Mathématiques constructives

Une relecture des programmes du secondaire
vendredi 5 octobre 2007
par  Marc JAMBON

Des contributions originales de Marc Jambon, maître de conférences à l’université de La Réunion, pour relire les programmes du collège et du lycée à la lumière des mathématiques constructives.

Proposition pour une axiomatique de la géométrie euclidienne plane en classe de sixième

octobre 2005, version corrigée en octobre 2007

L’axiomatique proposée est conforme au programme du B.O. hors série n° 5 du 9 septembre 2004. Dans l’esprit de ce programme, les énoncés appelés axiomes traduisent une suite de manipulations et observations. Les démonstrations sont de courtes phases déductives. Certaines propositions, au choix du professeur, pourront être remplacées par des axiomes surabondants sans démonstration. Des figures géométriques interactives, réalisées avec Cabri-géomètre, accompagnent le texte.

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Axiomatique de la géométrie
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Figures Cabri


Réflexion sur la notion de calcul et d’algorithme : le Continu algorithmique

janvier 2005

Une formalisation satisfaisante de la notion de fonction calculable ne peut se faire que dans un environnement « logique intuitionniste ». On propose, dans ce contexte, différents types d’algorithmes : élémentaires, primitifs récursifs et d’autres illustrés par des documents Mathematica en annexe ; on discute de leur adéquation. On dispose alors d’une bonne base pour définir un Continu algorithmique dans lequel on saura démontrer le théorème de l’éventail sans aucun autre axiome.

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Continu algorithmique
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Fichier Mathematica


La droite graduée : représentation intuitionniste du Continu

novembre 2003

Au collège et au lycée, la référence mathématique qui justifie les manipulations de grandeurs continues est la droite graduée. En vue d’effectuer une mesure directe, la lecture d’un instrument, type double-décimètre, fournit un nombre décimal qu’il y a lieu d’interpréter comme un encadrement, l’ordre de grandeur de l’approximation se jouant sur la dernière décimale écrite. D’autres mesures indirectes, type aire, volume, nécessitent, si on veut rester rigoureux, de faire appel au calcul sur les encadrements. Le résultat se présente alors comme un couple de deux nombres : encadrement ou valeur approchée, incertitude ; quitte à perdre de la précision par arrondi ou troncature on aimerait le faire ressembler au résultat d’une mesure directe. C’est à partir de ces idées qu’on va proposer une représentation bien formalisée d’un Continu intuitionniste insécable destiné à se substituer au R classique. On ne pourra s’empêcher de se poser la question de savoir quelles sont les applications (continues ?) morphismes de cette nouvelle structure.

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Droite graduée


Géométrie avec ou sans tiers exclu ? Motivation pour l’intuitionnisme à travers la géométrie

novembre 2003

La réalité des figures géométriques n’incite pas à fonder une géométrie axiomatique sur l’axiome du tiers exclu. C’est pourquoi l’intuitionnisme de Brouwer nous paraît particulièrement intéressant.

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Géométrie sans tiers exclu


Errata :
- Figure 14, p. 97 : mettre la lettre D à côté de la droite située en bas de la page.
- Proposition 4, page 98 : en troisième ligne de la démonstration, lire « ... les droites (AB) et D2 sont sécantes et aussi (AB) et D1 selon Dp2, et donc (Ds)... ».
- Proposition 7, p. 99 : en ligne 2 de la démonstration, lire « ... donc il existe B, par exemple sur D2, distinct de D1. Soit A un point de D1 ; les droites... ».

Limites à partir des suites de référence

novembre 2003

Après une période d’une vingtaine d’années (1960 à 1980) où l’on a connu une formalisation de l’enseignement des mathématiques avec prédominance du Bourbakisme (théorie générale pour aboutir au particulier), on a assisté depuis une décennie à un renversement partiel de tendance. L’introduction des limites à partir des suites de référence constitue une tentative en ce sens. Je vais ici tenter de m’y associer en présentant un exposé aussi structuré que possible basé sur les suites de référence. Une telle exposition n’existe nulle part à ma connaissance dans le cadre de l’enseignement secondaire, qui se borne à un catalogue de définitions et de résultats (dans cette rubrique comme dans d’autres), ni dans l’enseignement supérieur.

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Limites et suites de référence


Relecture des programmes du secondaire à la lumière des mathématiques constructives

novembre 2003

Quelques réflexions conformes à l’esprit des programmes : « Entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique, en développant conjointement les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique ».

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Relecture constructive



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Séminaire EDIM-IREM

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Colloque EDIM-IREM

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Promenade singulière sur les points singuliers

vendredi 24 août

Le livre promenades d’Étienne Ghys est disponible au téléchargement sur le site de l’ENS de Lyon. Largement illustré, ce livre consacré à un problème de Maxime Kontsevitch dont l’énoncé est plutôt élémentaire, est une promenade dans toutes les mathématiques, informatique comprise, et pourrait bien réconcilier informaticiens et mathématiciens !

Gerbert sur Youtube

lundi 13 août

L’abaque de Gerbert possède désormais sa chaîne sur Youtube. Cela permet de se familiariser avec cet outil « innovant » pour l’apprentissage du calcul en cycles 2 et 3.

Nouveau record de nombre premier

mercredi 10 janvier

Depuis fin 2017, le plus grand nombre premier connu est 277 232 917-1, il s’agit donc d’un nombre de Mersenne. Son écriture décimale comprend plus de 23 millions de chiffres. On notera que cela signifie que 77 232 917 est lui-même un nombre premier (résultat de Fermat).

Comprendre la logique Shadok

dimanche 30 avril 2017

Le meilleur cours de maths Shadok jamais réalisé...
Vidéo succulente ajoutée sur la canal des archives de l’INA le 26 avril 2017.

Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars 2017

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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