Problèmes de naissances, d’anniversaires et de Monty Hall

dimanche 16 décembre 2012
par  Alain BUSSER

Quelques problèmes classiques de simulation, traités algorithmiquement.

Contrôle des naissances

Voici une approche algorithmique de ce célèbre problème :

Pour limiter le nombre de filles dans un pays, on décide que :

  • chaque famille aura au maximum 5 enfants ;
  • chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.

Question : Est-ce que ça marche ?

Comme la variable bébé est un tableau contenant les deux mots « garçon » et « fille », on peut simuler une naissance par bébé auHasard. Simuler une fratrie est plus compliqué : On initialise la fratrie à une collection vide, puis on y ajoute un bébé au hasard tant qu’aucune de ces conditions n’est réalisée :

  • la naissance du 5e bébé : On arrête les frais
  • la naissance du premier garçon :

Pour faire une étude statistique, il suffit de simuler 10000 fratries [1] et de les fondre en entier dans une population initialement vide :

1651 filles pour 1610 garçons : La politique nataliste de ce pays est en échec. La confirmation visuelle se fait avec le diagramme en bâtons :

Problème des anniversaires

Testé dans une classe de 27 élèves :

Quelle est la probabilité que deux d’entre vous aient leur anniversaire le même jour ?

Une façon simple de simuler le problème est de prendre une liste de 27 nombres choisis au hasard entre 1 et 365 :

Seulement il est difficile de voir si un nombre apparaît deux fois, parce que les nombres sont dans le désordre ; on peut donc y remédier en les triant :

On peut aussi regarder s’il n’y a que des « 1 » dans le tableau d’effectifs :

effectifs est un « dictionnaire », dont l’ensemble d’arrivée s’obtient par effectifs values ; le maximum de ces valeurs est donc égal à 1 si aucun anniversaire n’est partagé ; on peut donc stocker ce maximum dans un tableau stats pour représenter ensuite son diagramme en bâtons :

Surprise : Il y a plus de classes de 27 où deux élèves ont le même anniversaire, que de classes où personne ne partage son anniversaire !

La notion d’indépendance probabiliste, et le passage par l’évènement contraire, permettent de calculer la probabilité, avec l’algorithme suivant :

  1. on initialise la variable u (terme général d’une suite) à 1.
  2. on multiplie u par 364/365 (probabilité que le deuxième élève n’ait pas son anniversaire le même jour que le premier) ;
  3. on multiplie u par 363/365 (probabilité que le troisième élève n’ait son anniversaire ni le même jour que le premier, ni le même jour que le second) ;
  4. etc (pour n allant de 1 à 27)...
  5. Enfin on calcule 1-u (probabilité du contraire)

La fraction a des numérateur et dénominateur si grands qu’on a du mal à estimer sa valeur, alors dans ce cas il vaut mieux la transformer en nombre décimal :

Monty Hall

Dans le problème de Monty Hall, un trésor est caché derrière une porte mais le joueur ne sait pas laquelle. Il choisit une porte sans l’ouvrir. Le présentateur ouvre alors une autre porte, derrière laquelle se trouve une chaussette. Le joueur a alors le choix entre les deux stratégies suivantes :

  1. Ouvrir la porte choisie au départ ;
  2. changer d’avis et ouvrir l’autre porte.

Le plateau de jeu sera donc un tableau dont un élément au hasard contiendra le mot « trésor » et les deux autres, le mot « chaussette ». Le moyen le plus simple pour créer ça [2] est de remplir le tableau avec trois occurences du mot « chaussette » puis de remplacer une de ces occurences au hasard par le mot « trésor » :

Les entiers jeu1, MH et jeu2 sont les propositions du joueur et de l’animateur (Monty Hall), dans l’ordre suivant :

  1. jeu1 est la première porte choisie par le joueur (un entier de 1 à 3 au hasard).
  2. MH est le numéro de la porte ouverte par Monty Hall, calculé par l’algorithme suivant :
    • Si le joueur a choisi la porte derrière laquelle se trouve le trésor, Monty Hall ouvre une des deux autres portes au hasard ;
    • sinon il ouvre la porte qui n’est ni celle qui cache le trésor, ni celle déjà jouée.
  3. jeu2 est le numéro de la porte jouée en dernier.

La stratégie consistant à rejouer la porte choisie au départ n’est pas très payante, puisque qu’elle ne donne le trésor que dans le tiers des cas :

Alors que la stratégie consistant à systématiquement changer de porte (c’est-à-dire choisir la porte qui est à la fois différente de la porte déjà choisie et de la porte déjà ouverte), au contraire, fait gagner dans les deux tiers des cas :


[1il est plus agréable de faire un bébé que de le simuler, mais qui aurait le courage de faire 10000 fratries allant jusqu’à 5 ?

[2la méthode « shuffle » de Python permet encore plus facilement d’y arriver avec shuffle(porte)


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Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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