Se passer du magnétisme

Discrètement faire de la géométrie discrète
mercredi 6 mai 2009
par  Alain BUSSER

Dans son article sur le plan à 9 points, Yves Martin lie un point mobile à un nuage de 9 points grâce au magnétisme : Il crée les 9 points, les rend fixes, et met la liste de leurs noms dans la propriété « magnétisme » d’un point mobile qui est alors lié à ces 9 points. La même technique s’applique aussi à des plans plus conséquents comme ceux à 121 ou 169 points par exemple, mais c’est long à faire...

En attendant la prochaine version de CarMetal qui permettra de construire plein d’objets par un langage de script, on peut aussi faire avec un seul objet : Tout le nuage de points en un seul objet !

Pour dessiner par exemple le plan à 169 points, on souhaite montrer sa structure de plan sur le corps F_{13} à 13 éléments (en effet 169=13^2). En bref, on veut 13 rangées de 13 points chacune. Pour chaque rangée, les ordonnées doivent être fixes, allant de 0 pour la première rangée à 12 pour la dernière : La fonction E \left( \frac{t}{13}\right) fait l’affaire puisqu’elle implémente le quotient euclidien de t par 13. Alors t ira de 0 à 168. Et pour les abscisses, on prend t modulo 13, qui s’implémente par t-13 \times E\left(\frac{t}{13} \right).

Bref, dans CarMetal on choisit l’outil « représentation graphique de fonctions » (deuxième icône dans « fonctions et lieux ») puis on coche la case « fonction paramétrée » comme on le voit ci-dessous :

Ensuite on entre les deux fonctions pour x et y (en CarMetal, la partie entière se note « floor ») :

t-13*floor(t/13)
floor(t/13)

Enfin on voit sur la capture d’écran ci-dessus que t va de 0 à 168, et que le pas est de 1 puisqu’on veut des entiers. C’est cette étape qui donne le plan discret. On voit aussi que le nom de la courbe est « f1 » et on a ceci :

CarMetal - 533 octets
le nuage polygonal

Pas terrible : les points sont bien là mais reliés par des segments comme pour toute représentation graphique qui se respecte ! Alors toujours dans la fenêtre des propriétés de f1, on clique sur l’onglet « Aspect » où on coche la case "seulement avec des points :

capture 2

Après il suffit de choisir l’aspect des points, et on a un dessin du plan à 169 points (149 octets pour 169 points, ça fait moins d’un octet par point !) :

CarMetal - 549 octets
le nuage point par point

Et cet espace discret fonctionne à merveille, sans magnétisme. Par exemple, si on crée un point A (en rouge) en cliquant quelque part sur le nuage de points, A sera lié à ce nuage, comme on le voit sur la figure ci-dessous (la même qu’avant, mais avec A en plus) :

CarMetal - 845 octets
la tête dans le nuage

Si on bouge A sur la figure ci-dessus, on constate qu’il est bien lié au plan à 169 points, comme en témoignent ses coordonnées affichées à droite. Pour afficher celles-ci, on a créé un texte où on a écrit

A(%x(A)%;%y(A)%)

Pour faire vraiment de la géométrie dans le plan à 169 points, il faut faire de l’analytique modulo 13. Notamment les droites se représentent avec la même technique (représentation paramétrique mais cette-fois ci, t va de 0 à 12 et non 168), avec des coefficients qui se trouvent par division modulo 13, ce qui nécessite la création d’une fonction « inverse modulo 13 » dans CarMetal : Pas facile, il faut abuser de « if(x==2 ;7 ;...) » avec des tests imbriqués...


Cette technique a été utilisée dans ce diaporama sur le plan à 121 points avec quelques diapos sur l’espace à 125 points [1] pour illustrer la notion d’espace de petite dimension sur un corps fini de caractéristique différente de 2.

Pour la caractéristique 2, la situation est tellement déroutante qu’un diaporama spécial (spécial dans tous les sens du terme d’ailleurs) lui a été consacrée.


Tout corps fini est un espace de dimension finie sur un corps F_p=Z/pZp est premier. Donc le cardinal d’un corps fini est nécessairement de la forme p^dd est la dimension du corps sur F_p. Ainsi il n’existe pas de corps à 6, 10 ou 15 éléments. Voici la classification des plus petits corps finis :

Cardinalcaractéristiquedimension
2 2 droite
3 3 droite
4 2 plan
5 5 droite
7 7 droite
8 2 espace de dimension 3
9 3 plan
11 11 droite
13 13 droite
16 2 hyperespace de dimension 4 (C8)
17 17 droite
19 19 droite
23 23 droite
25 5 plan
27 3 espace de dimension 3
29 29 droite
31 31 droite
32 2 5...

et la partie située entre 120 et 130 :

Cardinalcaractéristiquedimension
121 11 plan
125 5 espace de dimension 3
127 127 droite
128 2 7...

qui montre bien l’extrême irrégularité du schéma...


[1créés l’un après l’autre et en double pour cause d’anaglyphe


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Brèves

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

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