Enseigner l’addition et la soustraction avec LOGO

La tortue LOGO permet de voir des sommes de relatifs
mercredi 27 mai 2009
par  Alain BUSSER

Deux séances d’une heure chacune ont suffi, et l’investissement en temps a été rentabilisé lorsqu’il a fallu mettre dans le cours que soustraire -5 revient à ajouter 5 puisque tous les élèves l’avaient découvert par eux-mêmes !

Lorsque Edmund Gunter a inventé la machine ci-dessous :

CarMetal - 128.7 ko
règle à calcul
au format CaRMetal (enregistrer puis ouvrir en local)

il a combiné deux idées :

- L’échelle logarithmique, remontant à John Napier, qui ramène les multiplications à des additions ;
- Les translations matérialisées par le glissement d’une règle contre l’autre, qui elles-mêmes matérialisent l’addition des réels même négatifs.

C’est cette dernière idée qui est à la base des TD décrits ci-dessous.

L’idée de représenter des additions de nombres par des additions de vecteurs colinéaires est bien sûr réalisable avec un logiciel de géométrie dynamique, comme avec C.a.R., de René Grothmann où le premier exemple de géométrie est le fichier suivant :

CarMetal - 2.4 ko
somme de vecteurs colinéaires
à ouvrir avec CaR ou CaRMetal

Mais à l’époque, C.a.R. n’existait pas... Alors l’activité a été faite en LOGO, le langage de programmation le plus simple qui soit, avec l’avantage que les élèves ont « fabriqué » eux-mêmes l’axe gradué qui sert à repérer les sommes.

Les exemples suivants ont été faits avec le logiciel libre xlogo qui tourne en Java (langage) sur toutes machines, et possède même des fonctionnalités de géométrie dans l’espace !

LOGO (langage) a été inventé dans les années 1960 au MIT, et ses applications à la robotique l’ont doté d’une interface en forme de demi-sphère montée sur roues, qui ressemblait à une tortue, d’où la forme de tortue donnée parfois à la partie qui bouge sur l’écran. Dans les exemples ci-dessous, la tortue est représentée (par défaut) par un triangle isocèle, dont la base servira de repère de mesures.


Première séance

La première heure a été consacrée à un apprentissage des bases géométriques de LOGO.

Un papier a été distribué aux élèves, avec un résumé des principales instructions :

NotationsignificationEffet
ve vide écran Efface tout et replace la tortue au centre
lc lève crayon cesse de laisser une trace
bc baisse crayon comence à laisser une trace
fcc :n Faire couleur crayon Donne au crayon la couleur :n
av :n Avance la tortue avance de :n pixels
re :n Recule La tortue va en arrière de :n pixels
tg :n Tourne gauche La tortue tourne de :n degrés vers la gauche
repete :n Répète :n fois Boucle (entre crochets)

Puis après quelques dessins pour se familiariser avec ce langage, apparaît la première boucle pour dessiner un carré [1] :

pour carré
repete 4 [av 50 tg 90]
fin

Puis des explications sur le fait qu’on vient d’agrandir le langage LOGO en lui ajoutant une instruction qui n’y était pas : « carré », et qu’on peut désormais utiliser comme les autres. Par exemple, en entrant le code suivant :

repete 36 [carré tg 10]

(on répète 36 fois les deux opérations suivantes : dessin d’un carré puis tourner à gauche de 10 degrés), on a en quelques instants le dessin suivant :

L’étape suivante [2] est alors l’écriture d’une instruction « grad » pour « graduation » qui trace l’axe gradué :

qu’on peut d’ailleurs enregistrer dans un fichier nommé « grad.lgo » et téléchargeable ci-dessous (remplacer l’extension « bin » par « lgo » à la main ; en effet spip ne reconnaît pas cette extension).

En entrant « grad » on a l’écran suivant :


Deuxième séance

Puisque le fichier « grad » commence par un « ve » (vide écran), il suffit après avoir chargé celui-ci, d’entrer « grad av 50 » pour avoir ceci :

On lit à l’arrière de la tortue que celle-ci a avancé de 50 pixels, ce qu’on voulait. C’est maintenant qu’on arrive aux additions :

grad av 50 av 30
donne ce graphique

où on compte 8 graduations, révélant que 50+30=80, ce qui n’a rien de nouveau du moins en cinquième...

Avec « grad av 50 re 30 » on illustre la soustraction 50-30=20. Toujours rien de nouveau.

Mais on peut faire toutes sortes de soustractions comme 30-50=-20 avec

grad av 30 re 50

qui donne ce graphique :

(on voit le vestige de l’avancée de 30 pixels qui rappelle le début de la construction ; d’ailleurs avec xlogo on peut régler la vitesse de la souris).

Ensuite, on commence à faire intervenir des nombres négatifs, avec par exemple « grad av 30 av -50 » qui a le même effet que l’exemple précédent.

Autres exemples :

grad re 30 re 50
grad av -30 av -50

ont tous les deux le même effet, qu’on pourrait traduire par -30-50=(-30)+(-50)=-80 :

Enfin, le clou du spectacle, la question :

Qu'est-ci va se passer si on entre "recule de -50" ?

La plupart des élèves devinent qu’on va avoir ceci :

qui revient à dire que « Reculer de -50, c’est comme avancer de 50 » ; les autres le constatent sur la figure et trouvent ça logique. Plus tard, dans le cours, ce sera traduit par

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé

Après, la séance se termine par des soustractions comme

  20-(-30)
 -20-(-30)
 -50-(-15)

etc.

Jusqu’à la sonnerie.


Le jour du contrôle sur ce cours les résultats ont été assez bons dans cette classe. Et pour ça il a fallu « sacrifier » deux heures, ce qui est bien peu cher...


[1Le fait que pour dessiner un triangle équilatéral, tout le monde se trompe en remplaçant 4 par 3 (ce qui est juste) et 90 par 60 (ce qui est faux) mériterait d’être analysé plus amplement...

[2sauf qu’on a eu le temps de parler de variables, en remplaçant le code précédent par

pour carré :n
repete 4 [av :n tg 90]
fin

et en entrant des choses comme « carré 30 » mais cette étape n’est pas indispensable pour la suite


Documents joints

Binary Data - 126 octets
Binary Data - 126 octets

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- Mercredi 8 février 2017, 14h-18h, campus du Tampon, amphi 120 B
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Semaine des mathématiques

Du 23 mars au 4 avril 2017 dans l’académie de la Réunion.


Brèves

Wabbitemu : Calculatrice TI-83+, TI-84+ et plus sur smartphones

mardi 14 février

Sur smartphone Android, Wabbitemu est une calculatrice TI open source - avec ROM open source également disponible [1]. Cette application propose une parfaite réplique des calculatrices utilisées dans nos classes (choisir la ROM open source TI 83+). L’application Wabbitemu est gratuite et se télécharge sur Google Store

Sur iPhone, il y a GraphNCalc83, application propriétaire et payante mais vraiment pas chère comparée au prix d’une réelle calculatrice.

[1mémoire interne indispensable pour que la calculatrice marche

Euclidea

jeudi 2 février

Une application extraordinaire pour donner le goût de la géométrie à vos élèves : Euclidea propose des challenges géométriques progressifs à réaliser en géométrie dynamique à la règle et au compas.
L’application est disponible en ligne , mais aussi sur tablettes et smartphones.
Du même auteur, on relève deux applications autour du théorème de Pythagore : Pythagorea et Pythagorea 60°, mais surtout XSection (uniquement sur tablettes ou téléphones Apple), qui correspond parfaitement au programme de seconde sur l’espace, avec des sections progressives à faire.

Mathador

mercredi 19 mars 2014

Canopé - CRDP académie de Besançon a le plaisir de vous informer de la mise en ligne de sa nouvelle application Mathador pour iPad et iPhone.
Un outil pour devenir accro du calcul mental !

Sur le Web : Application Mathador

Maison des mathématiques et de l’informatique de Lyon

samedi 24 novembre 2012

La maison des mathématiques et de l’informatique de Lyon a été inaugurée le 10 octobre 2012. Elle proposera des expositions, des ateliers mathématiques et des conférences. Ses autres missions sont de fédérer, d’organiser et d’amplifier les diverses actions de diffusion de la culture mathématique qui ont lieu à Lyon et dans sa région.

Sur le Web : MMI de Lyon

Mathématiques de la planète Terre

dimanche 10 juin 2012

L’an 2013 sera une année mondiale sur le thème « Mathématiques de la planète Terre » (MPT).

Des activités se tiendront partout autour de la planète : ateliers, groupes de recherche conjoints, écoles d’étés, activités pour le public et les médias, activités dans les écoles et numéros spéciaux de journaux scientifiques.

En France, la semaine des mathématiques 2013 sera rattachée à ce thème.

Sur le Web : MPT 2013

Blog Projet Klein

dimanche 10 juin 2012

Le projet Klein vise à construire une communauté d’apprentissage sur les liens entre les mathématiques scolaires et la recherche contemporaine en sciences mathématiques. Dans ce but, une “vignette de Klein”, un texte court sur un sujet particulier de mathématiques, est publiée chaque semaine sur ce blog.

Sur le Web : Blog Projet Klein

Les vidéos des mercredis de Créteil

lundi 16 janvier 2012

Une série de vidéos réalisées par le CRDP de Créteil sur le thème Les mathématiques : paradigmes ou outils de savoirs d’aujourd’hui ? Premiers conférenciers : Valérie Masson-Delmotte, Dominique Barbolosi, Marc Fort, Jean-Pierre Raoult, François Legendre

Sur le Web : Accès aux vidéos

Guide 2011 du Web pédagogique

lundi 3 janvier 2011

Le Café pédagogique publie son Guide 2011 du Web. Une mine de liens vers des sites susceptibles d’être utiles aux enseignants. Une bonne photographie du paysage éducatif actuel.

Sur le Web : Guide 2011 du Web

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