Le système dynamique de Hénon

lundi 25 mai 2009
par  Alain BUSSER

Une étude du système dynamique de Hénon est esquissée ici, en insistant un peu sur les valeurs des paramètres différentes des classiques a=1,4 et b=0,3.

Le système dynamique

Le système de Michel Hénon est une suite de points du plan définie par M(x_n,y_n)\mapsto M'(x_{n+1},y_{n+1})
\left\{\begin{array}{rlc}x_{n+1}&=&1+y_n-a\,x_n^2 \\ y_{n+1}&=&b\,x_n \end{array} \right.. Selon les valeurs de a et b, la suite de points peut

- converger :\lim_{n\rightarrow \infty}M_n = A
- avoir un attracteur de période 2 : \lim_{p \rightarrow \infty}M_{2p}=A et \lim_{p \rightarrow \infty}M_{2p+1}=BA \neq B
- avoir un attracteur de période n \in \mathbb{N}
- diverger : les coordonnées de M_n tendent vers \infty, ou la suite est chaotique sur le plan
- avoir un attracteur étrange


Période 1

Un point fixe existe lorsque l’équation M_{n+1}=M_n (en réalité, un système) a une solution dont les deux coordonnées sont réelles. En remplaçant y par b\,x dans x=1+y-a\, x^2 on obtient x=1+b\,x-a\,x^2, équation du second degré dont le discriminant \Delta=4a+(1-b)^2 n’est positif que si le point A(a,b) est à droite de la parabole d’équation 4a+(1-b)^2=0 dans le plan des (a,b).

CarMetal - 2.7 ko
période 1

Si on déplace le point rouge à gauche de la parabole, le système n’a pas de limite (en fait, il tend vers l’infini). Si on le met à droite de la parabole verte, le système a deux points fixes (les abscisses sont les solutions de l’équation ci-dessus) mais un seul des deux est attractif, et se voit comme limite de la suite M_n. Si on déplace le point rouge trop à droite de la parabole verte, le point fixe n’est plus limite de la suite : Il cesse d’être attractif, et se scinde en deux :


Période 2

Un point d’une période 2 se trouve en cherchant deux nombres x et y tels que la transformation de Hénon appliquée à (1+y-ax^2,bx) donne (x,y) :

1+bx-a\,(1+y-a\,x^2)^2=x
et
b(1+bx-a\,x^2)=y

Ce système se résout en remplaçant le y de la première équation par b(1+bx-a\,x^2) de la deuxième. L’équation étant de degré 4 en x, possède 4 solutions, mais les deux points fixes de tout-à-l’heure en font partie. En simplifiant l’équation par celle de la période 1 [1] on obtient une équation du second degré en x, ce qui donne bien deux points :

CarMetal - 4.3 ko
période 2

Le discriminant de l’équation précédente est 4a-3(1-b)^2, équation de la parabole marron. Si on bouge le point à gauche de la parabole marron, les deux points de la période (en bleu) collisionnent et se confondent en le point fixe (en vert lorsqu’il est attractif). Le passage dans l’autre sens (lorsque le point fixe cesse d’âtre attractif et est remplacé par la période 2) s’appelle bifurcation de dédoublement de période. La parabole marron représente donc la zone où il y a un dédoublement de période de 1 vers 2, et le diagramme formé par les deux paraboles (dans le plan des (a,b) qui est ici superposé à celui des (x,y)) est un diagramme de bifurcation. Dans la suite, on va le compléter un peu, mais la structure du diagramme de bifurcation du système de Hénon est un sujet d’actives recherches...


Période 3

La recherche de points de période 3 est nettement plus compliquée mais elle a été faite par Hitzl et Zele en 1985 [2] et la parabole bleue a pour équation 4a=7+10b+7b^2 :

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période 3

On constate que la valeur classique (a=1,4 et b=0,3) est à gauche de la parabole bleue, et donc que l’attracteur de Hénon ne possède pas de période 3.

Pour voir la période 3, il faut qu’elle soit attractive et donc le point doit être légèrement à droite de la parabole bleue ; voir plus bas si ce n’est pas le cas.


Période 4

En fait, lorsque le point rouge s’éloigne trop de la parabole marron, les deux points de la période 2 cessent d’être attractifs, et il apparaît par dédoublement de période, une période 4 (quand le point rouge est à droite de la parabole rouge) :

CarMetal - 3.7 ko
période 4

Période 6

De même lorsque le point rouge s’éloigne trop de la parabole bleue vers la droite, bien que la période 3 existe toujours, on ne la voit plus car elle a cessé d’attirer la suite : Elle s’est transformée en une période 6 (par dédoublement de période). Mais la courbe séparatrice n’est plus une parabole (c’est une sextique et elle est représentée en cyan ci-dessous) :

CarMetal - 2.6 ko
période 6

De même, la période 5 n’est pas traitée ici car la courbe n’a pas d’expression analytique connue ; elle possède un point de rebroussement.


Un CarScript

Pour dessiner un nuage de 1000 points qui soit dynamique, il suffit de faire tourner le CarScript suivant :

m=Point("M",1.4,0.3);SetThickness(m,"thick");SetShowName(m,false);
a=Point(0.1,0.2);SetHide(a,true);
for (n=0; n<200; n++){
        b=Point("y_a+1-x_m*x_a*x_a","y_m*x_a");
        SetShowName(b,false);
        SetPointType(b,"point");
        a=b;
}

Comme les coordonnées de b sont calculées à partir de celles de a et de m (le point de contrôle), tout le nuage dépend de M : Il est dynamique.

Voici donc le nuage des 1000 premiers itérés d’un point par le système de Hénon, où le mouvement du point rouge à la souris montre de façon dynamique ce qui est décrit ci-dessus, et bien d’autres choses. Comme la théorie predit que le système est instable si \left|b\right|>1, le point de contrôle a été assigné à ne pas dépasser les lignes pointillées :

CarMetal - 250.4 ko
Le système dynamique
et quand je dis dynamique, c’est vraiment dynamique

Nouveauté 2014 : La figure au format DGPad, manipulable en ligne :

La zone b \simeq -1 est particulièrement conseillée.

Pour ce qui est des autres zones (périodes 5, 8 par exemple) le schéma est plus complexe. La forme typique de ces zones est formée de trois courbes comme celles-ci :

CarMetal - 887 octets
une hirondelle

La zone comprise entre ces courbes ressemblant à une hirondelle, les zones correspondant à des points de période 5, 7, 8, 9 etc. s’appellent des hirondelles de Milnor. On peut les voir dans cette applet où la forme dissymétrique de certaines hirondelles les fait appeler « crevettes » par l’auteur.

La figure ci-dessus se trouve dans le diaporama fractales des diaporamas des utilisteurs du site de CarMetal. N’en valait-elle pas la peine ?

Le source de la figure DGPad

// Coordinates System :
SetCoords(306,230,200);
// Geometry :
A=Point("A",1.4,0.3);
E1=Expression("E1","","","","nuage=[[random(),random()]];for(n=1;n<=400;n++){p=nuage[nuage.length-1];nuage.push([p[1]+1-A[0]*p[0]*p[0],A[1]*p[0]]);};nuage","1.1675","-0.575");
List1=List("List1",E1);
// Styles :
STL(A,"c:#0000b2;s:6;f:17;p:3");
STL(E1,"c:#593820;h:1;s:7;f:24;p:4;cL:200;cPT:YzojNzgwMDEzO2g6MTtzOjEwO2Y6MzA=");
STL(List1,"c:#760012;s:1;f:30;p:0;sg:0");
SetCoordsStyle("isAxis:true;isGrid:true;isOx:true;isOy:true;isLockOx:false;isLockOy:false;centerZoom:false;color:#111111;fontSize:18;axisWidth:1;gridWidth:0.1");
SetGeneralStyle("background-color:#FAFAFA");

[1le logiciel WxMaxima est utile...


Documents joints

le carscript en javascript
le carscript en javascript

Commentaires

Logo de Yves MARTIN
lundi 25 mai 2009 à 22h30 - par  Yves MARTIN

Oh que oui, ça en valait la peine. Grand merci pour toutes ces figures dynamique, mais alors celle-ci !!!
Et dans le voisinage de b=-1 le phénomène est quasi hypnotique !!! Même si ce n’est pas la définition d’un attracteur étrange ;-)

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- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
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Brèves

DGPad à Limoges

mercredi 19 avril

L’IREM de Limoges a réussi à inscrire au P.A.F. une journée de présentation de DGPad ; la tortue y a eu un franc succès. Voici le compte-rendu. Il y a des ressources à réinvestir en classe, n’hésitez pas à y puiser !

DGPad sur MathémaTICE

lundi 20 mai 2013

La révolution tactile, toute naissante, en est probablement à ses premiers balbutiements. Et pourtant, ses premières réalisations contiennent déjà de petits bijoux. C’est le cas, pour ce qui est de la géométrie dynamique, de DGPad. En deux articles sur MathémaTICE, Yves Martin propose un vaste tour d’horizon de cette nouvelle application.

Sur le Web : DGPad sur MathémaTICE

Périmètre, aire et volume au collège

lundi 16 janvier 2012

Myriam Bouloc Rossato et Jean-Jacques Dahan ont conçu un scénario interactif pour enseigner les notions de périmètre, d’aire et de volume au collège à l’aide de la géométrie dynamique (Cabri 2Plus et Cabri 3D). Le document s’appuie sur des figures animables en ligne et sur des vidéos postées sur YouTube.

Sur le Web : Document interactif

Le théorème d’Ayme

dimanche 4 décembre 2011

Notre collègue Jean-Louis Ayme est à l’honneur : il vient de publier un nouveau théorème, le « théorème d’Ayme » ou « théorème des quatre points ».

Deux nouveaux points remarquables du triangle, les points X3610 et X3611, lui ont été attribués - ainsi qu’à Peter Moses - par Clark Kimberling dans son Encyclopedia of Triangle Centers.

Sur le Web : Le théorème d’Ayme

Geometry Géométrie Geometria

mercredi 2 novembre 2011

Geometry Géométrie Geometria est un site extrêmement riche réalisé par Jean-Louis Ayme : entièrement consacré à la géométrie du triangle, il mérite d’être visité longuement.

On pourra lire notamment le très attrayant volume 20 sur les cercles inscrits égaux, qui fait écho à des articles déjà publiés sur le site de l’IREM.

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