Cours sur les suites en ligne

samedi 21 septembre 2013
par  Alain BUSSER

Le fichier html, que l’on peut intégrer à un site Internet :

HTML - 13.8 ko
suites.html
cours sur les suites en CoffeeScript (algorithmes interactifs)

La notion de limite d’une suite est difficile à définir sans les « δ-ε » de Bourbaki. Mais la notion (hors programme) de valeur d’adhérence, elle est facile à définir algorithmiquement. On dira alors qu’une suite converge vers ℓ si ℓ est sa seule valeur d’ahérence.

Voici le cours (chaque algorithme peut être testé en ligne après une éventuelle modification) :

Suites numériques

Une suite de nombres commence par 1, 9, 25, 49 ... Quel est le nombre suivant dans cette liste ?

Pour répondre à cette question, il a fallu trouver l'algorithme qui engendrait les 4 premiers nombres, et appliquer cet algorithme pour trouver le nombre suivant; d'où les définitions suivantes:

Définitions

  • Lorsqu'un algorithme comporte une boucle, les nombres calculés à chaque passage dans la boucle consituent une suite numérique (ou simplement "suite"). Une suite u est donc la donnée d'une infinité de nombres qui se suivent.
  • Le nombre de passages dans la boucle est appelé indice; si on note n l'indice, le nombre un calculé après n passages dans la boucle est appelé terme de rang n (ou d'indice n) de la suite. On l'appelle également terme général.
  • Une suite est dite explicite si l'algorithme de calcul de un n'utilise que l'indice n comme variable. Par exemple, u = n/(n+1) vu ci-dessous, où la seule variable apparaissant à droite du "=" est n. La définition explicite de la suite u se notant un=n/(n+1)
  • Si, au contraire, chaque terme est calculé uniquement à partir du terme précédent, la suite est dite récurrente. Par exemple, u=4*u*(1-u) qui, pour toute valeur de u0, donne une suite pseudo-aléatoire:

  • Si, à chaque passage dans la boucle, le terme calculé est au moins aussi grand que le précédent, la suite est croissante; on note un+1≥un
  • Si, au contraire, le terme est systématiquement plus petit que le précédent, la suite est dite décroissante; on note un+1≤un

Implémentation

Une suite étant constituée d'une infinité de nombres, ne peut être stockée dans un ordinateur dont la mémoire est finie. On est donc obligé de se restreindre à quelques valeurs de l'indice. Par exemple, la suite u définie par un=n/(n+1):

Même si on raccourcit avec des lettres u et n:

On gagne donc à considérer un objet suite qui est un tableau, et à afficher ce tableau avec alert u:

Cette technique ne fonctionne pas avec une suite récurrente. Mais on peut créer un tableau et, après chaque calcul du terme général u, le rajouter au tableau en faisant tableau.push u. Ou bien (ici pour la suite des puissances de 2, qui est récurrente; voir plus bas):

Remarque : Dans l'exemple donné au début de ce chapitre, il y a un algorithme explicite qui permet de répondre à la question (en reconnaissant des nombres particuliers), mais aussi un algorithme récurrent (en comparant les nombres). Lequel aviez-vous utilisé ?

Suites arithmétiques

Définition

On dit qu'une suite récurrente est arithmétique de raison r si un+1=un+r; par exemple, la suite des nombres impairs est arithmétique de raison 2:

Calcul direct

Si u est arithmétique de raison r, alors ∀ n ∈ N, un=u0+r×n.

Les suites arithmétiques sont celles qu'on obtient automatiquement en copiant des cellules d'un tableur, ou en fixant les antécédents sur "auto" dans le tableau de fonctions de la calculatrice.

Variations

Une suite arithmétique est croissante ou décroissante selon que sa raison est positive ou négative.

Suites géométriques

Définition

On dit qu'une suite récurrente est géométrique de raison r si un+1=un×r; par exemple, la suite des puissances de 2 vue ci-dessus.

Remarque : Le mot "raison" vient du latin ratio qui veut dire "quotient": Le quotient de chaque terme par le précédent est toujours le même "ratio". C'est par abus de langage que le mot "raison" a été gardé pour les suites arithmétiques. Un autre abus de langage a été vu au début du chapitre: Le mot "terme", en algèbre, désigne un nombre ou une expression qui a vocation à être additionné ou soustrait. Ce n'est pas forcément le cas pour les termes d'une suite.

Calcul direct

Si u est géométrique de raison r alors ∀ n ∈ N, un=u0× rn.

Variations

Une suite géométrique est croissante ou décroissante selon que sa raison est supérieure ou inférieure à 1.

Limite

Limite infinie

La suite de Fibonacci décrit, de façon très simplifiée, l'évolution d'une population de lapins donnant tous les 6 mois des lapereaux, qui eux-mêmes donnent au bout d'un an des lapereaux. On la modélise par une suite F telle que:

  • F0=1 (on suppose qu'au début on n'a qu'une lapine , trop jeune pour donner des lapereaux)
  • F1=1 (âgée de 6 mois, la lapine n'a pas encore pu donner de petit, mais ensuite elle en donne un tous les 6 mois)
  • Fn+2=Fn+1+Fn (aux Fn+1 lapins présents il y a 6 mois, se sont ajoutés Fn naissances, soit autant que de lapines qui étaient déjà présentes il y a un an)

L'algorithme suivant s'arrête toujours, quelle que soit la valeur du seuil choisie:

Définition:

Lorsque, pour toute valeur du seuil, l'algorithme calculant une suite croissante jusqu'à ce que le seuil soit dépassé, se termine au bout d'un temps fini, on dit que la suite tend vers l'infini, et on écrit lim un=+∞

Limite finie

Définition

Si, pour toute valeur du seuil, l'algorithme de calcul d'une suite monotone jusqu'à ce que un-ℓ soit inférieur (en valeur absolue) au seuil, s'arrête au bout d'un temps fini, on dit que la suite tend vers ℓ, ou admet ℓ comme limite, et on note lim un=ℓ

Exemple

Le calcul de √(3) par l'algorithme de Heron consiste à appliquer l'algorithme de la définition à une suite un qui tend vers √(3). On choisit la suite récurrente un+1=(un+3/un)/2

Cas particuliers

Suites arithmétiques

Une suite arithmétique tend vers +∞ si sa raison est positive et vers -∞ si sa raison est négative.

Pour le vérifier, il suffit de modifier le premier terme et la raison ci-dessous :

Suites géométriques

On se restreint aux suites géométriques de raison et de premier terme positifs; alors

  • Si la raison est supérieure à 1, la suite tend vers +∞
  • Si la raison est inférieure à 1, la suite tend vers 0.

Pour le vérifier, on peut modifier le premier terme et la raison ci-dessous :

Somme des termes

Voici un algorithme pour additionner les premiers termes d'une suite:

Cas particuliers

Pour les suites arithmétiques, comme pour les suites géométriques, il y a des formules qui évitent d'avoir recours à des algorithmes.

Attention: Si la suite est numérotée à partir de u0, les N premiers termes vont de u0 jusqu'à uN-1

Suites arithmétiques

La somme des N premiers termes d'une suite arithmétique est N×(u0+uN-1)/2 (algorithme: On calcule la moyenne entre le premier terme et le "dernier" terme, et on la multiplie par le nombre de termes).

Suites géométriques

La somme des N premiers termes d'une suite géométrique de raison r est u0(1-rN)/(1-r)


Le délire des dollars d'Euler

On place 1 $ sur un compte en banque, puis, immédiatement, on place le double, soit 2 $, puis, 4$ et ainsi de suite; au bout d'une infinité de placements, le compte en banque est ... débiteur d'un dollar! Cela résulte d'une formule de Leonhardt Euler (1760):

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+...=-1

(la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2 est, d'après la formule précédente, 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+...+2=(1-2)/(1-2)=2-1. En supprimant 2 à chaque membre, on obtient l'égalité...)


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Décès de Roger Mohr

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On sait bien que Nicolas Bourbaki n’était pas le nom d’une personne mais le pseudonyme d’un groupe. L’équivalent en informatique théorique est Claude Livercy, auteur de la théorie des programmes. Roger Mohr était un des membres de Claude Livercy.

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Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
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Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

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dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

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Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

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Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

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L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

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Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

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Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

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