Simulation de variables binomiales

dimanche 16 décembre 2012
par  Alain BUSSER

Selon ce modèle, le nombre de boules rouges extraites (avec remise) d’une urne qui en contient une proportion p, suit une loi binomiale de paramètres n (le nombre de boules dans l’échantillon) et p

Triangle de Pascal

Pour commencer, on peut assez facilement dessiner un triangle de Pascal dans le transcript :

  • cr va à la ligne (nécessaire après avoir incrémenté n, puisque dans ce cas la ligne de n est terminée)
  • tab va à la prochaine position « tabulaire » du transcript ; c’est ce qui permet d’écrire des colonnes verticales. Il faut dédoubler le nombre de « tab » pour écrire le triangle de Pascal à partir de la ligne 9.

Loi binomiale

Donc, pour simuler une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres 12 et 0,6 par exemple, on simule le tirage de 12 boules (avec remise) dans une urne contenant 60 % de boules rouges, et on compte le nombre de boules rouges obtenues parmi les 12.

Ici, l’urne contient 100 boules au total (c’est un choix parmi bien d’autres) et le tirage avec remise se fait dans un sac appelé ech initialement vide, mais dans lequel on ajoute à 12 reprises une boule tirée au hasard dans l’urne. Une fois que le comptage des boules rouges dans l’échantillon est effectué, on ajoute la variable binomiale dans un autre sac appelé stats sur lequel on peut à la fin faire des statistiques comme par exemple dessiner son diagramme en bâtons :

Pour comparer avec la formule théorique, on doit multiplier celle-ci par un grand nombre (ici 1000) pour éviter que des erreurs d’arrondi perturbent l’affichage :

extensions

Pour simuler une variable aléatoire de Poisson, il suffit donc de simuler une variable binomiale de paramètre n grand, et de paramètre p égal au quotient du paramètre de la loi de Poisson par n. Par exemple pour simuler une variable de Poisson de paramètre 2,5 on peut utiliser le fait que 100×0,025=2,5 et simuler une variable binomiale de paramètres 100 et 0,025 :

C’est long mais précis (le diagramme en bâtons théorique est à droite).


Pour simuler une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite, on peut simuler une variable binomiale de paramètres n assez grand et p=0,5 puis centrer et réduire le résultat. À partir d’une variable X normale centrée réduite, on peut simuler une normale d’espérance m et d’écart-type s en multipliant X par s puis en ajoutant m au résultat.

Par exemple, pour simuler une variable normale de paramètres 16 et 2,5 on peut faire ainsi (très rapide) :

Loi géométrique

Pour simuler une variable aléatoire suivant une loi géométrique, on peut utiliser sa définition temporelle : Compter à combien on doit s’y prendre pour avoir une boule rouge ; par exemple, une variable géométrique de paramètre 0,17 peut se simuler en mettant 17 boules rouges dans une urne en contenant 100 en tout, et en comptant combien de fois on doit en reprendre une avant d’avoir une rouge :

La variable aléatoire s’appelle instant. Il faut peu de modification pour avoir une variable suivant une loi géométrique tronquée :

extension

Pour simuler une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, on peut simuler une variable géométrique de paramètre petit ; par exemple, pour simuler une variable exponentielle de paramètre 2,5 on peut utiliser le fait que 100×0,025=2,5 et mettre 25 boules rouges dans une urne en contenant 1000 au total : Le centième de la variable géométrique simulée suit approximativement une loi exponentielle de paramètre 0,01×0,025=2,5 :

Un cours rapide sur la loi binomiale a été fait en terminale STI2D, le récit est ci-dessous :

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Brèves

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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