Arithmétique et fractions égyptiennes

Vers la conjecture Erdös-Straus
mercredi 31 juillet 2013
par  André SEGUIN

L’article s’intéresse à la décomposition de 1/n en deux, puis trois fractions unitaires, puis se penche sur certains résultats récents en rapport avec la conjecture d’Erdös-Straus. Des expérimentations numériques sont réalisées avec le logiciel Xcas.

Il s’agit essentiellement de la décomposition de 1/n en somme de trois fractions unitaires non nécessairement distinctes :

1/n = 1/a + 1/b + 1/c,

a, b et c étant des entiers positifs vérifiant a ≤ b ≤ c. On parle de
décomposition ordonnée et la liste de toutes ces décompositions pour une valeur de n est elle même ordonnée.

L’arithmétique utilisée est du niveau de la classe terminale : nombre premier, nombres premiers entre eux, théorème de Gauss. On se permet juste une allusion au résultat de Dirichlet sur les suites arithmétiques et les nombres premiers qu’elles peuvent contenir.

Dans le préambule, on met en évidence une méthode qui permet une décomposition de 1/n en somme de deux, puis de trois fractions unitaires ; on établit une formule de base qui se compose d’une égalité et de conditions l’accompagnant, permettant d’élaborer un programme qui renvoie la liste ordonnée des décompositions, désignée par egyLO(n). Le logiciel utilisé est Xcas qui, en ce qui concerne le numérique, m’émerveille.

Dès la fin du préambule, on peut lire le document 1 donné en fin d’article, où l’on démontre une propriété caractéristique des nombres premiers (excepté pour 2, 5 et 7) qui met en relief les huit décompositions naturelles qui terminent la liste ordonnée. Cette propriété assez technique étant utilisée par la suite d’une façon très ponctuelle, on peut aussi en rejeter la lecture à plus tard.

On prouve ensuite de façon naturelle certains résultats récents de Mordell, Mizony, Bello-Hernández, Benito et Fernández (voir références ci-dessous). Pas de grandes avancées (dommage...), mais une introduction simple qui gravite autour d’une formule (une égalité et des conditions), laquelle se métamorphose en fonction de certaines hypothèses et donne naissance à diverses conjectures. Suit un programme permettant d’obtenir une décomposition qui vérifie la conjecture Erdös-Straus.

Références

- Michel Mizony et Marie-Line Gardes, Un point sur la conjecture d’Erdös et Straus, université Claude-Bernard, juin 2012. Disponible en ligne : http://math.univ-lyon1.fr/ mizony/SurErdos_Straus2.pdf

- Manuel Bello-Hernández, Manuel Benito, Emilio Fernández, On Egyptian fractions, arXiv:1010.2035, avril 2012. Disponible en ligne : http://arxiv.org/abs/1010.2035


Documents joints

Arithmétique et fractions égyptiennes
Arithmétique et fractions égyptiennes

Commentaires

Logo de Ibrahima GUEYE
samedi 21 septembre 2013 à 15h31 - par  Ibrahima GUEYE

Oui bel article.
Les 1 modulo 6 posent problème.
Du coup ce sont les en fait les 1 modulo 24 qui créent le plus de problèmes

Logo de Ibrahima GUEYE
vendredi 20 septembre 2013 à 15h56 - par  Ibrahima GUEYE

Les 1 modulo 24 sont difficiles à prévoir...

vendredi 30 août 2013 à 05h09

Bravo pour l’effort. Les 1 modulo 4 posent vraiment problème

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C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

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