Les faisceaux de cercles

mercredi 3 avril 2013
par  Alain BUSSER

À l’origine, cet article avait pour but de faire une démonstration lors du séminaire de l’IREM du 3 avril : on y a enregistré une figure dans le spip en direct (donc avec les fameux aléas du direct !).

Équations de cercles

On considère deux cercles C1 et C2, et leurs équations respectives E1 et E2 (en fait, ce sont des expressions, on oublie le « =0 » qui en fait vraiment des équations). Autrement dit, une équation de C1 est E1=0 et une équation de C2 est E2=0. Si le centre de C1 a pour coordonnées (a1,b1) et son rayon est r1, alors

E1=x2+y2-2a1x-2b1y+(a12+b12-r12) ; de même,

E2=x2+y2-2a2x-2b2y+(a22+b22-r22),

où a2 et b2 sont les coordonnées du centre de C2, et r2 son rayon.

Alors, pour toute valeur de z différente de -1, E1+zE2=0 est encore l’équation d’un cercle [1]. L’ensemble de ces cercles est appelé faisceau engendré par C1 et C2.

Cas particuliers

  • Si z=0, on retrouve le fait que C1 appartient au faisceau qu’il engendre.
  • Si z est infini, on retrouve le fait que C2 aussi appartient au faisceau.
  • Si z=-1, on a une droite [2] : L’axe radical de C1 et C2, présenté plus bas.

Faisceaux

L’allure d’un faisceau de cercles dépend du nombres de points communs à C1 et C2.

Remarque

Si C1 et C2 passent tous les deux par un point A, alors les coordonnées de A annulent à la fois E1 et E2. Dans ce cas, E1+zE2=0+z×0=0 : Tous les cercles du faisceau passent aussi par A.

à points de base

Si C1 et C2 se coupent en A et B, d’après la remarque ci-dessus, tous les cercles du faisceau passent par A et B : On dit que A et B sont les points de base du faisceau, lequel est formé des cercles passant par A et B :

L’un des cercles est très grand, il suggère que la droite (AB) est elle-même membre du faisceau de cercles, comme cas limite.

Théorème de Desargues-Sturm

Une application des faisceaux de cercles à points de base A et B :

On considère un point P sur l’axe des abscisses, deux points A et B symétriques par rapport à l’axe des abscisses ; le point P’ est défini comme la deuxième intersection du cercle passant par A, B et P et de l’axe des abscisses (la première intersection étant P. Alors, si P(x ;0) et P’(y ;0), la fonction qui transforme x en y est homographique :

de cercles tangents

Si C1 et C2 sont tangents en A, tous les cercles du faisceau passent par A, et sont tangents entre eux en A :

La tangente commune à tous les cercles fait aussi partie du faisceau, comme cercle de rayon infini.

à points de Poncelet

Si C1 et C2 n’ont aucun point commun, le faisceau qu’ils engendrent est dit de Poncelet, et il contient deux cercles de rayon nul, appelés points limites ou points de Poncelet du faisceau.

On devine une droite dans le faisceau : Elle est verticale, entre C1 et C2 (et entre les deux points limite)

Dans tous les cas, on constate que le faisceau de cercles engendré par C1 et C2 contient une droite (ou un cercle dont le centre est à l’infini).

Axe radical

On suppose que C1 et C2 ne sont pas tous les deux des droites ; alors


On appelle axe radical de C1 et C2, la seule droite qui fait partie du faisceau engendré par C1 et C2.

En déplaçant les deux cercles et en observant la position de leur axe radical, on observe expérimentalement les faits suivants :

  • Si les deux cercles sont sécants en A et B, leur axe radical est la droite (AB) ;
  • S’ils sont tangents en A, leur axe radical est leur tangente commune en A ;
  • S’ils sont extérieurs l’un à l’autre, les points A et B sont devenus invisibles parce qu’ils sont imaginaires conjugués ; mais leur milieu est toujours réel, et l’axe radical de C1 et C2 passe par ce milieu ; l’axe radical est alors entre C1 et C2.
  • Si le plus petit cercle est à l’intérieur de l’autre, l’axe radical est à l’extérieur des deux cercles. Sa position dépend de celle des cercles, de manière très sensible ;
  • Cas limite : Si les deux cercles sont concentriques, leur axe radical est à l’infini.
  • Dans tous les autres cas, l’axe radical est perpendiculaire à la droite joignant les centres des deux cercles.

[1en mettant (1+z) en facteur, on retrouve le début de l’équation égal à x2+y2 qui caractérise les équations cartésiennes de cercles.

[2en réalité, l’équation d’une droite est de degré 1, et un cercle, même de centre à l’infini, ne peut être égal à une droite : On ajoute la droite de l’infini pour considérer une droite comme un cercle de centre à l’infini.


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Séminaire EDIM-IREM

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Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

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