Mélanges géométriques

mardi 29 novembre 2005
par  Baptiste GORIN

Cinq études géométriques pour faire réfléchir de manière attrayante du collège jusqu’à l’agrégation interne : découverte de l’arbelos, construction de l’heptagone régulier, géométrie du compas, pentagramme de Miquel, propriété de cocyclicité associée aux médianes d’un triangle.

Une étude de l’arbelos

Les outils utilisés sont fort élémentaires (théorème de Pythagore à foison, théorème de Thalès), mais l’intérêt de cette étude est double :

- découvrir une figure aux propriétés remarquables faisant apparaître de nombreux cercles isométriques (dont les fameux cercles jumeaux d’Archimède) ;
- exploiter les propriétés d’une transformation souvent délaissée : l’inversion.

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Arbelos


À propos de l’heptagone régulier et de sa construction

Il est bien connu que la construction de l’heptagone régulier est impossible à la règle non graduée et au compas. L’objet de cette note est d’en donner deux constructions, la première, approchée, la seconde, exacte, en utilisant le compas et la règle marquée (construction de Neusis).

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Heptagone régulier


La géométrie du compas

Dans les treize livres des Éléments, les constructions géométriques étudiées par Euclide s’effectuent à la règle et au compas uniquement. Certains problèmes de construction se sont révélés impossibles à l’aide de ces seuls instruments ; il en est ainsi de la quadrature du cercle, de la duplication du cube et de la trisection de l’angle. Par ailleurs, il s’avère que si la construction d’un point peut être réalisée à la règle et au compas, elle peut l’être, en fait, au compas seul.

Cette note s’intéresse donc à la géométrie du compas. Des constructions effectuées à l’aide du compas, qu’elles soient élémentaires, classiques ou célèbres, sont tout d’abord présentées avant de démontrer le théorème de Mohr-Mascheroni. Nous nous situons au niveau du lycée, voire du collège pour les constructions les plus élémentaires, même si quelques démonstrations et constructions font appel à l’inversion.

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Géométrie du compas


Deux problèmes de cocyclicité

Deux problèmes de cocyclicité abordés de manière un peu inhabituelle :

  1. le pentagramme de Miquel ;
  2. la cocyclicité des centres des cercles circonscrits aux six petits triangles découpés par les médianes d’un triangle.

Bien que la cocyclicité ait disparu du programme de terminale, ces deux problèmes seront utiles pour préparer l’écrit du CAPES et pour alimenter les leçons d’oral de l’agrégation.

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Pentagramme de Miquel
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Médianes et cocyclicité



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Promenade singulière sur les points singuliers

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Le livre promenades d’Étienne Ghys est disponible au téléchargement sur le site de l’ENS de Lyon. Largement illustré, ce livre consacré à un problème de Maxime Kontsevitch dont l’énoncé est plutôt élémentaire, est une promenade dans toutes les mathématiques, informatique comprise, et pourrait bien réconcilier informaticiens et mathématiciens !

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CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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