L’art de tendre des fils

dimanche 29 juillet 2012
par  Marc JAMBON

On donne deux demi-droites sécantes en O. Il s’agit d’étudier une famille de segments de droites [AB] dont l’extrémité A décrit la première demi-droite et l’extrémité B décrit la deuxième demi-droite de telle sorte que les distances OA et OB soient liées par une loi mathématique.

Les cas les plus simples qu’on va étudier plus en détails sont ceux où la somme ou bien le produit des distances reste constant. Il peut arriver que les segments [AB] semblent tous être « tangents » à une courbe que l’on devine visuellement et que l’on cherchera à déterminer mathématiquement. L’activité, accessible en classe de Seconde, permet de réinvestir de manière ludique les connaissances sur les fonctions carré et inverse.

L’énoncé à distribuer aux élèves est fourni à la fin de l’article. Il doit évidemment être donné sans les figures.

Définition de la notion de tangente dans un contexte mathématique restreint au programme de Seconde

Étant données une droite d’équation y = ax + b et une courbe d’équation y = f(x),
lorsque l’équation en x qui traduit la recherche de leurs points communs, à
savoir ax + b = f(x), se ramène, après réduction, à une équation du second degré en x qui s’écrit (à un facteur non nul près) sous la forme (x – t)2 = 0, où t est un nombre réel, la droite est dite tangente à la courbe au point d’abscisse t.

On interprète cela en disant que la droite coupe la courbe en deux points confondus. Le point commun (tf(t)) est appelé point de contact .

Un segment est dit tangent à une courbe lorsque la droite qui le porte est
tangente à cette courbe et que le point de contact est sur le segment.

La notion de tangente sera reprise, améliorée et complétée en classe de 1re (et au delà) dans le cadre de l’étude systématique de l’équation du second degré et de la notion de dérivée (et plus tard de la notion de courbe).

Réalisation pratique et artistique

Les segments [AB] prennent un nombre fini de positions [AuBu]. On réalise la figure restreinte aux seuls points Au, Bu sur papier.

On prépare une planche de contre-plaqué peinte en couleur sombre (noir mat par
exemple) suffisamment grande pour pouvoir y coller avec du scotch la figure papier ou mieux sa copie.

Sur la dite planche, on plante un petit clou à tête homme en chaque point Au et en chaque point Bu. On élimine la figure papier (ce qui a pour effet de la déchirer). Enfin, pour chaque u, on tend un fil de couleur claire entre Au et Bu.

Pour parachever son chef-d’oeuvre, l’artiste le signe, puis il l’expose en l’accrochant au mur.

Problème 1 : cas où la somme des distances est constante

On commence à réaliser un repère orthonormé avec pour unité 1 cm sur une feuille de papier format A4 (21,0 cm x 29,7 cm) quadrillée de carreau 0,5 cm de côté. On place les axes de façon à pouvoir effectivement graduer l’axe des abscisses entre –10 et +10, l’axe des ordonnées entre 0 et +10, et à avoir un bonne mise en page.

On définit, à l’aide de leurs coordonnées, onze points Au et onze points Bu numérotés par l’indice entier relatif u de –5 à +5.

A–5 (–10, 10) B–5 (0, 0)
A–4 (–9, 9) B–4 (1, 1)
A–3 (–8, 8) B–3 (2, 2)
A–2 (–7, 7) B–2 (3, 3)
A–1 (–6, 6) B–1 (4, 4)
A0 (–5, 5) B0 (5, 5)
A1 (–4, 4) B1 (6, 6)
A2 (–3, 3) B2 (7, 7)
A3 (–2, 2) B3 (8, 8)
A4 (–1, 1) B4 (9, 9)
A5 (0, 0) B5 (10, 10)

1. Représenter soigneusement les points Au, Bu et les segments [AuBu].

2. Ainsi, Au a pour coordonnées (–5 + u, 5 – u) et Bu a pour coordonnées (5 + u, 5 + u). Vérifier que les points Au d’une part, Bu d’autre part, sont alignés sur une demi-droite d’origine O, à préciser.
Évaluer la somme OAu + OBu. Est-elle bien constante ?

3. Rechercher les équations des droites (AuBu), on commencera par rechercher leur pente en fonction de u.

4. On propose comme courbe tangente à toutes ces droites, la courbe représentative d’une fonction paire polynômiale du second degré : y = cx2 + d,
c non nul et d sont des coefficients réels à déterminer.
Exprimer que la droite (A0B0) est tangente à cette courbe, en déduire d.
1er cadeau : si on n’a pas fait d’erreur, on trouve d = 5.
Exprimer que la droite (A5B5) est tangente à cette même courbe, en déduire c.
2e cadeau : si on n’a pas fait d’erreur, on trouve c = 1/20.
On appelle désormais P la courbe obtenue.

5. Vérifier que toutes les droites (AuBu) sont tangentes à P.
Indication : tout réduire au même dénominateur 20.
Préciser les coordonnées des points de contact, vérifier qu’ils sont bien sur les segments [AuBu], les placer sur la figure, enfin tracer la courbe P.

Problème 2 : cas où le produit des distances est constant

On commence à réaliser un repère orthonormé avec pour unité 0,5 cm sur une feuille de papier format A4 (21,0 cm x 29,7 cm) quadrillée de carreau 0,5 cm de côté. On place les axes de façon à pouvoir effectivement graduer l’axe des abscisses entre 0 et +30, l’axe des ordonnées entre 0 et +30 et à avoir un bonne mise en page.

On définit, à l’aide de leurs coordonnées, onze points Au et onze points Bu indexés par le paramètre réel u > 0. Les points Au sont placés sur le premier axe d’abscisse 60/u. Les points Bu sont placés sur le deuxième axe d’ordonnée u. Le paramètre u prend les onze valeurs : 2, 3, 4, 5, 6, √60, 10, 12, 15, 20, 30.

1. Représenter soigneusement les points Au, Bu et les segments [AuBu].

2. Évaluer le produit OAu x OBu. Est-il constant ?

3. Rechercher les équations des droites (AuBu), on commencera par rechercher leur pente en
fonction de u.

4. On propose comme courbe tangente à toutes ces droites, la courbe représentative d’une fonction homographique restreinte à x > 0 : y = k/x, où k est un coefficient réel non nul à déterminer.
Exprimer que la droite (A√60B√60) est tangente à cette courbe, en déduire k.
Cadeau : si on n’a pas fait d’erreur, on trouve k = 15.
On appelle désormais H la courbe obtenue.

5. Vérifier que toutes les droites (AuBu) sont tangentes à H.
Préciser les coordonnées des points de contact, vérifier qu’ils sont bien sur les segments [AuBu], les placer sur la figure, enfin tracer la courbe H.

 

Documents joints

L'art de tendre des fils
L'art de tendre des fils
Énoncé à distribuer aux élèves

Commentaires

lundi 14 octobre 2013 à 07h02

Je ne connais aucun nom particulier à la figure constituée par les fils tendus. Mathématiquement, il s’agit d’un cas particulier d’enveloppe d’une famille de droites. La première courbe engendrée est un arc de parabole, la deuxième un arc d’hyperbole.

Logo de choudu13014
dimanche 13 octobre 2013 à 18h45 - par  choudu13014

je voudrais savoir comment s’appelle la figure avec les fils car c’est bien expliquer mais il n’y a marquer nul part comment se nomme cette figure avec les fils

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Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

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