Utilisation de macros implicites sur la pseudosphère

(compléments à un diaporama relatif à Beltrami)
dimanche 17 mai 2009
par  Yves MARTIN

Quelques logiciels de géométrie dynamique autorisent de définir des objets implicites dans leurs macro-constructions. Si l’intérêt pratique est clair, dans un changement de géométrie cette possibilité prend une autre dimension : cela permet de se plonger totalement dans une modélisation particulière comme si on était dans la géométrie usuelle. En voici quelques exemples sur les surfaces pseudosphériques.


Préambule
Cet article est écrit en complément au diaporama Beltrami sur les surfaces pseudosphériques de la Galerie des utilisateurs de CaRMetal pour mettre en œuvre les macros et mieux entrer dans le détail des actions possibles.
Il suffit de manipuler les figures de ce diaporama pour disposer du préalable culturel nécessaire sur le sujet, préalable que des visiteurs arrivant sur cette page sans l’avoir vu peuvent ne pas toujours avoir ... implicitement.
Les lecteurs non familiers des questions abordées - en particulier pour la fin de l’article - se reporteront à ce diaporama.

La première partie reprend la dernière figure du diaporama précité. Si on en vient, on peut passer à la deuxième partie.

1. Une première utilisation élémentaire des macros

Un clic-droit rapide dans la figure ci-dessous donne accès à un popup qui propose deux macros « PS Droite » et « PS Milieu » avec la précision « par uA et A ». Cela signifie qu’on va construire le segment [AB], par exemple, sur la surface en montrant seulement l’altitude uA du point A et le point A lui-même pour sa longitude, et de même pour B. En particulier on remarque qu’aucune donnée sur la pseudosphère n’est nécessaire : ces données sont implicites et reconnues par la macro.


C’est parce que l’on travaille sur une représentation plane de l’espace qu’il faut préciser l’altitude (uA) et la longitude (A) d’un point.

Pour construire les médianes, il faut les milieux des segments. La macro milieu renvoie bien entendu l’altitude du milieu en plus du point lui-même puisque l’altitude est nécessaire à la construction du segment allant d’un sommet du triangle au milieu du côté opposé.

Dans cette figure, les points A et B - et tout ce qui est construit - sont sur la feuille principale de la pseudosphère. Dans la figure suivante, nous allons utiliser des macros permettant l’enroulement des points.

2. Constructions enroulées sur la pseudosphère

Dans cette partie, la figure (plus longue à charger) proposes de nombreuses macros qui illustrent bien les possibilités de réalisation de géométrie intrinsèque sur la pseudosphère.

Premier exemple : les droites enroulées.

On peut reproduire la figure le médianes multifeuilles avec les premières macros (droites et milieux). Puisque nous prenons en compte une longitude des points sur plusieurs tours, on ne peut plus les montrer sur la pseudosphère, on prend leurs coordonnées « enroulées » de manière numérique. Toutes les macros prennent comme données les valeurs numériques (LuA et rdA suffisent pour deux points).

Quand on a fait une figure, il suffit de recharger la figure pour repartir d’une figure vierge. (On peut aussi télécharger la figure pour continuer en local).

Second exemple : le cercle circonscrit

Les macros fournies permettent de réaliser des figures plus complexes, en particulier en utilisant les macros rendant les constantes dites c et k2 des droites (un peu comme a et b dans y=ax+b). Les figures du diaporama proposé en préambule sont souvent faites de cette façon.

Par exemple pour tracer le cercle circonscrit, on commencer par utiliser la macro qui renvoie les constantes des médiatrices de deux points puis la macro qui renvoie l’intersection de deux droites (par latitude, longitude). On termine par la macro cercle qui demande les coordonnées du centre et d’un point.

On peut faire de nombreuses autres constructions avec les macros proposées, en particulier en téléchargeant les figures en fin d’article. On remarquera que pour éviter de surcharger les figures, même si les macros prennent les données enroulées, plusieurs ne donnent que la trace sur la feuille principale car quand trois droites s’enroulent sur plusieurs feuilles la figure devient vite illisible

3. Utiliser la conjugaison

Dans cette partie, nous allons réaliser une figure qui n’est pas dans le diaporama : le symétrique d’un triangle par rapport à une droite. La figure est déjà préparée : la droite et le triangle sont déjà sur la pseudosphère, construits de manière intrinsèque. Les points images sont présents dans le disque de Klein-Beltrami (KB dans la suite).

La manipulation consiste à construire la droite hyperbolique dans KB passant par M’ et N’ (macro KB Droite sur ces deux points). Puis on construit les symétriques de A’, B’, et C’ par rapport à cette droite dans KB (macro KB Sym Ortho). Même si on ne peux pas les nommer dans l’applet, on les appellera A« , B » et C". On construit alors chaque segment image (euclidien avec l’icone de segment euclidien car dans KB les segments sont euclidiens).

Pour renvoyer les segments sur la pseudosphère, il faut créer un point sur chacun des 3 segments A« B » et [B« C »] et renvoyer ce point sur la pseudosphère par la macro DL vers PS 1 point. On termine la figure en faisant les lieux des trois points images sur la pseudosphère. On peut gommer toutes les constructions intermédiaires.

On notera par exemple que la macro DL vers PS 1 point ne demande qu’un point, tout le reste (8 autres objets initiaux, de l’orientation de la PS à la position du disque KB) est totalement transparent.

4. Une construction sur la pseudosphère hyperbolique

Dans cette figure on dispose surtout de macros constructions dans le disque de Klein Beltrami et une seule de retour sur la pseudosphère hyperbolique (PSH). On voit que tout ce qui concerne à la fois la PSH ou sa relation avec KB est considéré implicitement, embarqué dans la figure et les macros.

On peut faire toute sorte de figures dans KB (médianes, cercle circonscrit etc etc). Pour les segments utiliser les segments euclidiens de même pour l’intersection. Là encore la macro de retour ne demande qu’un point, tout le reste est totalement implicite.


On prendra soin, si on veut construire une droite, de bien faire l’intersection avec l’équidistante (l’ellipse) car c’est elle qui représente les limites de la surface PSH.
Si on prend un point sur une droite complète de KB, la partie hors de la surface PSH produira un peu n’importe quoi, la figure n’est pas correcte car la bijection utilisée ne vaut que de la surface vers l’intérieur de l’ellipse et non pas vers l’intérieur du cercle.
On peut commencer par utiliser des segments pour les médianes par exemple avant de se lancer dans les droites (intersection avec l’ellipse puis prendre un segment entre ses intersections avant de prendre un point sur le segment pour l’envoyer sur la PSH).

Télécharger les 4 figures

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