ubw serait une droite. Alors, en utilisant que ubw est alors égal à son inverse, on a :
cba=b^ubb^w=ub(ubw)bw=ub(wbu)bw =(wbu)b(ubw)=b^{ubw}
Et donc cba serait une droite comme image de b par une droite. Or par hypothèse les trois droites de départ ne sont pas en pinceau, d’où la contradiction.
On a donc v=b^ubb^w=cva, soit c^v=a.

Conséquence constructive
On a de plus uvw = u(b^uvb^w)w=(uvw)^b.
Comme uvw \neq b - sinon ubw serait une droite (on vient de voir que c’est impossible ci-dessus) - et qu’elle est stable par b, cela signifie qu’elle est orthogonale : uvw \perp b.

On a ainsi, par produit des bissectrices (dans le bon ordre, par permutation circulaire) la perpendiculaire à chacune des droites a, \; b, \;c et donc en utilisant l’item « produit de trois droites », par exemple, les point de contact pour les constructions des cycles inscrit ou exinscrits, indépendamment du type de cycle. En voici une illustration :

Les hauteurs d’un trilatère

Une hauteur d’un trilatère, on l’a vu, est l"intersection de deux pinceaux, celui dont la hauteur est issue (le sommet dans le cas euclidien) et le pinceau des perpendiculaires à la troisième droite du trilatère (le côté du triangle dans le cas euclidien). Comme telle, une hauteur peut ne pas exister. La rédaction du théorème en découle : on prend des perpendiculaires aux droites (première ligne) dont on suppose ensuite qu’elle sont en pinceau avec la paire de droites opposées (seconde ligne d’hypothèses). Alors, quand elles existent, ces droites sont en pinceau.

Th.8. Le pinceau des hauteurs
Soient a, \; b, \;c un trilatére non tripolaire (abc \neq 1), et u, \; v, \; w trois droites telles que :
u \perp a, \; v \perp b, \; w \perp c.
ubc, \; avc, \; abw sont des droites.
Alors uvw est une droite (ie les trois droites sont en pinceau)

Preuve : On note U=au=ua, \; V=bv=vb, \; W=cw=wc les pieds des hauteurs et p, \; q, \; r les droites ubc, \; avc, \; abw, respectivement.

On a les relations suivantes Up=abc, et donc Up=qV^c et Up = rW.
De même, puisque q=avc=cva, car une droite est égale à son inverse, on peut écrire
pqr =(ubc)(cva)(abw)=ubvbw=uv^bw=uvw car b \perp b.

Pour montrer que uvw est une droite, on va montrer que pqr en est une et plus précisément que ces trois droites sont en pinceau à axe, d’axe (UW), c’est-à-dire que la droite (UW) est la perpendiculaire commune à p, \; q, \; r.

• De abc \neq 1, on sait que Up \neq 1 et donc (propriété P4, unicité de la perpendiculaire hors polarité), il existe une unique droite b' perpendiculaire à p issue de U : b' \mid p, \;U.
• De Up=qV^c, on déduit que qUp=v^c est un point, et par le Th.2, on sait que qUp est un point ssi il existe une droite h \mid p, \; q, \; U.
• Donc h est la perpendiculaire commune à p, \; q passant par U, donc c’est la droite b'.
• Enfin la troisième égalité Up = rW s’écrit d’une part rUp=W soit rUp est un point et donc (toujours Th.2) b' \perp r. Elle s’écrit d’autre part rWp=U, on peut donc préciser (Th.2) que la perpendiculaire commune à r, \; p passe par W, soit b' aussi incidente à W.

En définitive b' = (UW) et p, \; q, \; r \mid b'. Par l’axiome 4, pqr est une droite, et donc uvw est une droite, de plus, orthogonale à (UW).

Pour illustrer sa démonstration et la propriété du triangle orthique (onglet suivant) Bachmann a regroupé toutes les données de cette figure et de la suivante d’une façon éclairante sur ses démarches (édition 1973) :

.

Le pinceau des médianes

Le cas des médianes, dans le contexte d’une géométrie absolue non différenciée, est bien plus complexe à obtenir. En effet, dans le cas elliptique il n’y a pas trois, mais 6 médianes, et comme pour les bissectrices, elles sont en pinceau par groupe (médianes « intérieures » et « extérieures ». Par ailleurs, il n’est pas non plus possible de montrer le point de concours des médianes (pinceau à centre) dans le cas général tout simplement car, même dans le cas euclidien, si le corps est de caractéristique 3, les médianes sont parallèles.

Bachmann montre très tard dans son exposé que les médianes sont en pinceau. Et, exceptionnellement, il le montre en séparant les géométries, i.e. en faisant une preuve dans le cas elliptique et une autre dans les autres cas.

Pour cela il utilise un outil fort puissant, que l’on ne développera pas ici, celui de l’antiappariemment : il s’agit des propriétés de la relation, au sein d’un pinceau P(ab) entre une droite u et son antiappariée u*=aub.

C’est avec l’antiappariement qu’il montre les propriétés de Pappus et Desargues des pinceaux en général.

Pour en revenir aux médianes, celles d’un triangle hyperbolique réel sont bien concourantes. Les preuves directes - en particulier celles dans les modèles, par calcul trigonométrique - sont plus abordables que les preuves « de seconde axiomatisation » de Bachmann.

Haut de la barre d’onglet (pour le dernier onglet sur d’autres propriétés)

Autres propriétés

Le Théorème des milieux

On a proposé une démonstration assez heuristique de ce théorème dans le cas hyperbolique dans l’article précédent en particulier basé sur la séparation des types de pinceau.

Voici la proposition équivalente dans la version « seconde axiomatisation ».

Th.8. - Théorème des milieux
Soit ABC un triangle. S’il existe deux points U et W tels que C^U=B et B^W=A,
alors il existe une droite v telle que UvW soit une droite et telle que C^v=A.

La droite passant par deux milieux des « côtés » d’un triangle et le troisième côté ont comme perpendiculaire commune une médiatrice des deux points de ce troisième côté.

Preuve : Soit g une perpendiculaire à (UW) issue de B. Par le Th.1 on sait que UgW est une droite v.
On a alors C^v=C^{UgW}=B^{gW}=B^W=A.
De plus, on sait par la propriété P10, complément au Th.1 que v \perp (UW)

Th.9. - Réciproque au théorème des milieux
Soit ABC un triangle. S’il existe une droite u et un point W tels que C^u=B \; et \; B^W=A alors il existe un point V tel que uVW est une droite et C^V=A.

La perpendiculaire à une médiatrice de deux sommets d’un triangle passant par un milieu d’un autre côté du triangle coupe le troisième côté en un milieu de ce côté.

Note : l’expression générique « un milieu » provient du fait qu’il y a en général deux milieux de deux points dans le cas elliptique. Pour la situation hyperbolique, il n’y a qu’un milieu l’énoncé serait plus classique.

Preuve : Soit s une perpendiculaire à u issue de W et r un perpendiculaire à s issue de B. Alors par le Th.2, uWr est un point P, et par le complément au Th.2 (P11), c’est un point de la droite s.
On peut écrire urW=uru(uWr)r=r^uPr. Toujours par le Th.2 et son complément, on a s \mid r, \; r^u, \; p donc r^uPr est un point V et précisément un point de s.
C^V=C^{urW}=B^{rW}=B^W=A Donc V est bien un centre de symétrie - un milieu - de C et A.

Les bissectrices du triangle podaire

Th.9. Triangle podaire
Le pinceau des hauteurs d’un trilatère est aussi un pinceau de bissectrices du triangle podaire associé.

Preuve : On reprend la figure et les notations associées à la preuve du théorème sur les hauteurs.
Comme on a montré que p, q, r \mid (UW), les droites p^c, \; q^c, \; r^c sont aussi en pinceau à axe, d’axe passant par W et U^c.
En utilisant q^c = cav=vac, on a p^cVq^c=U^c est un point et donc, toujours par le Th.2 et son complément P11,
il existe une droite h \mid p^c, \; q^c, \; V, U^c. C’est donc la droite h=(VW)

De même, les droites p^a, \; q^a, \; r^a sont également en pinceau à axe, d’axe passant par U et W^a.
D’autre part, avec r^a=bwa=awb, on a r^aVp^a=W^a donc il existe une droite g \mid p^a, \;r^a \; V, W^a. Cette droite est g=(VU).

De g \mid q^a, \; V et V \mid v on a g^v \mid \left( q^a \right) ^v, \; V^v
Or q^{av}=va(avc)av=cav=c(avc)c=q^c et donc g^v \mid q^c, \; V
Ainsi g^v=h soit :
Le symétrique de le droite (UV) par rapport à v est la droite (WV).

On ferait de même pour les autres hauteurs.

Résultats non développés

Plusieurs autres résultats euclidiens connus ont aussi une version absolue, comme on l’a vu, soit de par une utilisation de la cocyclicité compatible avec le théorème de Hjelmslev, soit encore par des propriétés de l’antiappariemment.

Par exemple l’isogonalité est aussi une propriété absolue mais elle ne conserve pas le type de pinceau.

Parmi les résultats non développés ici figurent la construction du corps, et les propriétés du corps de nombre en fonction des propriétés géométriques.

Une autre richesse de cette axiomatique est dans les caractérisations qu’elle dégage pour chaque géométrie dans la séparation qu’elle fait des géométries. Un autre sujet passionnant !

Haut de cette barre d’onglet


Téléchargement des figures de cet article

Même si elles sont souvent faciles à faire, sauf celle sur Malffati, elles peuvent parfois être longues à réaliser. Voici un dossier contenant 8 classeurs sur les figures ce cet article, répartis ainsi :

Trois classeurs sur le début de la première partie

Trois classeurs sur la configuration de Malffati

Deux classeurs sur la seconde partie

Télécharger les 8 classeurs

Zip - 298.2 ko
Pinceaux Hyperboliques - Bachmann


Les ouvrages de références

• BACHMANN Friedrich (1973), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Berlin, Springer. (première édition 1959)

Ce premier ouvrage est bien entendu la référence « absolue » ;-) sur ce thème.

• BACHMANN Friedrich (1974), « Absolute Geometry », in BEHNKE Heinrich, BACHMANN Friedrich, FLADT Kuno and KUNLE Heinz, eds, Fundamentals of Mathematics. Volume 2 : Geometry, Cambridge (Massachussets), The MIT Press, pp. 129-173.

L’avantage de ce chapitre est ... d’être en anglais. Par exemple la démonstration proposée pour les hauteurs est prise dans cet ouvrage, elle est différente des deux démonstrations des éditions de l’ouvrage principal.

• REINHARDT Fritz et SOEDER Heinrich (1997), « Géométrie absolue », in Atlas des mathématiques, Paris, coll. « La Pochothèque », pp. 133-143.

Ce troisième ouvrage, en français, est celui à partir duquel j’ai entendu parler de Bachmann pour la première fois. Présentation rapide mais claire et motivante ... n’est-ce-pas ?

Travaux antérieurs sur ce thème

(de l’auteur de l’article)

Ce n’est pas tout à fait vrai - c’était juste pour l’accroche du titre de l’article - qu’on puisse « enfin » faire de la géométrie aux pinceaux avec cette nouvelle version de CaRMetal. Bien entendu, on pouvait en faire auparavant dans tout logiciel ayant des macro-constructions. Il suffisait juste de faire les macros, ce qui n’est plus nécessaire dans CaRMetal (et fait donc une différence) ...

Une partie du travail proposé ici, aussi illustré dans le contexte elliptique, a déjà été rédigée en ligne, au début des années 2000 avec Cabri-géométre et en particulier avec CabriJava. Toutefois, il n’y a que les premières conséquences des axiomes qui avaient été illustrées, pas les résultats sur les trilatères.

C’est sur le site abraCadaBRI (ancien site « Cabri » de l’auteur de cet article), autour de cette page d’entrée (par exemple la propriété 5, non détaillée ici est sur cette page, avec des illustrations dynamiques elliptiques). Et les applets fonctionnement encore : le travail de Gilles Kuntz était vraiment robuste ... encore merci à lui !!!

Néanmoins avec la présentation actuelle des outils intégrés dans le logiciel CaRMetal, et les illustrations des théorèmes sur les pinceaux, chacun peut, s’il le souhaite, explorer cette géométrie des pinceaux le plus simplement possible.

Un travail écrit plus approfondi - dont tout ceci est issu - est disponible dans ce document (PDF 139 pages largement illustré) de cette page. On peut aller plus loin sur les GNE en parcourant les chapitres 2 et 3 de ce travail (il n’est pas garanti que les macros elliptiques proposées continuent de fonctionner sur les versions actuelles de Cabri, mais a priori la plupart des figures oui)

Autre point de vue sur les G.N.E. L’approche de Daniel Perrin

Le travail de Bachmann, aussi passionnant et complet qu’il soit, n’est qu’une approche de la présentation axiomatique de la géométrie. D’autres présentations sont tout aussi pertinentes, avec un objectif initial se référent aussi au « calcul de Leibnitz », mais avec des développements totalement différents.

Ainsi, Daniel Perrin a entrepris depuis quelques année une synthèse géométrique en ce sens qu’il présente lui-même ainsi dans son introduction :


Avant d’entrer dans le vif du sujet, je souhaite avertir le lecteur en précisant ma vision de la géométrie. C’est d’ailleurs à dessein que je parle de la géométrie plutôt que des géométries, alors que ce livre en étudie pourtant au moins cinq (les géométries projective, elliptique, hyperbolique, anallagmatique et euclidienne). En effet, je voudrais insister ici plus sur son unité que sur sa diversité. Dans la postface, en revanche, je mettrai l’accent sur la singularité de la géométrie euclidienne.

La géométrie que j’essaie de d ́écrire ici est celle d’un géomètre très algébriste par sa formation, qui se reconnaît d’abord comme un disciple de Klein et de son célèbre programme d’Erlangen et dont le but plus ou moins avoué est la construction d’un calcul géométrique tel que le rêvait Leibniz :

Je crois qu’il nous faut encore une autre analyse proprement géométrique linéaire, qui exprime directement la situation comme l’algèbre exprime la grandeur. ... Les calculs y sont de véritables représentations de la figure et donnent directement les constructions.

Bref, tenter de réconcilier l’algèbre et la géométrie : voilà mon objectif.

Son ouvrage est prévu en 6 parties, dont 4 sont déjà rédigées et disponibles en ligne. La partie IV, mise en ligne en juin 2011, est consacrée aux géométries non euclidiennes. Cette partie IV fait à elle seule 360 pages. Le point de vue est trés différent de ce qui est présenté ici, mais les outils mis en œuvre pour obtenir les propriétés absolues sont d’une efficacité telle qu’on est vite récompensé de faire l’effort nécessaire pour rentrer dans cette présentation.
Bref, c’est l’autre référence absolue... et en plus en français.

Références plus classique

Jacqueline LELONG-FERRAND a publié, en 1985 aux PUF un ouvrage intitulé « les fondements de la géométrie » qui s’inscrit dans un travail depuis devenu classique, rédigé avec clarté. Le dernier chapitre est consacré à la géométrie hyperbolique et reprend des thèmes comme le quadrilatère de Saccheri par exemple.

Références anglosaxonnes

De nombreux ouvrages de références anglosaxons peuvent être cités, dont au moins ces trois-là :

HARTSHORME Robin (2002), Geometry : Euclid and Beyond, Springer.

HENLE Michael (1996), Modern Geometries : the Analytic Approach, Upper Saddle River (New Jersey), Prentice Hall.

GREENBERG Marvin Jay (1997 3e éd.), Euclidean and non-Euclidean Geometries. Development and History, San Francisco, Freeman (1re éd. : 1974).


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 21 juin 2017, 14h-18h, 146 route de Grand-Coude, Saint-Joseph


Brèves

DGPad à Limoges

mercredi 19 avril

L’IREM de Limoges a réussi à inscrire au P.A.F. une journée de présentation de DGPad ; la tortue y a eu un franc succès. Voici le compte-rendu. Il y a des ressources à réinvestir en classe, n’hésitez pas à y puiser !

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

Statistiques

Dernière mise à jour

mercredi 9 août 2017

Publication

760 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

104 aujourd'hui
404 hier
2073168 depuis le début
11 visiteurs actuellement connectés