Les graphes, pour quoi, pour qui, et pourquoi pas pour des collégiens ?

mardi 7 août 2012
par  Nathalie DAVAL

Pourquoi ce titre et comment est née cette idée de créer un article sur le sujet ?

La première année du changement de programme de terminale ES en 2002, j’ai eu l’opportunité de corriger des copies de terminale ES spécialité mathématiques lors d’un bac blanc. C’est à cette occasion que j’ai pour la première fois découvert les graphes.

J’ai été d’emblée séduite par le concept et l’aspect ludique des graphes.
L’occasion m’a été donnée cette année d’aller un peu plus loin sur le sujet : en effet, pour le mémoire du master mathématiques-enseignement, mon choix s’est naturellement porté sur les graphes et sur ce que l’on pouvait en faire au collège.

Les graphes, pour quoi ?

L’histoire de la théorie des graphes débuterait avec le mathématicien suisse Leonhard Euler au 18e siècle et trouve son origine dans l’étude de certains problèmes, tels que celui des ponts de Königsberg, la marche du cavalier sur l’échiquier, le problème du coloriage de cartes et du plus court trajet entre deux points.

C’est plus récemment, en 1822, que le mot « graphes » est introduit par le mathématicien et géomètre anglais James Joseph Sylvester.
L’avènement des graphes est alors une révolution conceptuelle qui fait voler en éclats plus de deux millénaires de géométrie : en théorie des graphes, la forme n’a pas d’importance, c’est-à-dire que tous les repères géométriques hérités de la géométrie euclidienne classique deviennent caducs, au profit d’une notion unique, celle de lien entre les points. Depuis le début du 20e siècle, cette théorie constitue une branche à part entière des mathématiques.

Il y a actuellement plusieurs types d’applications, mais la principale se rencontre en informatique. Les graphes sont une structure mathématique particulièrement bien adaptée à l’ordinateur : ils servent de structure de données, c’est-à-dire qu’ils permettent d’organiser des ensembles d’objets (des noms, des nombres, des suites d’opérations…) de façon simple et pratique à exploiter.

Les graphes, pour qui ?

Pour toutes ces raisons, la question d’installer à moyen terme les graphes dans les curricula du collège ne semble pas complètement saugrenue. Tout comme les probabilités et les statistiques ont fait leur apparition il y a quelques années au lycée, puis au collège plus récemment, cette intégration montre l’intérêt en général du renouvellement des curricula en adéquation avec les outils des problématiques sociales actuelles.

La question que nous pouvons nous poser au départ est : pourquoi un chapitre sur les graphes apparaît-il seulement dans les programmes de la spécialité mathématiques de terminale ES ?
Serait-il pertinent d’insérer cette branche des mathématiques dans d’autres classes ?

J’ai donc testé si les graphes pourraient être traités dans des classes de collège, à condition bien évidemment que le contenu soit adapté !!!

Cet article est ainsi constitué de deux parties :

  • une première partie théorique d’initiation à la théorie des graphes se rapportant au programme actuel de terminale ES spécialité mathématiques ;
  • une seconde partie avec une perspective plus didactique et pédagogique sur l’expérimentation de quelques notions de graphes dans des classes de collège, en particulier en sixième, cinquième et quatrième.

Premier document

La première partie porte sur la mise en place de quelques exemples de la vie courante et du vocabulaire de base, puis sur les différentes utilisations pratiques des graphes :

  • recherche de l’existence d’une chaîne ou d’un cycle eulérien ;
  • coloration d’un graphe ;
  • recherche d’une plus courte chaîne d’un graphe pondéré ;
  • caractérisation des mots reconnus par un graphe étiqueté ;
  • recherche d’un état stable d’un graphe probabiliste ;
  • caractérisation des graphes planaires.
PDF - 685.3 ko
Cours sur les graphes
Niveau Terminale ES
(version couleur)
PDF - 1.6 Mo
Cours sur les graphes
Niveau Terminale ES
(version noir et blanc)

Second document

La seconde partie concerne le compte rendu de l’expérimentation faite en classe sur les thèmes des graphes planaires, des chemins et de la coloration des graphes.
Ce document est accompagné de l’ensemble des fiches données aux élèves lors de l’expérimentation.

Concernant ce premier test en collège, les différentes séances menées sur les graphes ont été accueillies plutôt favorablement par les élèves (le thème a été plutôt accrocheur car ludique et très différent de ce qu’ils ont l’habitude de faire).

PDF - 1.4 Mo
Les graphes au collège
Compte rendu d’expérimentation en 6e, 5e et 4e
PDF - 176 ko
Fiches sur les graphes
Documents de travail distribués aux élèves

Perspectives éventuelles

Le nombre de concepts étudiés est sans aucun doute un peu ambitieux, et le choix de conduire la même expérimentation pour les trois niveaux de sixième, cinquième et quatrième a servi à tester à quel niveau correspondait le mieux telle ou telle notion.
Il est clair que toutes les notions étudiées ici ne doivent pas figurer dans un seul niveau de classe, mais qu’il faut en effectuer une répartition intelligente.

S’il fallait introduire des notions de graphes au collège, cela pourrait par exemple se faire suivant le programme suivant :

  • les premiers éléments des graphes, de par leurs aspects ludiques, installent une véritable dévolution des problèmes rencontrés en classe de 6e ;
  • les notions de chaine et de cycle sont l’occasion, dès la classe de 5e, de traiter de raisonnements mathématiques et d’aborder la distinction entre un cas général et un cas particulier ;
  • la notion de chaine eulérienne est une ouverture vers d’autres démonstrations arithmétiques en classe de 4e ;
  • la colorisation pourrait être réservée à la classe de 3e, en prenant le temps d’en détailler un algorithme.

On peut cependant se demander si un tel saupoudrage ne conduirait pas à une trop grande dispersion, et s’il ne vaudrait pas mieux se limiter à deux niveaux, par exemple 4e et 3e ?

Évolution dans les programmes actuels

En Terminale ES, des changements sont d’ores et déjà en cours pour la rentrée 2012 : l’option mathématiques a disparu en première, et la spécialité a perdu 30 minutes. En revanche, tous les contenus inhérents aux graphes sont maintenus, au détriment des équations cartésiennes de l’espace, des suites et des fonctions à deux variables, preuve de l’engouement pour la notion.

De même, l’enseignement de l’ISN (Informatique et Sciences du Numérique) comme quatrième spécialité offerte en terminale S à la rentrée 2012 implique l’utilisation de graphes en lien avec l’informatique : structuration et organisation de l’information (des documents unis par des liens hypertextes fournissent un exemple de classement de type graphe), algorithmique avec la recherche d’un chemin dans un graphe par un parcours en profondeur (DFS), les réseaux et le routage (de type arborescent et de type graphe).


Commentaires

Logo de Alain BUSSER
jeudi 9 août 2012 à 11h55 - par  Alain BUSSER

Excellent questionnement, mais il me semble qu’il manque une information dans la conclusion : Cette année, l’exercice 1 du Rallye mathématique de la Réunion portait sur la notion de degré d’un sommet d’un graphe...

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 8 mars 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 12 avril 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mardi 13 juin 2017, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 14 juin 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6

Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

Galeries CaRMetal

dimanche 19 avril 2009

Le site CaRMetal autorise depuis le 19 avril la possibilité pour les utilisateurs de mettre en ligne leurs propres galeries. Un premier diaporama venant de notre IREM est disponible (sur l’aimantation). D’autres (Alain ?) devraient suivre assez rapidement.

Statistiques

Dernière mise à jour

dimanche 26 mars 2017

Publication

735 Articles
Aucun album photo
128 Brèves
11 Sites Web
126 Auteurs

Visites

255 aujourd'hui
1177 hier
1966198 depuis le début
38 visiteurs actuellement connectés