Inversion triangulaire

mercredi 6 mai 2009
par  Alain BUSSER

Comme le nombre de monômes en (x,y) de degré n est n+1 (facile à compter, par exemple pour le degré 2 on a x^2, xy et y^2), le nombre de monômes de degré inférieur ou égal à n est le (n+1)ième nombre triangulaire \frac{(n+1)(n+2)}{2} (car c’est la somme des précédents). Le nombre de coefficients d’une courbe algébrique de degré n est donc \frac{(n+1)(n+2)}{2} (par exemple pour une droite on a trois coefficients : ax+by=c). Et comme une telle équation est déterminée à un facteur près, il faut \frac{(n+1)(n+2)}{2}-1=\frac{n(n+3)}{2} points pour définir une courbe de degré n.

Ainsi il faut

  • 2 points pour une droite
  • 5 points pour une conique
  • 9 points pour une cubique
  • 14 points pour une quartique
  • 20 points pour une quintique
  • 27 points pour une sextique etc.

Pas facile de tracer ne serait-ce qu’une quartique ! Un bon moyen pour obtenir une quartique est de définir l’image d’une conique par une transformation quadratique (qui double le degré). En voici une, qui de surcroit est involutive :

Étant donné un triangle ABC, pour tout point M du plan non situé sur les côtés de ABC, on peut projeter M orthogonalement M sur les côtés. Et si M n’est pas non plus sur le cercle circonscrit à ABC, les trois projetés orthogonaux forment un triangle appelé triangle podaire de M [1].

CarMetal - 41.4 ko
triangle podaire

Par exemple :

  • Le triangle podaire de l’orthocentre est le triangle orthique de ABC.
  • Le triangle podaire du centre du cercle circonscrit est le triangle des milieux du triangle ABC.
  • Le triangle podaire du centre du cercle inscrit a pour sommets les points de contact du cercle inscrit avec les côtés, et il est donc inscrit dans le cercle inscrit.

Le cercle circonscrit au triangle podaire de M s’appelle cercle podaire de M :

CarMetal - 42.7 ko
cercle podaire

Exemples :

  • Le cercle podaire de l’orthocentre est le cercle d’Euler de ABC (puisqu’il passe par les pieds des hauteurs)
  • Le cercle podaire du centre du cercle circonscrit passe par les milieux des côtés ; c’est donc aussi le cercle d’Euler de ABC.
  • Le cercle podaire du centre du cercle inscrit est ... le cercle inscrit !

Maintenant il résulte du théorème de Bézout que le cercle podaire de M recoupe chaque côté de ABC en un deuxième point ce qui définit trois nouveaux points sur le triangle. Or les perpendiculaires aux côtés en ces trois points sont concourantes :

CarMetal - 53.1 ko
inverse triangulaire

Définition :

Le point de concours de ces trois droites s'appelle l'inverse triangulaire de M.

(En fait il dépend de M mais aussi du triangle). L’inversion triangulaire est une involution (f \circ f=Id) et elle est définie pour tout M qui n’est ni sur les côtés du triangle (vus comme des droites) ni sur le cercle circonscrit.

Exemples :

  • On a vu ci-dessus que le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre sont inverses l’un de l’autre.
  • On a vu également que le centre du cercle inscrit est son propre inverse.
  • De même, les centres des cercles exinscrits sont leurs propres inverses.

On peut également interpréter l’inverse d’un point de la manière suivante :

Pour tout point M ailleurs que sur les côtés et le cercle circonscrit, il n’existe qu’une seule conique de foyer M tangente aux trois côtés. L’ inverse de M est alors l’autre foyer de cette conique : (agiter M dans tous les sens, ça fait du bien et c’est joli tout plein : C’est la trigonothérapie !)

CarMetal - 57.9 ko
double foyer

En particulier, le cercle inscrit peut être considéré comme une ellipse dont les deux foyers sont confondus.

L’inversion triangulaire semble mériter un diaporama CarMetal à elle seule :

Le voici sur le site de CarMetal

Sur la géométrie du triangle, l’encyclopédie de ses points remarquables est elle-même remarquable (il y en a actuellement 5314 !)


[1Si M est sur le cercle circonscrit, les projetés sont alignés, ce qui définit la Droite de Simson du point M, mais ceci est une autre histoire...


Commentaires

Annonces

Prochains rendez-vous de l’IREM

Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 22 novembre 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 D
- Mercredi 7 février 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 7 mars 2018, 14h-18h, campus du Tampon
- Mercredi 4 avril 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 2 mai, 14h-18h, campus du Tampon
- Mardi 5 juin 2018, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
- Mercredi 6 juin, 14h-18h, campus du Tampon

Fête de la science

Campus du Moufia, 16 et 17 novembre 2017.
Thème : « La recherche à l’heure du numérique »

Semaine des mathématiques

Du 26 au 31 mars 2018.
Thème : « Mathématiques et mouvement »


Brèves

DGPad à Limoges

mercredi 19 avril

L’IREM de Limoges a réussi à inscrire au P.A.F. une journée de présentation de DGPad ; la tortue y a eu un franc succès. Voici le compte-rendu. Il y a des ressources à réinvestir en classe, n’hésitez pas à y puiser !

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

Statistiques

Dernière mise à jour

lundi 20 novembre 2017

Publication

774 Articles
Aucun album photo
133 Brèves
11 Sites Web
132 Auteurs

Visites

1249 aujourd'hui
1410 hier
2171038 depuis le début
17 visiteurs actuellement connectés