La loi normale asymétrique

Pour que l’asymétrie ne soit plus considérée comme anormale
dimanche 24 mars 2013
par  Olivier SICARD

La loi normale est partout autour de nous. Les variables de taille, poids, QI (pour ne citer que ces exemples) sont souvent modélisées par une loi normale.

Il faut bien avouer que le théorème central limite, qui nous enseigne que toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne, nous incite fortement à nous en servir.

Cependant, la loi normale comme nous la connaissons, a une propriété importante et incontournable : elle est symétrique.

Alors que faire si lors de l’étude d’une série statistique, nous obtenons un histogramme de ce genre ?

Peut-on considérer que la variable sous-jacente suit une loi normale ?

Elle semble un peu tordue : étirée vers la droite et compressée du côté gauche. Nous pourrions faire un test de normalité (test du \chi^2 d’adéquation par exemple), mais que faire si le test rejette l’hypothèse de normalité ?

Ou encore : dans un article, l’INSEE compare le niveau de vie au revenu disponible des familles.

Sans même faire de test de normalité, il semble évident que les variables étudiées dans cet article de ne suivent pas de lois normales.

Aujourd’hui l’asymétrie dans les distributions peut se gérer de plusieurs façons :

  1. D’abord par le calcul du coefficient d’asymétrie skewness qui donne justement une mesure du degré d’asymétrie de la distribution. Il est défini par S=\frac{E(X-\overline{X})^3}{\sigma^3}, où \overline{X} est l’espérance de X et \sigma son écart-type. Lorsque S=0, la distribution est symétrique, sinon l’asymétrie penchera vers la gauche ou vers la droite suivant que S est négatif ou positif.
  2. On peut tenter d’estomper l’asymétrie d’une distribution par des transformations de type \sqrt{X} ou \log(1+X).
  3. Si la variable X étudiée est à valeur dans \mathbf{R}^+, on peut utiliser des lois déjà asymétriques comme la loi log-normale ou la loi gamma.
  4. Une loi normale asymétrique (skew-normal distribution) existe déjà. Sa densité se définit à partir de la densité et de la fonction de répartition de la loi normale, cependant l’estimation des paramètres de cette loi semble être délicate.

Cet article propose une nouvelle définition de la loi normale asymétrique fondée sur l’utilisation de deux lois normales « classiques » tronquées et recollées.

Dans un premier temps, les propriétés de base ainsi que le calcul de l’espérance et de la variance y sont présentés, puis l’avant dernier chapitre de l’article est consacré à l’estimation des paramètres de la loi normale asymétrique.

Le dernier chapitre s’intéresse à la simulation d’échantillons suivant une loi normale asymétrique, et à l’application des estimateurs sur quelques échantillons de tailles diverses.


Documents joints

La loi normale asymétrique
La loi normale asymétrique
Densité d'une loi normale asymétrique
Densité d'une loi normale asymétrique
Simulation d'une loi normale asymétrique
Simulation d'une loi normale asymétrique

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