Une exposition sur les abaques et nomogrammes de multiplication

dimanche 28 décembre 2014
par  Alain BUSSER , Dominique TOURNÈS

Une exposition en 13 affiches sur les abaques et nomogrammes de multiplication, qui brosse un rapide panorama de l’histoire de la nomographie, et qui peut servir de point de départ à de multiples activités avec des élèves de différents niveaux.

Sur chaque affiche se trouve une brève description du principe mathématique qui gouverne la conception et l’utilisation de l’abaque présenté, ainsi qu’une brève notice biographique sur l’un des personnages-clés de l’histoire de la nomographie.

Les 13 affiches peuvent être téléchargées en pdf au format A3, pour une impression de qualité. Les abaques, construits avec les logiciels Asymptote et CaRMetal, ont été réalisés avec soin afin de permettre des calculs effectifs précis.


1. Abaque à entrecroisement (Pouchet 1797)

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Abaque à entrecroisement
Principe : Suivre les droites horizontale et verticale correspondant à deux nombres donnés : le produit de ces nombres est fourni par la cote de l’hyperbole sur laquelle les deux droites se coupent. Les hyperboles peuvent être vues comme les lignes de niveau d’une surface, de façon analogue à une carte topographique. Ézéchiel Pouchet (1748-1809) : Manufacturier de Rouen, Pouchet a conçu des tables graphiques pour faciliter les conversions d’unités entraînées par l’adoption d’un nouveau système de poids et mesures pendant la Révolution française.
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2. Abaque à droites concourantes et graduations logarithmiques (Lalanne 1846)

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Abaque à droites concourantes et graduations logarithmiques
Principe : Suivre les droites horizontale et verticale correspondant à deux nombres donnés : le produit de ces nombres est fourni par la cote de la droite oblique sur laquelle les deux droites se coupent. Léon Lalanne (1811-1892) : Ingénieur des Ponts et Chaussées, Lalanne a simplifié l’abaque de Pouchet en introduisant des graduations logarithmiques sur les axes. Par cette « anamorphose géométrique », les hyperboles sont devenues des droites.
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3. Abaque à droites concourantes et graduations algébriques (Lalanne 1846)

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Abaque à droites concourantes et graduations algébriques
Principe : Suivre les droites verticale et oblique correspondant à deux nombres donnés : le produit de ces nombres est fourni par la cote de la droite horizontale sur laquelle les deux droites se coupent. Augustin Cauchy (1789-1857) : Cauchy a posé le premier problème théorique de la nomographie : quelles sont les équations à trois variables qui peuvent être représentées par un abaque à droites concourantes analogue à ceux de Lalanne ?
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4. Abaque hexagonal (Lallemand 1885)

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Abaque hexagonal
Principe : Suivre les droites obliques correspondant à un nombre vert et un nombre bleu : le produit de ces nombres est fourni par la cote de la droite horizontale sur laquelle les deux droites se coupent. Charles Lallemand (1857-1938) : Lallemand a imaginé les abaques hexagonaux, qui utilisent trois faisceaux de droites faisant des angles de 60°. La projection d’un vecteur sur l’un des axes est la somme de ses projections sur les deux autres axes, ce qui permet de réaliser une addition graphique.
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5. Nomogramme avec trois droites en triangle (D’Ocagne 1899)

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Nomogramme avec trois droites en triangle
Principe : En joignant un point de l’échelle verte et un point de l’échelle bleue par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’échelle rouge donne leur produit. Ce nomogramme est en fait une incarnation moderne du théorème de Menelaüs (condition nécessaire et suffisante pour que trois points pris sur les trois côtés d’un triangle soient alignés). Ferdinand Möbius (1790-1868) : En 1841, à l’occasion de travaux d’arithmétique, Möbius réalise que le theorème de Menelaüs fait de tout triangle une table de multiplication. Il entrevoit aussi la possibilité d’utiliser à cet effet une parabole, anticipant ainsi les nomogrammes coniques de Clark.
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6. Nomogramme avec deux droites parallèles et une droite sécante (D’Ocagne 1899)

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Nomogramme avec deux droites parallèles et une droite sécante
Principe : En joignant un point de l’échelle verte et un point de l’échelle bleue par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’échelle rouge donne leur produit. Ce nomogramme, dont le fonctionnement repose sur le théorème de Thalès et les fonctions homographiques, est une variante projective de celui réalisé avec trois droites en triangle, le troisième sommet étant ici rejeté à l’infini. Junius Massau (1852-1909) : Massau a formulé le problème de l’anamorphose générale : quelles sont les équations à trois variables qui peuvent être représentées par un abaque à droites concourantes (ou, ce qui est équivalent, par un nomogramme à points alignés) ?
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7. Nomogramme avec trois droites parallèles (D’Ocagne 1899)

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Nomogramme avec trois droites parallèles
Principe : En joignant un point de l’échelle verte à un point de l’échelle bleue par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’échelle rouge donne leur produit. Ce nomogramme à points alignés est le transformé par dualité de l’abaque à droites concourantes de Lalanne. Sa grande simplicité d’utilisation assura son succès immédiat auprès des ingénieurs et de nombreuses autres professions. Maurice d’Ocagne (1862-1938) : Maurice d’Ocagne fit appel au principe de dualité de la géométrie projective pour transformer les abaques à droites concourantes en nomogrammes à points alignés. Toute sa vie, il œuvra à la diffusion de la nomographie.
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8. Nomogramme avec trois droites concourantes (D’Ocagne 1899)

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Nomogramme avec trois droites concourantes
Principe : En joignant un point de l’échelle verte et un point de l’échelle bleue par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’échelle rouge donne leur produit. Ce nomogramme est une variante projective de celui réalisé avec trois droites parallèles (concourantes à l’infini). Thomas Gronwall (1877-1932) :
Gronwall a résolu le problème de l’anamorphose générale posé par Massau, mais sa solution, qui repose sur l’intégration de deux équations aux dérivées partielles compliquées, n’est pas utilisable dans la pratique.
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9. Nomogramme avec une droite cotée et une parabole doublement cotée (Clark 1905)

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Nomogramme avec une droite cotée et une parabole doublement cotée
Principe : En joignant un point vert et un point bleu de la parabole par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’axe rouge donne leur produit. Cette construction a été utilisée par Youri Matiyasevitch dans les années 1960 pour isoler visuellement les nombres premiers. John Clark ( ? - ? ) : De John Clark, on ne sait quasiment rien, si ce n’est qu’il était professeur à l’École polytechnique du Caire. En 1905, il a renouvelé la théorie des nomogrammes à points alignés en inventant les nomogrammes coniques (une droite cotée et une conique doublement cotée) et les nomogrammes cubiques (une cubique triplement cotée).
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10. Nomogramme avec une droite cotée et un cercle doublement coté (Clark 1905)

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Nomogramme avec une droite cotée et un cercle doublement coté
Principe : En joignant un point vert et un point bleu du cercle par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec le diamètre rouge donne leur produit. La construction de ce nomogramme se fait avec la projection stéréographique, héritée de la cartographie. Rodolphe Soreau (1865-1935) : Soreau a classifié les nomogrammes d’alignement selon la forme réduite des équations à trois variables qu’ils sont en mesure de représenter. Il a publié en 1921 un grand traité de nomographie, qui constitue une somme sur le sujet.
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11. Nomogramme avec une droite cotée et une hyperbole doublement cotée (Clark 1905)

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Nomogramme avec une droite cotée et une hyperbole doublement cotée
Principe : En joignant un point vert et un point bleu de l’hyperbole par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’axe rouge donne leur produit. Ce nomogramme est basé sur une formule trigonométrique (tangente d’une somme). Clark le trouvait plus précis que les nomogrammes rectilignes en raison de l’élongation due à l’incurvation de l’hyperbole. Mieczysław Warmus (1918-2007) : Dans sa thèse soutenue en 1958, Warmus donna la première solution complète du problème théorique de l’anamorphose générale, en caractérisant et en classifiant les fonctions de deux variables admettant une représentation nomographique.
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12. Nomogramme avec une cubique triplement cotée (Clark 1905)

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Nomogramme avec une cubique triplement cotée
Principe : En joignant un point vert et un point bleu de la cubique par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’échelle rouge donne leur produit. La spécificité de ce nomogramme d’alignement est que les trois graduations sont portées par une même courbe, qui n’est autre ici que le folium exploré par Descartes et Roberval au 17e siècle. David Hilbert (1862-1943) : Parmi les 23 problèmes posés par Hilbert en 1900, le 13e est lié à la nomographie : quelles sont les fonctions de trois variables ou plus que l’on peut décomposer en un nombre fini de fonctions de deux variables, autrement dit que l’on peut nomographier ?
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13. Nomogramme avec une droite cotée et une hyperbole doublement cotée (Busser 2012)

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Nomogramme avec une droite cotée et une hyperbole doublement cotée
Principe : En joignant un point vert et un point bleu de l’hyperbole par une ligne droite, l’intersection de celle-ci avec l’axe rouge donne leur produit. Ce nomogramme moderne, inspiré par les travaux théoriques de John Clark, veut illustrer que la nomographie offre aujourd’hui un champ de recherche stimulant, à la fois pour les professeurs et pour leurs élèves. Vladimir Arnold (1937-2010) : En 1957, à la surprise générale, Arnold apporta une réponse au 13e problème de Hilbert en montrant que toute fonction continue de trois variables pouvait se décomposer en fonctions de deux variables seulement, et donc être représentée par un nomogramme.
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C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
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C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

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Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

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mardi 24 août 2010

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