Le Théorème d’Ayme

Au XXIe siècle on peut encore découvrir des résultats inédits sur le triangle !
mercredi 25 janvier 2012
par  Alain BUSSER

Pour célébrer le théorème d’Ayme sur le triangle, une vérification expérimentale de celui-ci est proposée ci-dessous, au format CaRMetal. La construction est explicitée étape par étape.

Construction

1) Départ

Le point de départ est un triangle ABC, et la donnée de trois points P, Q, R du plan (pas tout le plan tout de même) dont dépend la suite de la construction. Le cercle circonscrit à ABC jouera aussi un rôle dans cette aventure :

2) Le point P

La droite AP (qui répond au doux nom de cévienne issue de A) coupe le côté opposé en P1. De façon analogue on définit P2 et P3 (les « pieds des céviennes »). Les trois points ainsi construits forment un triangle dépendant de P (son « triangle cévien ») :

3) Le point Q

On fait pareil pour le point Q, ce qui définit un nouveau triangle cévien dont les sommets sont, dans l’ordre, Q1, Q2 et Q3 :

4) Le point R

Légère variante : On ne considère plus les intersections de (AR), (BR) et (CR) avec le triangle mais avec le cercle circonscrit :

5) Le point S1

Le cercle circonscrit au triangle P1Q1R1 coupe le cercle circonscrit à ABC en deux points ; l’un d’eux est R1, l’autre est un point nouvellement construit (avec l’option « loin de » de CaRMetal), appelé S1 :

6) Les points S2 et S3

On construit de même les points S2 et S3 :

7) L’énoncé du théorème

Les trois droites (AS1), (BS2) et (CS3) passent par un même point.

Les doites sont représentées en rouge ci-dessous :


Figure

Manipuler les sommets du triangle ou les trois points P, Q et R permet de se convaincre de la concourance des trois droites :

CarMetal - 10.6 ko
la figure au format CaRMetal
télécharger d’un clic puis ouvrir avec CaRMetal

TP

La construction à elle seule peut être un exercice qui

  1. familiarise les élèves avec le logiciel de géométrie dynamique
  2. familiarise les élèves avec la démarche algorithmique [1]
  3. permet une pédagogie différenciée (les élèves les plus rapides pouvant explorer les cas particuliers de céviennes)
  4. permet de signaler qu’un théorème sur le triangle dont l’énoncé est presque élémentaire, peut encore être découvert au XIXe siècle.

Voici l’énoncé du TP :

PDF - 99.8 ko
le sujet du TP en pdf
activité de construction en géométrie dynamique
  • Plusieurs élèves ont eu du mal avec le début de la construction, parce qu’ils ont coupé avec la droite (AP), non pas la droite (BC) mais le côté [BC] du triangle. L’effet de cette erreur est le même avec GeoGebra qu’avec CaRMetal : La figure ne résiste pas à un mouvement excessif du point P. Toutefois la correction est plus facile avec GeoGebra qu’avec CaRMetal, il suffit de redéfinir le point d’intersection en remplaçant le nom du segment par celui de la droite.
  • Certains élèves trouvent logique d’utiliser la gomme pour détruire des objets (cas de GeoGebra), d’autres trouvent logique de l’utiliser pour cacher un objet (cas de CaRMetal). Concrètement, pour eux, la différence entre les deux comportements se voit surtout lorsqu’on gomme un objet dont d’autres dépendent : Ceux-ci disparaissent avec GeoGebra, pas avec CaRMetal. Mais cette différence n’est pas vraiment perçue par les élèves, dont certains font un dessin plus qu’une figure.
  • La figure n’est vraiment correcte à la fin, que si le point Sa est « loin de » Ra ; sinon il peut coller à Ra avec certains mouvements de la souris, et la concourance n’est plus assurée. Alors qu’avec CaRMetal, il suffit de cliquer sur « loin de » puis sur le point Ra, la manipulation analogue est plus compliquée sous GeoGebra (créer deux points auxiliaires avec l’outil intersection, puis un point dont les coordonnées sont égales à l’un des deux selon des variables booléennes). De toute manière aucun élève n’a eu le temps de faire la construction en moins d’une heure avec GeoGebra, la construction semblant nettement plus rapide à faire avec CaRMetal, au moins pour ceux qui ont bien utilisé des droites dès le début).

Certaines des figures du TP sont visibles ici.


[1Par exemple, pour construire le point Pa, on applique l’outil intersection à (AP) et (BC), ce qui est impossible tant qu’on n’a pas construit ces deux droites. Et tant qu’on n’a pas construit Pa, on ne peut pas construire le cercle circonscrit à PaQaRa, ce qui empêche de finir la construction.


Commentaires

Logo de seguin
lundi 6 février 2012 à 11h19 - par  seguin

Après lecture, des remarques et des questions apparaissent naturellement
- Si on appelle I le point d’intersection du théorème , les rôles de R et de I peuvent se permuter

- Que se passe t il si on échange les rôles joués par le triangle ABC et son cercle circonscrit ?
c ’est à dire P1 et Q1 sont sur le cercle au lieu d"être sur (BC) et R1 est sur (BC) au lieu d’être sur le cercle
on obtient S1 comme deuxième point d’intersection du cercle circonscrit(P1Q1R1) avec (BC), R1 étant le premier
le résultat tient til toujours ?

- Que se passe t il si on itère la construction, I prenant la place de Q, P et R restant fixes(par exemple), on obtient I’, puis à son tour I’ remplace I ...........mouvement Brownien ?
Vite à nos logiciels !

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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 février 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 B
- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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