Visite formelle chez Pappus, Desargues, Pascal

lundi 1er septembre 2014
par  Yves MARTIN

Cette présentation se propose de mettre en évidence, par des notations formelles, des relations algébriques génériques entre alignement de trois points et concours de trois droites. Nous allons essentiellement mettre en évidence et illustrer deux résultats : un « Pappus algébrique » et un « Desargues algébrique ». Pour cela, une première partie reprend la justification de ces écritures formelles sur points et droites. Le cœur de l’article est dans la deuxième partie. Une autre partie revient sur les équations barycentriques (ou tangentielles) des coniques, car Pappus et Pascal sont, formellement, le même théorème.

Bien entendu, les relations de dualité entre droites et points ne sont pas nouvelles, elles sont au cœur même de la géométrie projective (que Pappus soit un théorème ou un axiome de construction du plan projectif) et sont également très présentes en algèbre linéaire. Mais la géométrie projective n’est plus enseignée depuis bien longtemps, tandis que la dualité des espaces vectoriels est elle-même en passe de disparaître des enseignements de base de la licence (elle a déjà disparu des programmes de CGPE).

À la place on fait beaucoup d’autres choses, plus contemporaines, en particulier de la programmation et du calcul formel : c’est par ce dernier que nous allons retrouver, avec un point de vue peut être plus algébrique que d’ordinaire, ces profondes relations entre alignement et concours.

Cet article est structuré en six parties :

1. Écriture algébrique d’alignement de points et concours de droites
2. Version algébrique du théorème de Pappus
3. Approche algébrique de Desargues
4. Coordonnées barycentriques des coniques. Exemples
5. De Pappus à Pascal
6. Autre caractérisation de l’alignement

Dans tout cet article on se place dans un plan affine, a priori sur le corps des nombres réels (plus généralement sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2, ce qui semble suffire).
Le déterminant de trois termes a, b, c est noté par le produit mixte [a, b, c] .

Pappus | Desargues | Coniques | Pascal | Autre alignement


1. Coordonnées barycentriques pour points, droites, intersection de droites

1.1. Alignement de 3 points

On se place dans un repère affine (O, I, J) (quelconque) du plan. Étant donnés trois points M, N, P avec leurs coordonnées barycentriques dans (O, I, J), on sait que ces trois points M, N, P sont alignés si et seulement si le produit mixte de leurs coordonnées barycentriques, noté [M, N, P] est nul :

Théorème : (M, N, P) alignés \Leftrightarrow  [M, N, P] = 0.

Rappel de la preuve

C’est simplement un passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées barycentriques. Soit (A, B, C) le repère affine du plan associé au repère cartésien (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}). L’écriture cartésienne \overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} s’écrit, de manière barycentrique, sous la forme M=(1-x-y)A+xB+yC (avec la notation de Grassmann).

On considère alors trois points M_1, M_2, M_3 de coordonnées barycentriques normalisées respectives M_i \left( \begin{array}{( c )} 
\alpha_i \\ 
\beta_i \\ 
\gamma_i \\
\end{array} \right) avec \gamma_i=1-\alpha_i-\beta_i et de coordonnées cartésiennes M_i (x_i, y_i). Avec ces notations, [M_1,M_2,M_3] = \begin{array}{| l c r |} 
\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ 
\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ 
\gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \\
\end{array}.

Les trois points M_1, M_2, M_3 sont alignés ssi les deux vecteurs \overrightarrow{M_1M_2} et \overrightarrow{M_1M_3} sont liés, soit ssi \begin{array}{| c c |} 
x_2-x_1 & x_3-x_1  \\ 
y_2-y_1 & y_3-y_1 \\
\end{array} = 0.

Ceci est équivalent à \begin{array}{| cc  c |} 
1 & 0 & 0\\
x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ 
y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \\
\end{array} = 0, ou encore, en ajoutant la première colonne aux deux autres, à \begin{array}{| cc  c |}
1 & 1 & 1\\
x_1 & x_2 & x_3  \\ 
y_1 & y_2& y_3 \\
\end{array} = 0.
En retranchant les deux dernières lignes de la première, c’est aussi équivalent à :
\begin{array}{| cc  c |}
1-x_1-y_1 & 1-x_2-y_2 & 1-x_3-y_3\\
x_1 & x_2 & x_3  \\ 
y_1 & y_2& y_3 \\
\end{array} = 0, ce qui n’est autre que le déterminant initial nul : \begin{array}{| l c r |} 
\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ 
\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ 
\gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \\
\end{array}=0 , c’est-à-dire [M_1,M_2,M_3]=0.

Cette preuve a été faite pour des cordonnées normalisées. Compte tenu des propriétés trilinéaires des déterminants, il est clair que c’est aussi une équivalence pour des coordonnées barycentriques non normalisées.

(fin du bloc de la preuve du résultat)


Or le produit mixte [u, v, w] — qui n’est autre que le déterminant det(u, v, w) — est justement mixte au sens où il s’écrit avec le produit vectoriel et le produit scalaire : [u, v, w] = (u \wedge v).w. C’est même, en général, la définition du produit vectoriel, qui, comme application, est bilinéaire et antisymétrique.

1.2. Coordonnées barycentriques de droites. Équations tangentielles

Ainsi, M appartient à la droite (AB) s’écrit aussi [A, B, M] = 0, ou encore (A \wedge B).M = 0.

On appelle coordonnées barycentriques de la droite (AB), les coordonnées de A \wedge B. Si M a pour coordonnées barycentriques (x, y, z) et A \wedge B s’écrit (a, b, c), la nullité du produit scalaire précédent devient ax+by+cz=0. Cette équation s’appelle une équation tangentielle de la droite (AB). C’est une relation qui caractérise les coordonnées barycentriques d’un point M de cette droite (AB).

Théorème : M \in (AB) \Leftrightarrow (A \wedge B).M = 0.


Remarques :
Ces rappels ne sont pas un cours, ce ne sont que des rappels. Il conviendrait par exemple de montrer le sens réciproque : l’ensemble des points M(x,y,z), tel que ax+by+cz=0, avec a, b, c non tous égaux — sinon les points A et B seraient confondus — est bien une droite affine.
De même il faudrait préciser à chaque fois que le triplet de coordonnées (x, y, z) est non nul.
Tout ceci est très bien traité dans de nombreux cours, en ligne ou dans des ouvrages classiques comme les deux cités en référence en fin d’article.
Ces ouvrages en général n’utilisent pas la notation du produit vectoriel, plus anglo-saxonne semble-t-il, mais on la trouve aussi chez Daniel Perrin dans son dernier livre de géométrie, disponible en ligne.

1.3.Exemples et explorations dynamiques

Dans la figure dynamique suivante vous êtes invité à placer les points M et N sur les différentes droites : côtés du triangles ABC, droites parallèles à ces côtés passant par le sommet opposé, les médianes, ou la droite des milieux (JK). Pour cela les deux points M et N sont aimantés par ces droites, ce qui permet d’avoir des résultats précis sur les différentes coordonnées barycentriques.

Dans chaque cas, observer les coordonnées des points M et N et les coordonnées barycentriques de la droite concernée. Confirmer par du calcul vectoriel avec le théorème ci-dessus (détails et illustrations dans le bloc après la figure).


Commentaires de la figure à l’ouverture

M et N sont sur la droite (JK), on s’intéresse donc à une équation tangentielle « de la droite des milieux ».
On lit, dans la liste DbMN — pour Droite barycentrique (MN) — qu’une équation barycentrique de (MN) est ici x-y-z=0 car le triplet est de la forme [a,-a,-a].
Les coordonnées barycentriques normalisées de M et N illustrent que la coordonnée sur A est toujours 1/2. Cela vient du fait que les coordonnées M(x, y, z) doivent vérifier à la fois x+y+z=1 (écriture normalisée) et x-y-z=0, soit, par somme, 2x=1 d’où le résultat.
Il en résulte que les points M et N, sur (JK), ont leurs coordonnées barycentriques de la forme [0,5 ; y ; 0,5 - y].

Calcul de l’équation barycentrique de (JK)

On part simplement de J(1, 1, 0) et K(0, 1, 1), alors J \wedge K = (1, -1, -1).
Ce qui est bien illustré dans la figure ci-dessus (à l’ouverture, à un coefficient d’homogénéité prés). On voit que l’on n’a pas besoin d’utiliser les écritures barycentriques normalisées.

Le lecteur est invité à prendre le temps d’explorer d’autres situations, par exemple les quatre illustrations du bloc suivant, ou poursuivre avec d’autres droites non traitées.

Autres calculs de droites et illustrations statiques.


Droite (BC)

La droite (BC)

B \wedge C = A, et donc la droite (BC) a pour coordonnées barycentriques (1, 0, 0), soit encore pour équation tangentielle x=0.
Les points de (BC) ont alors des coordonnées barycentriques normalisées de la forme (0, y, 1-y).

Parallèle à (BC) par A

La parallèle à (BC) passant par A.

Un point de la parallèle à (BC) passant par A est par exemple le point A+C-B, quatrième point D du parallélogramme ABCD, donc des coordonnées barycentriques de cette droite sont A \wedge (A+C-B) = A \wedge (C-B) = -B-C, soit (0, -1, -1), et donc une équation tangentielle de la droite est y+z=0.

Les points de cette droite ont donc les coordonnées barycentriques normalisées du type [1, y, - y] comme on l’illustre en plaçant M et N sur cette droite :

Médiane (BK)

La médiane issue de B

On part de l’écriture B \wedge K, avec K de coordonnées non nécessairement normalisées. On trouve alors (1, 0, -1), soit une équation tangentielle de la forme x-z = 0.

Avec x+y+z = 1, les points de cette médiane ont leurs coordonnées barycentriques normalisées de la forme [x, 1-2x, x], ce que l’on illustre ci-dessous :

Médiane (AG)

La médiane issue de A

Même si G n’est pas précisé sur la figure, c’est bien entendu l’intersection des médianes, de coordonnées barycentriques {(1, 1, 1).

Un triplet de coordonnées barycentriques de la médiane (AG) est alors B \wedge K, soit (0, -1, 1). Ce qui donne une équation tangentielle -y+z = 0.

Toujours avec l’écriture normalisée x+y+z = 1, les points de cette médiane ont leurs coordonnées barycentriques de la forme [1-2z, z, z], ce que l’on illustre ci-dessous :


1.4. Direction d’une droite donnée par ses coordonnées tangentielles. Conséquence

Soit une droite d de coordonnées tangentielles (u, v, w), A et B deux points. On a :
A \ind \Leftrightarrow A.(u, v, w) = 0 et B \in d \Leftrightarrow  B.(u, v, w) = 0.

Si A et B sont normalisés on sait que les coordonnées barycentriques de la différence, ce que l’on peut écrire B-A sont les coordonnées barycentriques du vecteur \overrightarrow{AB}.

Ainsi un vecteur \vec{k}, représenté par ses coordonnées barycentriques, est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si \vec{k}.(u, v, w) = 0.

Conséquence : équation tangentielle de la droite d(A, \vec{k})
Les deux points A et A+\vec{k} sont deux points de la droite. Donc des coordonnées barycentriques de la droite d sont A \wedge (A+\vec{k}) soit encore A \wedge \vec{k}.

Exemple : la médiane issue de C.
En notant encore J le milieu de [AB], on peut écrire \overrightarrow{CJ} = J-C = \frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B-C. Ainsi les « coordonnées barycentriques » (somme des coefficients nulle) de \overrightarrow{CJ} sont \left(  \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1\right). Pour les calculs on peut prendre (1, 1, -2).
Les cordonnées barycentriques de la médiane issue de C sont alors C \wedge \overrightarrow{CJ}, soit (proportionnelles à) (-1, 1, 0) et une équation tangentielle est alors -x+y =0.
Avec la contrainte de normalité les coordonnées barycentriques des points de cette droite sont de la forme [y, y, 1-2y].


1.5. Coordonnées barycentriques de l’intersection de deux droites

Théorème : Soient deux droites avec leurs coordonnées barycentriques : d_1 (u_1,v_1,w_1) et d_2 (u_2, v_2, w_2). Alors un point P(x, y, z) est à l’intersection de ces deux droites ssi ses coordonnées barycentriques normalisées vérifient le système :
\left\{\begin{array}{l} u_1x+v_1y+w_1z=0\\ u_2x+v_2y+w_2z = 0\\x+y+z=1  \end{array}\right.

Ce point P existe et est unique ssi le déterminant \Delta de ce système n’est pas nul. Dans ce cas, on a le résultat suivant :

Théorème : Les coordonnées barycentriques de l’intersection P de deux droites affines distinctes, d_1 et d_2, données par leurs coordonnées barycentriques, sont P = d_1 \wedge d_2.

Autre point de vue (plus formel) : Par définition du produit mixte, les deux expressions (d_1 \wedge d_2).d_1 et (d_1 \wedge d_2).d_2 sont nulles, ce qui signifie, en terme d’équations tangentielles de droites, que, s’il existe, le point P défini par d_1 \wedge d_2 appartient aux deux droites et est donc bien leur intersection.

Deux exemples utilisant les calculs précédents :
• La médiane issue de A a pour coordonnées barycentriques (0, -1, 1), celle issue de C, (-1, 1, 0). Le produit vectoriel des deux donne le point de coordonnées barycentriques (1, 1, 1), soit l’isobarycentre du repère affine (A, B, C).
• la médiane issue de B a pour coordonnées barycentriques (1, 0, -1). La parallèle à (BC) passant par A a pour coordonnées barycentriques (0, 1, 1). Le produit vectoriel des deux donne le point de coordonnées barycentriques (1, -1, 1). Or ce point est bien le point D symétrique de B (le -1 du triplet), par rapport au milieu de A et C (les deux 1), c’est-à-dire le quatrième point du parallélogramme ABCD.

Cas où le déterminant est nul,  \Delta =0 (en seconde lecture, et pour la preuve du 1.6)

En conservant seulement le numérateur des formules de Cramer générales

Le triplet obtenu a ses coordonnées de somme nulle, il correspond donc à un vecteur. Or ce triplet est bien entendu solution des deux premières équations. Comme les deux droites sont distinctes, leurs coordonnées barycentriques sont non proportionnelles, donc le triplet de Cramer n’est pas nul, c’est donc un vecteur directeur des deux droites qui sont alors parallèles.

1.6. Produit mixte des coordonnées tangentielles et concours de trois droites

Théorème : Soient trois droites et leurs coordonnées barycentriques : d_1 (u_1,v_1,w_1) , d_2 (u_2, v_2, w_2) et d_3 (u_3, v_3, w_3). Alors ces trois droites sont parallèles ou concourantes si et seulement si [d_1, d_2, d_3] = 0.

Preuve (issue du « Tisseron »<BR>
Notons \Delta = [d_1, d_2, d_3]
• Si d_1=d_2 alors \Delta = 0, car deux lignes sont proportionnelles. Soit d_3 est parallèle à d_1 et elles sont toutes les trois parallèles, soit ces deux droites sont sécantes et alors les trois sont concourantes.
• Si d_1 \neq d_2, décomposons le déterminant selon la troisième ligne, on peut écrite \Delta = u_3x+v_3y+w_3z. On distingue alors deux cas :
i) soit les droites d_1 et d_2 ne sont pas parallèles, et alors P(x, y, z) est leur point d’intersection. Ce point est un point de d_3 ssi \Delta=0. Donc les trois droites sont concourantes ssi \Delta=0.
ii) soit d_1 et d_2 sont parallèles, alors, comme vu ci-dessus, le triplet (x, y, z) représente un vecteur directeur de ces deux droites. Dans ce cas, c’est aussi un vecteur directeur de d_3 , i. e., les trois droites sont parallèles ssi \Delta=0.

Exemple utilisant les calculs précédents :
Les équations tangentielles des trois médianes d’un triangle sont (dans le repère du triangle)
• issue de A \;  :\;  -y+z =0, soit (u_1,v_1,w_1) = (0, -1, 1)
• issue de B \; :\;  x-z = 0, soit (u_2, v_2, w_2) = (1, 0, -1)
• issue de C \; :\; -x+y = 0, soit (u_3, v_3, w_3) = (-1, 1, 0)
Et le déterminant vaut : \begin{array}{| l c r |} 
0 & -1 & 1 \\ 
1 & 0 & -1 \\ 
-1 & 1 & 0 \\
\end{array} = 0

Alignement concours | Desargues | Coniques | Pascal | Autre alignement


2. Aspects algébriques de Pappus et Desargues

2.1. Calculs préliminaires

Soient A, B, C et D quatre points du plan rapporté à un repère affine. On vient de voir que (A \wedge B) donne les coordonnées tangentielles de la droite (AB), et que (A \wedge B) \wedge (C \wedge D) sont les coordonnées barycentriques du point d’intersection, quand il existe, des droites (AB) et (CD).

Ainsi, formellement, cette expression est combinaison linéaire d’une part de A et B, d’autre part de C et D. On vérifiera aisément, par le calcul formel, que :

(A \wedge B) \wedge (C \wedge D) = [A, C, D] B - [B, C, D] A = [A, B, D] C - [A, B, C] D.

Remarque : ces égalités sont formelles, elle ne relèvent pas de la notation de Grassmann puisque, a priori, [A, C, D]-[B,C,D] n’est pas égal à 1. Mais comme toujours on peut s’y ramener en divisant par cette quantité.

2.2. Lemme de Pappus algébrique

On considère désormais 6 points du plan, A, B, C, et A_1, B_1, C_1.

Soit \; p=[(A \wedge B_1) \wedge (B \wedge A_1), (B \wedge C_1) \wedge (C \wedge B_1), (C \wedge A_1) \wedge (A \wedge C_1)]
Alors
p=[A, B, A_1].[B, C, B_1].[C, A, C_1].[A_1, B_1, C_ 1] - [C_1, A_1, A].[A_1, B_1, B].[B_1, C_1, C].[A, B, C].

Preuve : Dans chaque double produit vectoriel on utilise l’égalité du lemme préliminaire.

En notant m_1=[A, B, A_1], m_2=[B_1, B, A_1], n_1=[B, C, B_1], n_2=[C_1, C, B_1], p_1=[C, A, C_1] et p_2=[A_1, A, C_1], alors p=[m_1B_1-m_2A, \; n_1C_1-n_2B, \;  p_1A_1-p_2C], ce qui se décompose par trilinéarité en

p=m_1n_1p_1[B_1,C_1,A_1]-m_1n_1p_2[B1, C1, C]-m_1n_2p_1[B_1, B, A_1]+m_1n_2p_2[B_1, B, C]
-m_2n_1p_1[A, C1,A1]+m_2n_1p_2[A, C1, C]+m_2n_2p_1[A, B, A_1]-m_2n_2p_2[A, B, C], soit encore, par propriété du déterminant,

p=m_1n_1p_1[B_1,C_1,A_1]-m_1n_1p_2n_2-m_1n_2p_1m_2+m_1n_2p_2n_1
-m_2n_1p_1p_2+m_2n_1p_2p_1+m_2n_2p_1m_1-m_2n_2p_2[A, B, C]

Les six termes centraux du développement s’annulent deux, à deux. Il ne reste que les deux termes extrêmes, p=m_1n_1p_1[B_1,C_1,A_1]-m_2n_2p_2[A, B, C], ce qui prouve le lemme.

On notera que, la relation du lemme préliminaire étant établie, l’égalité algébrique de Pappus est formelle en soi.

2.3. Version affine du théorème de Pappus

Deux droites d et d_1 contiennent respectivement les point A, B, C et A_1, B_1, C_1. On suppose que les trois paires de droites (AB_1) et (BA_1), (BC_1) et (CB_1), (CA1) et (AC1) sont sécantes respectivement en M, N et P. Alors, les trois points M, N et P sont alignés.

Preuve : l’expression p du lemme rend compte de l’éventuel alignement des points M, N et P : ces trois points sont alignés ssi p=0.
Or, avec les hypothèses du théorème, les deux produits mixtes [A, B, C] et [A_1, B_1, C_1] sont nuls et donc l’expression p est nulle (algébriquement).

2.4. Illustration générale : Pappus et Pascal

Dans l’illustration suivante on peut vérifier que l’expression avec les produits mixtes est numériquement toujours égale au produit mixte des intersections M, N, P, donc les coordonnées barycentriques sont calculées, comme dans la formule, avec double produit vectoriel (nous y reviendrons au paragraphe suivant).
Le point C est aimanté par la droite (AB), et C_1 par la droite (A1_1B_1). On vérifie que si on place ces points sur les droites correspondantes, les produits sont nuls et les points M, N, P alignés (aire de MNP nulle par exemple).


Mais on a aussi ajouté la conique passant par les cinq points A, B, C, A_1, B_1. Le point C_1 est aussi aimanté par cette conique. Chacun pourra constater que, quand C_1 est placé sur la conique, les deux produits sont égaux et donc les trois points M, N, P sont alignés.

En effet le lemme de Pappus est en fait un lemme de Pascal et donc une preuve formelle du théorème de « l’hexagramme de Pascal » sur les coniques. Encore faut-il donner un sens, sur les coniques, à l’expression de droite du lemme : la différence de quatre produits de produits mixtes, Nous y reviendrons quand nous aurons abordé les équations barycentriques des coniques, dans la partie 4 de l’article.

On peut consulter une figure plus grande — et donc plus complète avec toutes les coordonnées barycentriques des points dans cette figure en ligne (choisir un nouvel onglet) : http://goo.gl/1ZO1Ll

2.5. Lemme de Pappus, produit mixte et rapport d’aires

On sait que le produit mixte des coordonnées barycentriques normalisées de trois points P, Q, R rapportées à un repère affine A, B, C est égal au rapport algébrique des aires des triangles PQR et ABC :

[P, Q, R] \; = \; \frac{a(PQR)}{a(ABC)}.

Si le lecteur observe la figure plus complète proposée avec le lien ci-dessus, il pourra vérifier que les coordonnées barycentriques des six points de base A, B, C, A_1, B_1, C_1 sont normalisées. Il en résulte que les produits mixtes utilisant trois de ces six points sont les rapports d’aire des triangles par rapport au triangle du repère affine de référence.

C’est ce que l’on vérifie ci-dessous pour deux cas, le triangle de référence étant le triangle IJK. Vérification au signe près (d’où les valeurs absolues) car les aires affichées sont — actuellement — géométriques dans DGPad.

Par contre ce n’est pas le cas des points M, N et P dont les coordonnées barycentriques sont calculées par double produit vectoriel, comme dans le lemme. (Placer C_1 sur la conique par exemple.)


Il en résulte que le produit mixte [M, N, P] n’est pas égal au rapport d’aires \frac{a(MNP)}{a(IJK)}. On retrouve bien entendu le bon calcul — et le résultat du lemme — si on multiplie ce rapport d’aire par le produit des « masses totales » des points M, N et P. C’est ce qui est illustré dans la figure précédente.

On retiendra de cette figure qu’elle est une bonne illustration de l’aspect formel du lemme algébrique de Pappus : il faut bien prendre les coordonnées barycentriques calculées par double produit vectoriel des points M, N, P et certainement pas les simples coordonnées barycentriques normalisées qui seraient données par la macro-construction utilisée pour les six autres points de base de la figure.

Alignement concours | Pappus | Coniques | Pascal | Autre alignement


3. Théorème de Desargues

3.1. Lemme de Desargues formel

On considère toujours 6 points du plan, A, B, C, et A_1, B_1, C_1. On s’intéresse à d’autres produits mixtes.

Soit \; d=[(A \wedge B) \wedge (A_1 \wedge B_1), (B \wedge C) \wedge (B_1 \wedge C_1), (C \wedge A) \wedge (C_1 \wedge A_1)]
Alors
d=[A \wedge A_1, B \wedge B_1, C \wedge C_1].[A_1, B_1, B].[A, B, C].

Preuve par le calcul formel. En se plaçant, de manière formelle, dans un repère affine du plan, la première expression est un polynôme homogène de degré 12. La preuve du resultat peut se faire par du calcul algébrique brut. Voici les calculs (non effectués) tels qu’on peut les présenter dans wxMaxima :

Ce qui donne le résultat suivant :

3.2 Théorème de Desargues affine

Soient A, B, C trois points non alignés, et A_1, B_1, C_1 trois autres points non alignés.
On note M, N, P les intersections des droites prises deux à deux, respectivement (AB), (A_1B_1), puis (BC), (B_1C_1) et (CA), (C_1A_1).
Alors M, N et P sont alignés si et seulement si les droites (AA_1), (BB_1) et (CC_1) sont parallèles ou concourantes.

Remarque : si, par exemple, les points A_1, B_1, C_1 sont alignés, alors les points M, N, P sont alignés sur (A_1B_1) sans que les trois droites (AA_1), (BB_1), (CC_1) soient parallèles ou concourantes, d’où la précision des hypothèses du théorème.

Preuve : Les deux hypothèses sur les triplets de points non alignés signifient que les produits mixtes [A, B, C] et [A_1, B_1, C_1] sont non nuls.
Par ailleurs on a M = (A \wedge B) \wedge (A_1 \wedge B_1), N = (B \wedge C) \wedge (B_1 \wedge C_1), et P =  (C \wedge A) \wedge (C_1 \wedge A_1).
Le lemme précédent montre alors que ces trois points alignés ([M, N, P]=0) ssi [A \wedge A_1, B \wedge B_1, C \wedge C_1]=0, soit les trois droites (AA_1), (BB_1), (CC_1) sont parallèles ou concourantes.

3.3. Illustration dynamique

En formation initiale, cela a du sens d’insister sur la configuration à retenir (plutôt que le théorème affine), en particulier dans son plongement dans l’espace, le théorème relevant alors de l’intersection de deux sections planes dans une pyramide à base triangulaire


3.4. Preuve classique du théorème de Desargues

Si on ne cherche pas à démontrer le lemme algébrique général de Desargues, une démonstration plus classique est possible. Elle consiste à se placer dans le repère affine (A, B, C). On a alors [A, B, C] = 1. Dans ce cas, l’expression qui rend compte de l’alignement des points dans le lemme précédent n’est plus qu’un polynôme homogène de degré 6, et les deux expressions de la partie droite sont chacune des polynômes de degré 3. Le calcul est bien plus élémentaire et peut se faire manuellement (un peu comme la preuve chez Tisseron par exemple). Voici ce que cela donné avec wxMaxima :

3.5. Pappus et Desargues dans le cas d’une approche axiomatique

L’approche algébrique, sur la base d’espaces vectoriels, si elle est élégante comme on vient de le voir, masque néanmoins aussi la richesse de ces questions de configuration quand elles sont replacées dans le contexte d’une approche axiomatique. Sans entrer dans le détail, ce paragraphe rappelle quelques résultats importants à ce sujet.

D’une manière générale, on se donne un ensemble E d’éléments qu’on appelle « points » et un sous ensemble D des parties de E qu’on appelle l’ensemble des droites. Une version simplifiée de l’approche l’axiomatique consiste à considérer l’appartenance d’un point à une droite comme notion d’incidence. Des versions plus sophistiquées existent pour rendre compte de toutes les géométries simultanément.

On peut travailler dans deux types de plans, projectifs ou affines dont voici les définitions axiomatiques :

Définition d’un plan projectif :
P1 : par deux points distincts il passe une et une seule droite.
P2 : deux droites distinctes ont toujours un et un seul point d’intersection.
P3 : toute droite possède au moins 3 points.
P4 : il existe au moins trois points non alignés.

Les deux derniers axiomes ne sont là que pour éviter les cas dégénérés de géométries projectives sans intérêt. L’essentiel est dans les deux premiers axiomes qui sont symétriques, le second pouvant s’exprimer « par deux droites il passe un et un seul point ».

Définition d’un plan affine  :
A1 : par deux points distincts il passe une et une seule droite.
A2 : par un point M n’appartenant pas à une droite d, il passe une et une seule droite passant par M ayant une intersection vide avec la droite d.
A3 : toute droite possède au moins 3 points.
A4 : il existe au moins trois points non alignés.

Seul l’axiome 2 diffère dans les deux définitions d’un plan projectif ou affine. Dans le cas affine, on aura reconnu le fameux axiome d’Euclide.

Il en résulte la définition de deux droites parallèles : ce sont soit des droites confondues (nécessaire pour que le parallélisme soit une relation d’équivalence) soit deux droites d’intersection vide. La classe d’équivalence qui en résulte est la notion de direction (de droites parallèles). Cette notion de direction de droites est utile pour construire un plan projectif à partir d’un plan affine :

Construction d’un plan projectif à partir d’un plan affine.
Étant donné un plan affine, on considère l’ensemble \Delta_\infty de toutes les directions \Delta_d des droites du plan. Pour construire un « complété projectif » du plan affine, on ajoute aux points affines l’ensemble de toutes les directions, et à l’ensemble des droites une droite, celle dite « de l’infini », \Delta_\infty. Pour définir les droites projectives, on complète chaque droite affine en y ajoutant sa direction qui correspond ainsi à son intersection avec la droite de l’infini. On vérifie qu’on a bien, toujours l’axiome P1 et qu’on a bien l’axiome P2.

On peut faire le procédé inverse : d’un plan projectif, on peut enlever une droite, quelconque, et construire à partir de cet ensemble un plan affine, et ses droites.

Approche axiomatique de l’espace et théorème de Desargues.
L’approche axiomatique de l’espace - de dimension 3 - projectif ou affine, est nettement plus complexe car il faut préciser, axiomatiquement, toutes les relations entre plans, droites et points. Nous ne la détaillerons pas ici.
Comme on le voit sur l’illustration dynamique de Desargues ci-dessus, on a naturellement une configuration d’intersection de deux plans d’un tétraèdre qui forme une droite.
Et effectivement, d’un point de vue axiomatique, l’existence d’un espace affine de dimension 3 induit le théorème de Desargues dans le plan.

Il en résulte que la question de l’existence ou non de la configuration de Desargues, est une question essentiellement plane.

Dans les plans (projectifs ou affine), en terme de configuration, on peut avoir - ou non - le théorème de Desargues. Alors un résultat fondamental de géométrie est celui-ci :

Lien entre l’approche algébrique et l’approche axiomatique
Un plan (projectif ou affine) est issu d’une structure algébrique si et seulement si le théorème de Desargues est vérifié. On parle alors de géométrie arguésienne.

Autrement dit la configuration de Desargues permet la construction d’un corps de nombres pour lequel le plan (par exemple affine) sera issu d’une structure vectorielle sur ce corps. En pratique le théorème de Desargues permet l’associativité de la multiplication dans le corps.

Sans le théorème de Desargues, on peut voir sur cet exemple dynamique du plan de Moulton (illustrations en java, il faut « activer le module java ») que le corps de coordonnées ne peut pas exister. Sur le plan métrique, le plan de Moulton présente alors de nombreuses propriétés surprenantes (illustrées dans le lien précédent) comme le fait que le plus petit chemin d’un point à une droite n’est pas toujours la projection orthogonale et même n’est pas nécessairement un segment.

Lien entre Pappus et Desargues
Si un plan vérifie le théorème (projectif ou affine) de Pappus, alors il est arguésien (il vérifie aussi le théorème de Desargues), et le corps de nombres associé est commutatif.

Remarque : c’est le théorème de Pappus qui permet de dire que la composée de deux homothéties de même centre est - sauf le cas de l’identité - une homothétie de rapport le produit des rapports, car, avec Pappus, la composée de deux homothéties de même centre est commutative.

Voici une preuve, avec les configurations, que Pappus implique Desargues. Rédigé directement dans DGPad, dans un cas « générique » : il faudrait traité quelques cas particuliers où des points sont confondus ... mais quand des points sont confondus, les alignements sont plus immédiats.

Alignement concours | Pappus | Desargues | Pascal | Autre alignement


4. Équations barycentriques de coniques

Tout d’abord précisons que ce n’est pas parce que ces notions ne sont plus dans les maquettes de formations qu’il y a une quelconque difficulté sur le sujet, comme parfois l’imaginent certains étudiants. C’est juste que ce n’est plus au programme.

4.1. Équations barycentriques des coniques

Dans ce paragraphe, on utilise abondamment la démarche et les notations de Tisseron - en particulier dans les calculs détaillés lacés dans des blocs. Deux approches seraient possibles : donner d’emblée une définition affine des coniques à partir de leurs équations barycentriques, ou, comme le fait Tisseron, partir du connu dans un repère cartésien, et voir ce que cela donne avec des coordonnées barycentriques.

Il en résulte que les équations barycentriques des coniques utilisent des polynômes homogènes de degré 2. Elles sont de la forme fF(x,y,z)=0f avec
F(x,y,z) = ax^2 +by^2 + cz^2 + 2a'yz+2b'zy+2c"xy.
Plus précisément, une conique est l’ensemble des points M de coordonnées normalisées M(x, y, z) , soit x+y+z=0 tels que F(x,y,z)=0 avec (a,b,c) \neq 0.

Méthode et détail des calculs


On reprend les notations et la démarche proposées dans l’ouvrage de Claude Tisseron.

D’une manière générale on se place dans un repère affine (A, B, C). Si M a pour coordonnées barycentriques normalisées M(x, y, z) avec x+y+z=1, on sait qu’on peut écrire M=xA+yB+zC.
C’est équivalent à  \overrightarrow{CM}=x \overrightarrow{CA} + y \overrightarrow{CB}, soit M(x,y) dans le repère cartésien associé, d’origine C. (D’autres ouvrages prennent l’origine en A. Dans ce cas, ce serait x qui disparaîtrait. Ici on préfère faire disparaître z).

Équation barycentriques des coniques

On part d’une définition algébrique : P(x,y) = Ax^2+By^2+2Dxy+2Ex+2Fy+k, avec (A, B, C) \neq (0, 0, 0).
L’ensemble \mathcal{C} des points M(x,y) dans un repère cartésien donné tel que P(x, y)=0 est appelé une conique du plan d’équation P(x, y)=0.

La transformation qui, aux coordonnées cartésiennes (x,y), associe les coordonnées barycentriques (x, y, z=1-x-y) donne la forme des équations barycentriques des coniques : ce sont des polynômes homogènes de degré 2, de la forme F(x,y,z) = 0 avec
F(x,y,z) = ax^2+by^2+c^2+2a'yz+2b'zx+2c'xy

Pratiquement, on passe de P à F en remplaçant les termes du premier degré et le terme constant en termes du second degré en multipliant (une ou deux fois - pour k) par 1=x+y+z.

Point de vue matriciel (toujours tiré de l’ouvrage de Tisseron)

P(x,y) = \left( \begin{array}{c c c}x & y & 1 \end{array}  \right) \;  \left(  \begin{array}{c c c} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & k \end{array}  \right) =  \left( \begin{array}{c}x \\ y \\/ 1 \end{array}  \right) et  \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ 1 \end{array}  \right)  \left(  \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}  \right) \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}  \right).
Soit en notant X' =  \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ 1 \end{array}  \right), \;  M= \left(  \begin{array}{c c c} A & D & E \\ D & B & F \\ E & F & k \end{array}  \right), \; N =  \left(  \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}  \right) et X = \left( \begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}  \right), on peut écrire :

P(x,y) =     {}^t \! X {}^t \! M X', soit F(x,y,z) = {}^t \! X {}^t \!N M N X ou encore en posant A = {}^t \!N M N on a F(x,y,z) = {}^t \! X A X, ce qui donne les relations entre les coefficients pour  A = \left(  \begin{array}{c c c} a & c' & b' \\ c' & b & a' \\ b' & a' & c \end{array}  \right) :

Le cas des équations barycentriques d’une tangente en un point d’une conique

Soit un point M_0 (x_0, y0, z_0) d’une conique . On sait que l’équation de la tangente à la conique en M_0 est donnée par ce qui s’appelle dans certains ouvrage « l’équation du dédoublement » de P(xy)=0, soit :
Axx_0+ Byy_0+D(xx_0+yy_0)+E(x+x_0)+F(y+y_0)+k = 0
En utilisant la même méthode que pour l’équation barycentriques des coniques - soit multiplier par 1=x+y+z - on arrive à l’équation tangentielle (barycentrique) de la tangente en M_0 :
(ax_0+c'y_0+b'z_0)x + (by_0+a'z_0+c'x_0)y +(cz_0+b'x_0+a'y_0)z = 0


4.2. Équations barycentriques d’une tangente en un point d’une conique

Le même procédé (d’utilisation de 1=x+y+z) permet de passer de l’équation cartésienne d’une tangente en équation barycentrique de cette tangente. Ainsi pour un point M(x_0, y_0, z_0), avec x_0+y_0+z_0 =1, l’équation barycentrique de cette tangente s’écrit :

(ax_0+c'y_0+b'z_0)x+(by_0+a'z_0+c'x_0)y+(cz_0+b'x_0+a'y_0)z = 0

4.3. Cas particuliers - Exemples

4.3.a. Cas d’une conique passant par les trois points du repère affine

Si (A, B, C) est le repère affine dans lequel on travaille, on s’intéresse ici à l’équation barycentrique - à un coefficient multiplicatif prés - d’une conique passant ces trois points.

La conique passe par A : de F(1,0,0)=0 on déduit a=0. De même, « passant par B » donne b=0 et le point C donne à son tour c=0.

Ainsi les coniques passant par A, B et C sont d’équation a'yz+b'zy+c'xy=0

4.3.b. Cas des coniques impropres

On considère une conique ayant trois points distincts A, B, C alignés. On se place alors dans un repère affine (A, B, D), où D n’est pas sur la droite (AB). On note C(u, v, 0) les coordonnées barycentriques de C dans (A, B, D). On a u \neq 0 et v \neq 0. Alors, comme ci-dessus, la conique passant par A et B donne a=0 et b=0. Par ailleurs C étant aussi un point de la conique, de F(u,v,0)=0 il résulte que c'=0.

Ainsi l’équation générale d’une conique passant par trois points alignés est de la forme :
cz^2+ 2a'yz+2b'zx=0 soit encore z(cz+2a'y+2b'x)=0.

Une conique impropre(ayant trois points distincts) est donc la réunion de deux droites :
• la droite d’équation z=0, c’est la droite initiale (AB).
• la droite d’équation cz+2a'y+2b'x=0. Cette droite peut être sécante, strictement parallèle ou confondue avec (AB).

Exercices d’application :
• la réunion des deux droites (AB) et (AC) a pour équation yz=0.
• la réunion des deux droites (AB) et de sa parallèle passant par C a pour équation xz+yz=0.
• la réunion des deux médianes de ABC issues de A et de B a pour équation : z^2+xy-yz-zx=0

4.3.c. Cas des deux ellipses de Steiner

Étant donné un triangle, l’ellipse de Steiner inscrite est l’ellipse passant par les milieux des côtés du triangle et qui tangente aux trois côtés du triangle en ces points. L’ellipse de Steiner circonscrite passe par les trois sommets du triangle et est tangente en chacun de ces points à la parallèle au côté opposé du triangle. On se propose de calculer, à titre d’exemple, les équations barycentriques de ces deux coniques.

Le cas de l’ellipse circonscrite
Passant par les trois points du repère, une équation barycentrique est du type a'yz+b'zx+c'xy=0. La tangente en A a pour coordonnées barycentriques A \wedge (A+C-B) soit encore A \wedge (C-B), et donc y+z=0.
Or dans le cas général, l’équation de la tangente passant par A(1,0,0) s’écrit c'y+b'z=0. Il en résulte que b'=c'.
De même, l’équation de la tangente en B(0, 1,0) aboutit à c'=a'.
Et donc une équation barycentrique de la conique circonscrit de Steiner est xy+yz+zx=0.

Remarque : on notera qu’on a démontré au passage que la conique passant par A, B, C et ayant pour tangente en A la parallèle à (BC) et pour tangente en B la parallèle à (AC) admet nécessairement comme tangente en C la parallèle à (AB).

Le cas de l’ellipse inscrite
Elle passe par A(0,1/2,1/2) ce qui donne b+c+2b'=0. Sa tangente en A' est (BC) d’éqaution x=0 (par exemple parce que B \wedge C = A). Or l’équation générale de la tangente en A’ est, après réduction, de la forme (b'+c')x+(b+a')y+(c+a')z = 0. On a donc b=c=-a'.
On fait de même avec la tangente en B’. Cela aboutit alors à a=b=c, et a'=b'=c'=-a, soit donc une équation générique de l’ellipse de Steiner inscrite : x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx) =0.

Remarques :
• là encore on n’a pas utilisé la tangente en C', C’est une conséquence des autres conditions.
• les deux équations sont symétriques en les variables, il en résulte qu’il n’est pas nécessaire d’utiliser les coordonnées barycentriques normaliser pour tester l’appartenance d’un point à une des coniques.
• par exemple pour illustrer que l’isobarycentre G du triangle est centre des deux coniques, on peut montrer que le symétrique de A par rapport à G appartient bien à la conique extérieure. Or ce point I a pour coordonnées (-1, 2, 2) , et -2+4-2=0.
Pour démontrer que G est bien le centre de la conique, il suffit de le faire pour B et C. En effet on aura trois points d’une conique à centre et leurs symétriques par rapport à un point aussi sur la conique : ce point est nécessairement le centre, une conique étant définie par 5 points.

4.3.d. Illustration dynamique des ellipses de Steiner

M est un point du plan aimanté par les deux coniques et par les symétriques de A, B, C par rapport à G. Stext (pour équation de l’ellipse de Steiner extérieure) et Stint sont des fonctions qui rendent compte des équations de ces deux coniques.

On vérifie que si M est sur une conique, Stext(M) ou Stint(M) est nul.


4.3.e. Exercice : on voit que si M est sur l’ellipse extérieure, Stint(M)=1. On peut s’intéresser à le démontrer, ainsi que la propriété équivalente quand M est sur l’ellipse intérieure.

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5. Le lemme de Pascal algébrique

Dans le lemme de Pappus algébrique, le terme de droite est la différence de deux produits de quatre termes, chacun de ces huit termes étant un produit mixte. Pour dire que ce lemme de Pappus est un lemme de Pascal (ce qu’on a conjecturé expérimentalement) il faut donner un sens en terme de conique à cette expression.

Or c’est très simple. Algébriquement, cette différence des produits de produit mixte n’est autre que le déterminant du système linéaire de 6 équations à 6 inconnues cherchant les solutions pour une conique passant par les 6 points A, B, C, A1, B1, C1. Ce déterminant est :

\Delta \; = \;  \begin{array}{| l c c c c r |} 
x_{A}{}^2 &y_{A}{}^2 & z_{A}{}^2 & y_{A}z_{A} & z_{A}x_{A} & x_{A}y_{A} \\ 
x_{B}{}^2 &y_{B}{}^2 & z_{B}{}^2 & y_{B}z_{B} & z_{B}x_{B} & x_{B}y_{B} \\  
x_{C}{}^2 &y_{C}{}^2 & z_{C}{}^2 & y_{C}z_{C} & z_{C}x_{C} & x_{C}y_{C} \\ 
x_{A_1}{}^2 &y_{A_1}{}^2 & z_{A_1}{}^2 & y_{A_1}z_{A_1} & z_{A_1}x_{A_1} & x_{A_1}y_{A_1} \\ 
x_{B_1}{}^2 &y_{B_1}{}^2 & z_{B_1}{}^2 & y_{B_1}z_{B_1} & z_{B_1}x_{B_1} & x_{B_1}y_{B_1} \\  
x_{C_1}{}^2 &y_{C_1}{}^2 & z_{C_1}{}^2 & y_{C_1}z_{C_1} & z_{C_1}x_{C_1} & x_{C_1}y_{C_1} \\ 
\end{array}

Le calcul peut être effectué avec un logiciel de calcul formel (ici wxMaxima)

Le calcul du déterminant, un peu énorme, n’est pas reproduit ici, mais le résultat est très simple :

Interprétation géométrique

Pour que le système linéaire à 6 équations n’admette pas que la solution triviale, il faut et il suffit qu’il ne soit pas de Cramer et donc il faut et il suffit que le déterminant soit nul.

Or comme vu dans le lemme algébrique de Pappus, c’est équivalent à l’alignement des points M, N, P : on a donc une version formelle de l’hexagramme de Pascal.

On peut en déduire aussi l’unicité d’une conique — en particulier propre — passant par 5 points dont 3 ne sont pas alignés. Nous ne le ferons pas ici, c’est traité en détail dans le Tisseron. On retrouve sa preuve en ligne, par exemple dans ces anciennes pages d’abraCadaBRI (que nous avions rédigé ... avant l’an 2000 ;-) Intéressant de lire la preuve — classique mais très efficace — de Tisseron.

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6. Nouvelle relation pour l’alignement et applications

6.1. Le résultat général

Dans le plan, trois points deux à deux distincts I, J, K sont alignés ssi \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{IK} sont colinéaires donc ssi \overrightarrow{IJ} \wedge \overrightarrow{IK}= \overrightarrow{0} (car chaque vecteur est non nul) .

Soit, en considérant les coordonnées barycentriques normalisées de ces points dans un repère affine, et en développant (J-I) \wedge (K-I), on aboutit à ce résultat.

Propriété : Soient trois points M, N , P donnés, avec leurs coordonnées barycentriques normalisées dans un repère affine. Alors M, N , P sont alignés si et seulement si M \wedge N \; + \; N \wedge P  \; + \; P \wedge M = 0.

Preuve : le 0 est ici le vecteur nul. Pour la preuve, on remarque que la relation est trivialement vraie si deux points sont confondus, on suppose ensuite que les trois points sont deux à deux distincts et le développement ci-dessus aboutit au résultat.

Nécessité des coordonnées normalisées : soit A, B, C un triangle, repère affine du plan. Soit I le milieu de B et C, G l’isobarycentre de A,B,C. On a les coordonnées barycentriques suivantes :
A \left( \begin{array}{( c )}  1 \\   0 \\   0 \\  \end{array} \right) , I \left( \begin{array}{( c )}  0 \\   1  \\   1 \\  \end{array} \right) , et G \left( \begin{array}{( c )}  1 \\   1  \\   1 \\  \end{array} \right)

Alors A \wedge G+G \wedge I + I \wedge A = \left( \begin{array}{( c )}  0 \\   -1 \\   1 \\  \end{array} \right)+\left( \begin{array}{( c )}  0 \\   -1 \\   1 \\  \end{array} \right)+\left( \begin{array}{( c )}  0 \\   1 \\   -1 \\  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{( c )}  0 \\   -1 \\   1 \\  \end{array} \right)

L’égalité avec le vecteur nul n’est pas vérifiée si les coordonnées ne sont pas normalisées, alors que si on prend les coordonnées normalisées des points, on a :
A \wedge G+G \wedge I + I \wedge A = \left( \begin{array}{( c )}  0 \\  \displaystyle \frac{-1}{3} \\   \displaystyle \frac{1}{3} \\  \end{array} \right)+\left( \begin{array}{( c )}  0 \\ \displaystyle \frac{-1}{6} \\ \displaystyle  \frac{1}{6} \\  \end{array} \right)+\left( \begin{array}{( c )}  0 \\ \displaystyle  \frac{1}{2} \\  \displaystyle \frac{-1}{2} \\  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{( c )}  0 \\   0 \\   0 \\  \end{array} \right)

Bien entendu, par homogénéité, si tous les points ont même poids, l’équivalence est encore vérifiée.

6.2. Exemple de la droite de Newton.

On considère I, J, K les milieux des diagonales [DC], [BF], [AE] du quadrilatère complet formé des quatre droites (AB), (AC), (BC), et (DF).

Théorème (Droite de Newton) : Les points I, J, K sont alignés.

Preuve : on doit vérifier que I \wedge J \; + \; J \wedge K  \; + \; K \wedge I = 0
On calcule donc \frac{D+C}{2} \wedge \frac{B+F}{2} \; + \; \frac{B+F}{2} \wedge \frac{A+E}{2} \; + \; \frac{A+E}{2} \wedge \frac{D+C}{2}
Soit, en multipliant par 4, on doit calculer : (D+C)\wedge(B+F)+((B+F)\wedge(A+E)+(A+E)\wedge(D+C).
En développant et en regroupant, on arrive à :
(D \wedge B+B \wedge A+A \wedge D)+(C \wedge B+B \wedge E+E \wedge C)+(D \wedge F+F \wedge E+ E \wedge D)+(C \wedge F+ F \wedge A + A \wedge C).
Or, par hypothèse des alignements sur les 4 droites, chaque parenthèse est nulle, donc la somme est nulle, les points I, J, K sont alignés.

Autre exercice autour du quadrilatère complet

On se donne un quadrilatère complet formé des droites supports du triangle ABC et de la droite (PQ).
On se donne alors les points I, J et K définis par :
I tel que QAPI est un parallélogramme, soit encore I=P+Q-A (écriture normalisée),
J tel que PBRJ est un parallélogramme, soit aussi J=P+R-B, et
K tel que QCRK est un parallélogramme, soit donc K=Q+R-C.

Propriété : Alors les points I, J et K sont alignés.

Preuve : Il s’agit de montrer que I \wedge J \; + \; J \wedge K  \; + \; K \wedge I = 0, avec
I \wedge J = (P+Q-A) \wedge (P+R-B), et de même pour J \wedge K et K \wedge I.
Comme pour la droite de Newton, on développe les produits vectoriels, en utilisant que V \wedge U = - U \wedge V. On regroupe par les alignement donnés par hypothèse, ce qui donne le résultat.

Complément possible : en regardant de près la preuve, on verra que I, J, K sont alignés est équivalent à P, Q, R (sur les droites) sont alignés.

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Ouvrages utilisés pour certaines démonstrations

Géométries affine, projective et euclidienne, Claude Tisseron, Éditions Hermann (1988).
Géométrie analytique classique, Jean Denis Eiden, Éditions Calvage et Mounet (2009).
Présentation algébrique de la géométrie classique. Lucas Vienne. Éditions Vuibert (1996).

Logiciel utilisé pour les illustrations dynamiques

DGPad : webApp (utilisable aussi sur ordinateur) ou iApp, version Android et version iOS. MAJ 18 août 2014.

Voir éventuellement ce tutoriel pour un tour d’horizon des possibilités de ce logiciel, en particulier en 3D.

Si vous êtes intéressé par ce logiciel, voir aussi ce compte rendu des nouveautés d’août 2014 (évolution significative de l’interface).


Documents joints

Figures de l'article 761
Figures de l'article 761
Pour la webApp DGPad ou les iApp du même nom. Version 1 du 24 aout 2014.

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Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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