Exemples de suites ultimement périodiques

jeudi 5 février 2015
par  André SEGUIN

L’objet de l’article est de montrer que les éléments d’une certaine famille de suites binaires sont des suites ultimement périodiques, c’est-à-dire périodiques à partir d’un certain rang. Le thème pourra inspirer des enseignants de lycée ou de classes post-bac pour concevoir des explorations algorithmiques susceptibles de favoriser la démarche d’investigation.

Cet article (voir document joint) traite d’une famille de suites binaires (u_n)_{n>0} que l’on obtient à partir d’une suite initiale (U_n)_{n>0} définie par récurrence :

\left\{
\begin{array}{l}
U_1=b\\
U_{n+1}=\frac{a}{2} U_n+1\quad \mathrm{si}\ U_n\ \mathrm{est\ pair}\\
U_{n+1}=\frac{a}{2} (U_n+a^n)+1\quad \mathrm{si}\ U_n\ \mathrm{est\ impair}
\end{array}
\right
a est un entier naturel impair tel que a > 1, et b est un entier naturel).

On considère alors la suite associée (u_n)_{n>0} qui donne la parité des termes :
- si U_n est pair alors u_n =0 ;
- si U_n est impair alors u_n =1.

Le but poursuivi est de montrer que :
- ces suites binaires sont ultimement périodiques avec pour période l’ordre de 2 modulo \frac{a(a-2)}{\mathrm{pgcd} (b-1, a)} ;
- elles sont périodiques si et seulement si 0 ≤ b < a.


Table des matières

  • Introduction
  • Première partie : b = 1
    • I-A-1 Observation des premières valeurs des suites associées
    • I-A-2 Cinq observations sur le motif
    • I-B Existence d’une période pour tout nombre a
    • I-B-1 Mise en évidence d’une suite
    • I-B-2 La suite binaire associée (rn)n>0 est périodique
    • I-C Des résultats sur la période et le motif.
    • I-C-1 Le motif
    • I-C-2 La période
    • I-D Des réponses aux cinq observations
    • I-E À propos de la périodicité ’’verticale’’ dans le tableau
  • Deuxième partie : Étude d’une fonction
    • II-A-1 à II-A-5 Propriétés
    • II-B-1 Orbites
    • II-B-2 Orbite conjuguée
    • II-B-3 Un théorème
  • Troisième partie : b appartient à N
    • III-A Les suites associées sont périodiques si le premier terme vérifie 0 ≤ b < a
    • III-B Le premier terme vérifie a ≤ b
  • Pour aller plus loin

Documents joints

Exemples de suites ultimement périodiques
Exemples de suites ultimement périodiques

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Brèves

Comprendre la logique Shadok

dimanche 30 avril

Le meilleur cours de maths Shadok jamais réalisé...
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Décès de Kenneth Arrow

mercredi 15 mars

La vedette de la théorie du choix social, bien connue de nos lecteurs, est décédée récemment, à l’âge respectable de 95 ans.

CHAOS : une aventure mathématique

vendredi 8 mars 2013

CHAOS est un film mathématique constitué de neuf chapitres de treize minutes chacun. Il s’agit d’un film tout public autour des systèmes dynamiques, de l’effet papillon et de la théorie du chaos. Tout comme DIMENSIONS, ce film est diffusé sous une licence Creative Commons et a été produit par Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez.

Sur le Web : CHAOS

Rencontres Mondiales Du Logiciel Libre Décentralisées à Saint-Joseph

mardi 28 juin 2011

C’est une manifestation qui aura lieu sur 3 jours, avec de nombreux
ateliers et conférences sur les logiciels libres.
C’est vendredi 1, samedi 2 et dimanche 3 juillet.

C’est une première dans l’île, petite soeur des Rencontres Mondiales du Logiciel Libre nationales qui se déroulent chaque année.

Le site des rencontres réunionnaises se trouve ici :
http://2011.d.rmll.info/

Yves Martin y donnera une conférence d’introduction à la géométrie hyperbolique avec CarMetal, Alain Busser parlera de sa contribution en tant que développeur à CarMetal et Nathalie Carrié présentera un logiciel d’élaboration de connaissances.
De nombreux ateliers vous y attendent : Ruby, Smalltalk, Stellarium, Audacity, Freeplane et d’autres encore...

Il y aura un « repas du libre » le samedi soir, si certains veulent s’y
inscrire en ligne.
Il y aura même une conférence sur l’agriculture libre.

Merci de consulter le programme régulièrement pour plus d’infos.

Médailles Fields 2010

mardi 24 août 2010

Les noms des quatre médaillés Fields 2010 ont été dévoilés lors de la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiciens à Hyderabad :

- Elon Lindenstrauss
- Ngô Bào Châu
- Stanislas Smirnov
- Cédric Villani.

Sur le Web : ICM 2010

L’univers de Labomath sur Netvibes

dimanche 23 mai 2010

Quand on aime les maths et qu’en plus on est prof de maths, on ne peut pas passer à côté de cet univers mathématique créé par Kostrzewa Bruno, auteur de l’excellent site personnel Labomath.
Il vous donnera peut-être envie de vous créer votre propre espace sur Netvibes et votre propre univers mathématique.
Allez-voir, c’est hallucinant !
Nathalie Carrié

MathRider : L’outil ultime ?

mardi 24 novembre 2009

MathRider ressemble un peu à Maple (serveur de maths avec calcul formel). Mais il est plus léger (moins de fonctionnalités, on s’y retrouve donc mieux). Et il est conçu pour faire de la programmation...

Cette suite logicielle (dedans il y a 3d-Xplor, GeoGebra, LaTeX etc.) est multiplateforme et les exemples correspondent assez bien au programme actuel du Lycée. Le seul reproche qu’on puisse lui faire est que l’aide est en Anglais (mais de toute façon si on veut programmer on écrit souvent des « for » et des « while »). Le chapitre sur les branchements conditionnels fait appel à un vocabulaire assez original.

Le moteur de calcul formel, MathPiper, est celui qui a été incorporé à GeoGebra.

Le blog du prof geek

lundi 16 novembre 2009

Voici un blog publié sous licence Creative Commons à consommer sans modération pour les enseignants qui utilisent l’outil informatique (et les TICE).

J’ai adoré notamment la vidéo sur le cahier de textes en ligne.

Blog découvert dans le Café pédagogique de ce matin.

Nathalie Carrié

Sur le Web : Le blog du prof geek

Cours vidéo en ligne pour le collège

dimanche 30 août 2009

Philippe Mercier, professeur à Morhange (Moselle), a mis en ligne un cours vidéo couvrant l’ensemble du programme de mathématiques du collège, de la 6e à la 3e. Cet outil pédagogique peut être utile aux collégiens, aux parents d’élèves, aux personnes en formation continue et aux formateurs. Le cours est complété par un forum d’aide en mathématiques.

Un merveilleux travail mathématique et artistique

jeudi 25 juin 2009

Maria Carla Palmeri est professeur de mathématiques dans un collège de Florence (Italie). Cette année, elle a fait utiliser Cabri à ses élèves de 11 ans, une heure par semaine pendant toute l’année. Il en est résulté une magnifique vidéo mettant en scène quelques-unes de leurs constructions et animations : Le Fabuleux Monde de Cabri.

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