Questions de nature ontologique dans le cours de mathématiques

dimanche 7 septembre 2014
par  Alain BUSSER

Question fréquente posée lors du corrigé d’un exercice :
- Le prof : « C’est quoi une probabilité ? »
- Les élèves : « Comment ça c’est quoi ? »
- Le prof : « C’est de quelle nature ? »
- Les élèves : « ...??? »
- Le prof : « C’est une droite, un cercle, un triangle ? C’est un quoi ? »
- Quelques élèves (rares) : « Ah oui, c’est un nombre ! »

Une probabilité est un nombre [1] : Cette phrase concerne l’ontologie (informatique) des mathématiques, comme celles où figure le verbe « être ». Or le fait de savoir qu’une probabilité est un nombre permet immédiatement de commencer à résoudre certains problèmes sur les probabilités :

  • Comme une probabilité est un nombre, elle a vocation à être calculée.
  • Comme un évènement n’est pas un nombre, on ne doit pas confondre un évènement avec sa probabilité, en particulier ne pas écrire de signe d’égalité entre les deux : Remplacer E=0,4 par p(E)=0,4.
  • Si des nombres interviennent dans la description d’un évènement, c’est qu’il y a une variable aléatoire [2]. Par exemple, il ne faut pas confondre P(X=4) avec P(X)=4...
  • On peut comparer des probabilités, ceci provient aussi de leur nature numérique.

Bref, lorsqu’un élève trouve un résultat supérieur à 1 alors qu’on lui demandait de calculer une probabilité, il n’a pas conscience que le résultat est aberrant, soit parce qu’il l’a exprimé en pourcentage, soit parce qu’il a oublié (ou jamais vraiment appris) qu’une probabilité est un nombre...


Algèbre

Qu’est-ce que c’est qu’une équation ?

Selon la théorie du mouvement dans les formules, une équation est une expression dont la racine (de l’arbre syntaxique) est constituée d’un signe d’égalité. Néanmoins, il vaut mieux insister sur la distinction entre équation (un problème basé sur l’égalité entre deux expressions) et expression (informatique) (les deux membres de l’équation en sont) [3]. Ce qui conduit alors à ces deux définitions associées :

  • Une équation est un problème posé sous la forme d’une égalité entre expressions où interviennent des inconnues ;
  • Résoudre l’équation, c’est lister toutes ses solutions, c’est-à-dire les valeurs que doivent prendre les inconnues pour que l’égalité entre les deux membres soit effective.

Pour résoudre une équation, on utilise des techniques différentes selon le degré de celle-ci : Typiquement on développe si l’équation est du premier degré, on factorise sinon [4]. Or justement, le verbe « factoriser » ramène encore à des questions de nature ontologique, comme celle-ci, menant souvent à des statistiques surprenantes : « L’expression f(x) est-elle une somme, un produit ou un quotient ? »

La question sous-entend, d’une part, que l’expression n’est pas une fonction (comme dans sin(3x+5) ou dans (3x+5)², etc), d’autre part, qu’une différence est un cas particulier de somme. L’intérêt de cette question est multiple :

  • la méthode de résolution de l’équation f(x)=0 dépend de la forme de f ;
  • « factoriser » sous-entend « transformer en produit » ... à condition de savoir ce que signifie le mot facteur (mathématiques) !
  • « développer » sous-entend « transformer en somme », et simplifier les termes ; pour cela il na faut pas confondre « terme » et « membre » !
  • On ne dérive pas une somme comme on dérive un produit, un quotient ou une fonction du type f(u).

Or les statistiques (dans plusieurs classes) sont rarement unanimes : Une fonction comme 2×x+3 est parfois bien décrite comme une somme, mais souvent aussi comme un produit. Au contraire (x+2)(x+6) est parfois [5] décrite comme une somme [6]. Pour chaque réponse possible, il est intéressant de continuer la conversation en demandant

  • à ceux qui ont répondu que c’est une somme, quels sont ses termes ;
  • à ceux qui ont répondu que c’est un produit, quels sont ses facteurs ;
  • à ceux qui ont répondu que c’est un quotient, quels sont ses numérateur et dénominateur ;
  • à ceux qui répondent que c’est une fonction, sur quelle expression elle porte.

Ceci permet de vérifier que ceux qui ont donné la bonne réponse, ne l’ont pas fait par hasard...

Voici des questions ontologiques vraiment difficiles :

  1. Qu’est-ce que c’est qu’une expression [7] ?
  2. Quelle est la différence entre expression et fonction ?
  3. Quelle est la différence entre fonction et algorithme ?

Toute personne trouvant une réponse simple à l’une de ces questions, est invitée à la laisser en commentaire en bas de cet article.


Géométrie

La géométrie est riche en confusions de langage qui mènent à un grand flou ontologique. Rien que le mot « hauteur » est significatif :

  • Lorsqu’on dit que l’orthocentre est l’intersection des hauteurs, les hauteurs sont des droites (concourantes) ;
  • La hauteur est parfois aussi un segment...
  • ... ou la longueur de celui-ci (donc un nombre !) ; par exemple quand on dit « base fois hauteur sur deux »...
  • Dans un parallélogramme, vue comme une droite, la hauteur n’est nullement unique...

Idem pour les médianes, qui sont des droites ou des segments lorsqu’elles se coupent en le centre de gravité, des nombres lorsque ledit centre de gravité se trouve aux deux tiers de la médiane, ou lorsqu’on parle de série statistique.

Au fait, qu’est-ce que le milieu d’un segment ? Ontologiquement parlant, c’est un point. Mais lorsqu’on demande à un lycéen « typique » ce qu’est le milieu d’un segment, au lieu de répondre ce que c’est, il va en général donner la définition suivante : « Le milieu d’un segment, c’est sa moitié ». Il y a là une confusion de nature ontologique [8], liée à la confusion entre un segment (un trait) et sa longueur (un nombre). La définition correcte serait « le milieu d’un segment divise celui-ci en deux segments égaux (de même longueur) », ou « la distance entre le milieu et une des extrémités du segment est la moitié de la longueur du segment ».

Le milieu d’un segment le divise-t-il vraiment en deux segments ?

  • Voulez-vous me passer ce bout de bois, s’il vous plaît ?
  • Lequel des deux bouts ?
  • Quels deux bouts ? Je ne vois qu’un bout de bois.
  • Parce que vous vous exprimez mal ! Parce qu’un bois, ça a deux bouts. Alors il ne faudrait pas dire « un bout de bois », mais « les deux bouts d’un bois » !
  • Les « deux bouts d’un bois »... D’abord, ça sonne curieux ! On entend « les deux boudins », on ne sait pas s’il s’agit de bouts de bois ou de bouts de boudins !
  • Ne plaisantons pas ! S’il s’agissait de bouts de boudin, on dirait « les deux bouts d’un boudin » ! On ne dirait pas « les deux bouts d’un bois »
  • J’ai toujours appelé un bout de bois un bout de bois, moi ! Alors passez-moi ce bout de bois.

Il prend le bout, tire dessus et me dit :

  • Lâchez l’autre bout !
  • Vous voyez bien qu’il y a deux bouts !

(en le cassant en deux)

  • Bon, puisqu’il y a deux bouts, gardez ce bout-ci ! Moi, je garde ce bout-là ! Ça nous fera chacun un bout !
  • Non, ça nous fait encore chacun deux bouts !
  • ...
  • Hein ?... Vous avez compris ça ?...

Si vous cassez le bout de bois en deux, il y a encore deux bouts à chaque bout ! Il y a toujours deux bouts à chaque bout !

Vous avez compris ça ?...

Vous n’avez pas compris ça ?...

Un bout, c’est irréductible !

Vous ne pouvez pas supprimer le bout d’un bout !... ou alors, il faut supprimer le bout entier.

Prenons un bout de machin... vous coupez le bout d’un machin, il reste encore un bout au bout du machin !

Vous avez compris ça ?...

Alors, prenons un bout... un bout de truc.

Vous préférez un bout de truc ?

Vous prenez un bout de truc, vous coupez le bout d’un truc, il y a encore un bout au bout du truc !

Vous n’avez pas compris ça ?...

Prenons un bout de fil...

De fil de téléphone, par exemple. Bon !

Vous coupez le bout...

Il y a encore quelqu’un au bout du fil !

Vous pouvez prendre mon raisonnement par tous les bouts, il se tient !

(Raymond Devos)

Et où est le milieu du segment initial ? Dans le premier segment ou le second ?

Une solution à ce problème topologique est le Compactifié d’Alexandrov, consistant à coller les deux bouts en un seul ; le segment devient alors un cercle, et on n’a pas à parler des « deux bouts d’un cercle » [9]. Au fait, qu’est-ce que c’est un cercle ? Poser la question à des élèves qui viennent d’entrer en Seconde, est riche d’enseignements... La réponse « un cercle est une ligne » ou « un cercle est une courbe » est satisfaisante, et aide à répondre correctement à la question « quelle est l’aire d’un cercle de rayon 16 ? » [10] ; mais pour des anciens collégiens fraîchement devenus lycéens, une droite n’est, elle, pas une courbe. De même qu’un carré n’est souvent pas considéré comme un rectangle, jusqu’à la vérification que le carré satisfait la définition du rectangle.


Algorithmique

Algobox exige que toutes les variables soient déclarées en préliminaire, en précisant leur type. Ce qui contribue à rendre Algobox « verbeux », mais également à son succès [11]. En Python, on obtient le type d’une variable avec l’instruction type :

a = 2
print(type(a)) #répond "int" soit "entier"
print(type(a=2)) #message d'erreur
print(type('a=2')) #répond "str" soit "string" ou "chaîne de caractères"
print(type(a==2)) #répond "bool" ou "booléen"
print(a==2) #répond "True"
print(a is 2) #idem, en plus parlant

Python est un langage objet, ce qui permet de multiplier les types ad libitum. Par exemple, un point peut être représenté comme un « tuple » de longueur 2 (abscisse,ordonnée). Mais un vecteur aussi. On peut donc utiliser les vecteurs comme des points, pour faire des calculs sur des points :

from turtle import *
p=Vec2D(2,1)
q=Vec2D(4,3)
goto(p)
print(distance(q))
print(abs(q-p))
from math import *
print(hypot(4-2,3-1))
  • Qu’est-ce que c’est qu’un point ? Une figure géométrique invisible ou deux nombres ?
  • Qu’est-ce que c’est qu’un vecteur ? Un point [12] ou deux points ? Ou deux nombres ?
  • Qu’est-ce que c’est qu’une suite, sinon un vecteur de dimension infinie ?
  • Qu’est-ce que c’est qu’un complexe ? Une matrice ? une similitude ? Un nombre ? Un point ? Un vecteur ? La question est ... complexe !

[1En réalité, c’est une fonction à valeurs numériques ; l’ensemble de départ étant une tribu borélienne d’évènements. Une probabilité associe donc à chaque évènement un nombre compris entre 0 et 1, exprimant les chances qu’il a de se réaliser ; cela les élèves le savent bien, c’est bien la nature ontologique de la probabilité qu’ils ignorent.

[2Ontologiquement parlant, une variable aléatoire n’est pas un nombre mais une fonction à valeurs numériques portant sur des évènements. Ontologiquement parlant, une probabilité est donc une variable aléatoire dont l’ensemble d’arrivée est [0,1] et ayant la propriété de sous-additivité.

[3Dans ekoarun par exemple, les deux membres sont des expressions particulières, à savoir des sommes de monômes. Un monôme étant lui-même une expression particulière, nombre ou produit d’un nombre par un littéral.

[4Ne pas oublier toutefois qu’une équation peut avoir une infinité de solutions, par exemple l’équation d’une droite, et que dans ce cas, plutôt que résoudre l’équation, on préfère représenter l’ensemble de ses solutions.

[5euphémisme...

[6ce qu’elle devient une fois développée, mais ici il s’agit d’un déficit en mémoire de travail, seule la somme x+2 étant clairement vue : « Il y a une somme dedans donc c’est une somme »

[7La définition est récursive : Une expression est une somme, un produit ou un quotient d’expressions, ou une fonction portant sur une expression, ou un nombre ou un symbole littéral...

[8Ah tiens, au fait, « nature ontologique », c’est un pléonasme...

[9Cette structure de droite projective sur un cercle a fait considérer celui-ci comme une figure parfaite par les pythagoriciens, parce que justement le cercle n’a pas d’extrémité.

[10Lorsque des élèves répondent autre chose que 0 à la question du volume d’une sphère, la réponse suivante fait toujours son effet : « Confondre une sphère et une boule, c’est confondre votre crâne et votre cerveau ». On peut lui préférer, pour être moins vexant, l’analogie terrestre boule=planète et sphère=croûte continentale, ou la confusion entre l’œuf et sa coquille...

[11en gros, l’exigence de rigueur sous-jacente tend à faire préférer Algobox à Python par exemple, langage faiblement typé ne nécessitant pas de déclaration préalable des variables.

[12assimilé à l’extrémité du représentant du vecteur dont l’origine est (0 ;0)


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Séminaire EDIM-IREM

- Mercredi 3 mai 2017, 14h-18h, PTU, Saint-Denis, salle S23.6
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Brèves

À travers les labyrinthes : algorithmes et fourmis

dimanche 1er septembre 2013

Quand les chercheurs mettent au point des modèles d’optimisation et de recherche de plus court chemin qui s’inspirent du comportement de masse de colonies de fourmis...
À écouter : Sur les Épaules de Darwin, émission diffusée sur France Inter samedi 31 août 2013.

Rencontres Mondiales du Logiciel Libre à St-Joseph

mardi 20 août 2013

Les RMLLd se dérouleront pour la 2e fois à Saint-Joseph du 22 au 25 août.
C’est une opportunité pour les élèves qui suivent la spécialité ISN et les passionnés d’informatique.

Voici pour le samedi et le dimanche quelques interventions choisies :
- http://2013.d.rmll.info/Raspberry-votre-ordinateur-au-format-carte-de-credit?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Materiel-libre-et-DIY?lang=fr
- http://2013.d.rmll.info/Arduino-de-l-electronique-libre?lang=fr

Noter aussi les conférences Art et Culture du dimanche, ainsi qu’une conférence plus engagée.

Le programme complet se trouve ici. Une radio sera ouverte pour l’occasion.
Des plaquettes à distribuer se trouvent ici.

Hyper-vidéos pour l’algorithmique au lycée

dimanche 19 août 2012

Olivier Roizès, à la demande de l’ADIREM, a réalisé une collection d’hyper-vidéos de présentation de logiciels et environnements de programmation. Ces hyper-vidéos, c’est-à-dire des vidéos contenant des éléments clicables, devraient être utiles aux enseignants désireux de se familiariser avec Python, CaRMetal, R, Rurple, Scilab ou Xcas.

Ouverture du SILO

mardi 1er novembre 2011

Le SILO (Science Informatique au Lycée : Oui !) est un espace collaboratif documentaire de partage et de formation collégiale, à destination des professeurs appelés à enseigner l’informatique au lycée.

Une initiative du CNDP, de l’INRIA et de Pasc@line, à laquelle se sont associés SPECIF, fuscia, EPI et ePrep.

Sur le Web : Site du SILO

Introduction à la science informatique

lundi 12 septembre 2011

Le CRDP de Paris publie le premier ouvrage destiné aux professeurs chargés d’enseigner la nouvelle spécialité « Informatique et sciences du numérique » en Terminale S à la rentrée 2012. Cet ouvrage a été coordonné par Gilles Dowek, directeur de recherche à l’INRIA.

Sur la création de la spécialité ISN, on pourra également consulter l’interview donnée au Café pédagogique par l’inspecteur général Robert Cabanne.

Sur le Web : CRDP de Paris

Deux publications sur l’algorithmique

samedi 17 octobre 2009

L’IREM d’Aix-Marseille publie une brochure de 73 pages, téléchargeable librement, intitulée Algorithmes et logique au lycée. Ces notions sont illustrées et déclinées sur des exercices du programme de spécialité mathématique en série L, mais sont adaptables aux programmes à venir.

Le hors série thématique n° 37 du magazine Tangente, disponible actuellement en kiosque, s’intitule « Les algorithmes. Au cœur du raisonnement structuré ». Extrait de l’éditorial : « La rédaction de Tangente a conçu la quasi-totalité de ce hors série thématique pour qu’il puisse être lu par des élèves de Seconde ».

Une carte mentale pour l’algorithmique

jeudi 10 septembre 2009

Sur son site, Jean-Jacques Dhénin a publié une carte mentale géante qui renvoie vers plus de 30 documents en ligne sur l’algorithmique. Tout ce qu’il faut — et même davantage — pour faire face au nouveau programme de Seconde !

Un catalogue libre d’algorithmes pour le lycée

dimanche 30 août 2009

Guillaume Connan, de l’IREM de Nantes, publie un catalogue libre de 119 pages d’algorithmes pour le lycée. Sur son site très riche, on trouvera d’autres documents en rapport avec l’algorithmique, notamment sur l’utilisation des langages fonctionnels au lycée et sur la comparaison programmation fonctionnelle/programmation impérative.

L’algorithmique à l’IREM de Lille

vendredi 26 juin 2009

Le groupe AMECMI de l’IREM de Lille vient de mettre en ligne des ressources importantes au service des professeurs de Seconde :

- Algorithmique et programmation (Emmanuel Ostenne)
- Bibliographie amoureuse de l’algorithmique (Alain Juhel)

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