Du signe au symbole, la construction de la pensée mathématique

samedi 24 mars 2012
par  Francis DREY , Stéphane GOMBAUD

Cet article présente le compte rendu d’un atelier mathématiques-philosophie conduit en Seconde pendant l’année 2011-2012. Il est accompagné de documents relatant les interventions respectives du professeur de philosophie et du professeur de mathématiques :

  • Activités mathématiques du premier trimestre (F. Drey)
  • Cours sur le symbolisme mathématique (S. Gombaud)

Le projet initial

À la fin de l’année scolaire dernière, nous avons conçu ce projet d’intervention d’un professeur de philosophie en classe de Seconde, dans le cadre d’un cours de mathématiques.

Cet atelier a été rendu possible par une étroite collaboration des deux professeurs. Nous nous sommes réunis très régulièrement, dès le début du mois d’août, pour mettre au point le contenu et sa progression, pour échanger des références.

La part proprement mathématique de l’atelier

Les élèves de la classe retenue, Seconde 1 Abibac du lycée Leconte-de-Lisle, ont été avertis au début de l’année de l’intervention ponctuelle d’un professeur de philosophie, à partir du mois de novembre. Le professeur de mathématiques a néanmoins commencé le travail en amont, dès le début du mois de septembre :

  • dans son cours, il a introduit divers éléments d’histoire des mathématiques, en particulier sur le développement du calcul littéral ;
  • durant une heure par semaine, il a proposé divers problèmes aux élèves (problèmes de parité, codage et décodage affine, problèmes de calendriers) afin de préparer la notion de congruence ;
  • juste avant la première intervention du professeur de philosophie, il a exposé rigoureusement la notion de congruence, proposant la notation aujourd’hui en vigueur, montrant sa fécondité pour venir à bout de problèmes complexes comme le « problème du cuisinier chinois »).

Cet enseignement de mathématiques portant sur la congruence est hors programme. La notion de congruence ne doit être abordée qu’en Terminale S, rapidement. Mais cela nous a semblé particulièrement judicieux de la travailler, afin d’illustrer l’histoire des mathématiques de manière très précise (référence à l’œuvre de Gauss, les Recherches arithmétiques, que possède le CDI) et de pouvoir discuter la fécondité propre du symbolisme : la notation étant à la fois une façon économique de consigner un raisonnement mais aussi la matérialisation d’une forme de pensée experte qui peut inventer de nouvelles voies de résolution pour de vieux problèmes, voire en imaginer de nouveaux et ainsi frayer de nouvelles branches du savoir.

L’intervention du professeur de philosophie

Il a été prévu une dizaine d’heures de cours de philosophie, réparties sur l’année. L’intervention du professeur de philosophie a été pensée en deux périodes :

  • à la fin du premier trimestre, une réflexion critique sur la notion de signes, avec une application aux notations du mathématicien ;
  • durant le second trimestre (cela reste à faire) la lecture dirigée de réflexions de grands auteurs, toujours sur la question du symbolisme mathématique et les notions d’abstraction, de modélisation, de formalisation, de représentation.

Nous sommes à mi-parcours. Le professeur de philosophie est ainsi déjà intervenu cinq fois devant la classe de Seconde S1. La première fois, pour soumettre aux élèves un questionnaire individuel, permettant à chacun de livrer son avis sur ce qu’est un signe. Les autres séances ont été consacrées à la correction du questionnaire (non noté), en amenant des définitions et développant des thèses, mais aussi en reprenant et discutant des réponses fournies par les élèves (les copies contenaient de quoi faire !). Cette façon de procéder a permis d’impliquer davantage les élèves et de maintenir ouvert un dialogue, entre les élèves et avec les professeurs.

Un premier bilan

Les élèves se sont montrés curieux et assez dynamiques. Toutefois, nous avons pu constater leur difficulté à utiliser, d’un cours sur l’autre, un vocabulaire technique (les trois familles de signes icône, indice, symbole, en reprenant les mots de Peirce), des oppositions notionnelles (expression /communication).
Dès que la réflexion se fait plus précise, certains élèves ont le réflexe de dire « je n’y comprends rien »... mais tout en conservant leur sourire et restant à l’écoute. Il entre sans doute une part de jeu dans ce genre de réactions convenues, à l’égard de ce qui est pris pour de la philosophie ou de l’érudition en général ou encore des ratiocinations qu’il ne faudrait pas forcément prendre au sérieux.

Les deux thèmes majeurs de cet atelier sont la science et le langage. Dans le cadre d’une initiation à la philosophie, mêlant assimilation de connaissances d’histoire des sciences et incitation à la démarche réflexive, il n’était pas question de produire une réflexion très approfondie. Comment évaluer le cours proposé, qui tournait au cours magistral après un moment d’échanges ?

Pour ce qui est de ce premier moment, les élèves se sont montrés curieux. La question sur la notation de la musique et de la danse a ainsi suscité des réactions, notamment d’élèves pratiquant ces activités. L’intérêt a sans doute été moins vif pour ce qui a été ensuite proposé à l’attention, sous un mode plus magistral, les notations mathématiques en général et les notations des nœuds ou du calcul des probabilités en particulier. Que les élèves aient entendu parler de ces notations et qu’ils aient alors pris conscience de la formidable diversité des objets mathématiques, de la non moins formidable effectivité de cette science, est néanmoins essentiel, de notre point de vue.

Certains élèves ont réagi lorsque, par la suite, une comparaison des caractéristiques de la langue naturelle et du langage formel a été effectuée. Le professeur de mathématiques a saisi l’occasion d’intervenir, distinguant le sens équivoque du connecteur logique « ou », dans la langue de tous les jours, de son sens univoque, en mathématiques, utilisant alors les ressources de la logique formelle pour formaliser l’expression « la bourse ou la vie ». On peut espérer que ce genre de leçon a marqué les esprits.

Ainsi, le bilan semble globalement positif, pour l’ensemble de la classe. Le temps pris à construire une notion mathématique entièrement nouvelle, celle de la congruence, a permis une sorte d’apprivoisement des élèves. Le bon niveau en mathématiques des élèves a certes été un atout. Le volume horaire des interventions du professeur de philosophie, cinq heures prévues pour chacune des parties, était en revanche sans doute un peu insuffisant, obligeant à un rythme d’apprentissage élevé.

Conclusion provisoire

Ne cherchant pas à traiter en avance le programme de philosophie, nous avons essayé plus modestement d’illustrer la philosophie par l’exemple, et de montrer par notre coopération que les liens entre mathématiques et philosophie sont forts et profonds. Tous nos efforts pédagogiques ont convergé vers un seul résultat : pousser les élèves à initier une démarche critique personnelle vis-à-vis des connaissances que le lycée leur fournit.

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Activités mathématiques
Progression du trimestre 1
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Le symbolisme mathématique
Intervention du professeur de philosophie

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C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

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Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

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dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
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Allez-voir, c’est hallucinant !
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Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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